全国各地高考数学试题精析圆锥曲线部分整理 27页

2004 年全国各地高考数学试题精析（圆锥曲线部分） 一、选择题 1.(2004 全国 I,理 7 文 7) