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- 2021-05-13 发布
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第二十四、二十五讲 空间角与距离
O
a
b
600
★★★高考在考什么
【考题回放】
1.如图,直线a、b相交与点O且a、b成600,过点O 与a、b都成600角的直线有( C )
A.1 条 B.2条 C.3条 D.4条
2.(江苏•理)正三棱锥P-ABC高为2,侧棱与底面所成角为,则点 到侧面的距离是( B )
A. B. C.6 D.
3.(全国Ⅰ•理)如图,正四棱柱中,,则异面直线所成角的余弦值为( D )
A. B. C. D.
4.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于.
5.(四川•理)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为,底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 .
6.在棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1, E、F分别为BC与A1D1的中点,
(1) 求直线A1C与DE所成的角;
(2) 求直线AD与平面B1EDF所成的角;
(3) 求面B1EDF 与 面ABCD所成的角。
【专家解答】
(1)如图,在平面ABCD内,过C作CP//DE交直
线AD于P,则(或补角)为异面直线A1C与
DE所成的角。在Δ中,易得
,由余弦定理得。
故异面直线A1C与DE所成的角为。
(2),
∴AD在面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上。而B1EDF是菱形,∴DB1为∠EDF的平分线。故直线
AD与面B1EDF所成的角为∠ADB1.在RtΔB1AD中,
则。
故直线AD与平面B1EDF所成的角为。
O
(3)连结EF、B1D,交于点O,显然O为B1D的中点,从而O为正方体ABCD—A1B1C1D1的中心,作OH⊥平面ABCD,则H为正方形ABCD的中心。再作HM⊥DE,垂足为M ,连结OM,则OM⊥DE(三垂线定理),故∠OMH为二面角B1-DE-A的平面角。
在RtΔDOE中,
则由面积关系得。
在RtΔOHM中。
故面B1EDF 与 面ABCD所成的角为
★★★高考考什么
【考点透视】
异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大.
【热点透析】
1.转化思想:
①
② 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形
2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证
3.二面角的平面角的主要作法:①定义 ②三垂线定义 ③ 垂面法
距离
【考点透视】
判断线线、线面、面面的平行与垂直,求点到平面的距离及多面体的体积。
【热点透析】
转化思想:
① ;
② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离,
平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。
2.空间距离则主要是求点到面的距离主要方法:
①体积法; ②直接法,找出点在平面内的射影
★★★高考将考什么
【范例1】如图,在中,,斜边.可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角是直二面角.动点的斜边上.
(I)求证:平面平面;
(II)当为的中点时,求异面直线与所成角的大小;
(III)求与平面所成角的最大值.
解法一:
(I)由题意,,,
是二面角是直二面角,
又二面角是直二面角,
,又,
平面,
又平面.
平面平面.
(II)作,垂足为,连结(如图),则,
是异面直线与所成的角.
在中,,,
.
又. 在中,.
异面直线与所成角的大小为.
(III)由(I)知,平面,
是与平面所成的角,且.
当最小时,最大,
这时,,垂足为,,,
与平面所成角的最大值为.
解法二:
(I)同解法一.
(II)建立空间直角坐标系,如图,则,,,,
,,
.
异面直线与所成角的大小为.
(III)同解法一
【点晴】本题源于课本,高于课本,不难不繁,体现了通过平移求线线、通过射影求线面角的基本方法。
【变式】如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2.
E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB= FB=1.
(1) 求二面角C—DE—C1的正切值; (2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.
解:(I)以A为原点,分别为x轴,y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系,则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2),故
设向量与平面C1DE垂直,则有
(II)设EC1与FD1所成角为β,则
【点晴】空间向量在解决含有三维直角的立体几何题中更能体现出它的优点,但必须注意其程序化的过程及计算的公式,本题使用纯几何方法也不难,同学不妨一试。
【范例2】如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点。
(Ⅰ)求证:AB1⊥面A1BD;(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的大小;
分析:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
解答:解法一:(Ⅰ)取中点,连结.
为正三角形,.
正三棱柱中,平面平面,
A
B
C
D
O
F
平面.
连结,在正方形中,分别为
的中点, , .
在正方形中,, 平面.
(Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,连结,由(Ⅰ)得平面.
,
为二面角的平面角.
在中,由等面积法可求得,
又, .
所以二面角的大小为.
(Ⅲ)中,,.
在正三棱柱中,到平面的距离为.
设点到平面的距离为.
由得, .
点到平面的距离为.
解法二:(Ⅰ)取中点,连结.
为正三角形,.
在正三棱柱中,平面平面, 平面.
取中点,以为原点,,,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,
x
z
A
B
C
D
O
F
y
,,.
,, ,. 平面.
(Ⅱ)设平面的法向量为.
,.
,,
令得为平面的一个法向量.
由(Ⅰ)知平面, 为平面的法向量.
,.
二面角的大小为.
【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置,它能考查学生分析问题、解决问题的能力,两种方法各有优缺点,在向量方法中注意动点的设法,在方法二中注意用分析法寻找思路。
【变式】在梯形ABCD中,AB=BC=1,AD=2,,沿对角线AC将折起,使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上。
(1)求证:AB平面BCD(2)求异面直线BC与AD所成的角。
解:(1)在梯形ABCD中,,AD=2,
,
又平面ACD,故
又,且平面BCD
(2)因为BA=BC,,
为AC中点,取CD中点E,AB中点F,连结OE、OF、EF,则OE//AD,
OF//BC,所以AD与BC所成的角为或其补角.
作FH//BO交AC于H,连结HE, 则FH平面ACD
在三角形EOF中,又,EO=1
由余弦定理知
故异面直线BC与AD所成的角为
【点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别,本题使用空间向量的方法也不失一种好方法。
【范例3】在四棱锥P-ABCD中,ABCD为正方形,PA⊥面ABCD,PA=AB=a,E为BC中点.
(1)求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小;(2)求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小
解:(1)延长AB、DE交于点F,则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱,
∵PA⊥平面ABCD, ∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A
∴DA⊥平面BPA于A, 过A作AO⊥PF于O,连结OD,
则∠AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。
得,故面PDE与面PAD所成二面角的大小为
(2)解法1(面积法)如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A
∴DA⊥平面BPA于A, 同时BC⊥平面BPA于B,
∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影,
设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ, cosθ=S△PAB/S△PCD=/2 θ=450 ,即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°。
解法2(补形化为定义法)如图将四棱锥P-ABCD补形
得正方体ABCD-PQMN,则PQ⊥PA、PD,于是∠APD是两
面所成二面角的平面角。 在Rt△PAD中,PA=AD,
则∠APD=45°。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°。
【点晴】求线面角、面面角关键在于准确作出角,同样遵循一作二证三计算的步骤,但应用面积射影法求二面角可避免找角,同学们注意经常使用。
【范例4】如图,四面体ABCD中, O、E分别是BD、BC的中点,
(I)求证:平面BCD; (II)求异面直线AB与CD所成角的大小;
(III)求点E到平面ACD的距离。
方法一:
(I)证明:连结OC
在中,由已知可得
而
即
平面
(II)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中,
是直角斜边AC上的中线,
异面直线AB与CD所成角的大小为
(III)解:设点E到平面ACD的距离为
在中,
而
点E到平面ACD的距离为
方法二:
(I)同方法一。
(II)解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则
异面直线AB与CD所成角的大小为
(III)解:设平面ACD的法向量为则
令得是平面ACD的一个法向量。
又 点E到平面ACD的距离
【点晴】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
【变式】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1,M是底面BC边上的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=2C1N.
(Ⅰ)求二面角B1-AM-N的平面角的余弦值;(Ⅱ)求点B1到平面AMN的距离。
解(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则(0,0,1),
M(0,,0),C(0,1,0), N (0,1,) , A (),
所以,,
因为
所以,同法可得。
故﹤﹥为二面角—AM—N的平面角
∴﹤﹥=
故二面角—AM—N的平面角的余弦值为。
(Ⅱ)设n=(x, y, z)为平面AMN的一个法向量,则由得
, 故可取
设与n的夹角为a,则。
所以到平面AMN的距离为。
【范例5】如图,所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.
(Ⅰ)求BF的长;
(Ⅱ)求点C到平面AEC1F的距离.
解法1:(Ⅰ)过E作EH//BC交CC1于H,则CH=BE=1,EH//AD,且EH=AD.
∵AF∥EC1,∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.
∴DF=C1H=2.
(Ⅱ)延长C1E与CB交于G,连AG,
则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.
过C作CM⊥AG,垂足为M,连C1M,
由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC,
且AG面AEC1F,所以平面AEC1F⊥面C1MC.
在Rt△C1CM中,作CQ⊥MC1,垂足为Q,则CQ的长即为C到面AEC1F的距离.
解法2:(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),
A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).设F(0,0,z).
∵AEC1F为平行四边形,
(II)设为面AEC1F的法向量,
的夹角为a,则
∴C到平面AEC1F的距离为
【点晴】本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识,空间距离也遵循一作二证三计算的步骤,但体积法是一种很好的求空间距离的方法,同学们不妨一试。
【文】正三棱柱的底面边长为8,对角线,D是AC的中点。
(1)求点到直线AC的距离.
(2)求直线到平面的距离.
解:(1)连结BD,,由三垂线定理可得:,
所以就是点到直线AC的距离。
B
A
C
D
在中.
.
(2)因为AC与平面BD交于AC的中点D,
设,则//DE,所以//平面,
所以到平面BD的距离等于A点到平面BD
的距离,等于C点到平面BD的距离,也就等于三棱
锥的高, ,
,,即直线到平面BD的距离是.
【点晴】求空间距离注意三点:
_
o
_
E
_
A
_
B
_
C
_
D
_
P
_
x
_
y
_
8
_
z
1.常规遵循一作二证三计算的步骤;
2.多用转化的思想求线面和面面距离;
3.体积法是一种很好的求空间距离的方法.
【范例6】如图,在四棱锥P—ABC右,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2, E为PD的中点
(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出N点到AB和AP的距离
解法一:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A(0,0,0),B(,0,0),C(,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E(0,,2).从而=(,1,0),=(,0,-2).
设与的夹角为,则,
∴AC与PB所成角的余弦值为
(Ⅱ) N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x, 0, z),则
由NE⊥面PAC可得即
化简得
即N点的坐标为(,0,1),从而N点到AB、AP的距离分别为1,
解法二:(Ⅰ)设AC∩BD=O,连OE,则OE//PB,∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角, 在ΔAOE中,AO=1,OE=PB=,AE=PD=,
∴, 即AC与PB所成角的余弦值为
(Ⅱ)在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则.
连PF,则在RtΔADF中DF=.
设N为PF的中点,连NE,则NE//DF,
∵DF⊥AC,DF⊥PA,∴DF⊥面PAC从而NE⊥面PAC
∴N点到AB的距离=AP=1,N点到AP的距离=AF=
【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置,它能考查学生分析问题、解决问题的能力,两种方法各有优缺点,在向量方法中注意动点的设法,在方法二中注意用分析法寻找思路。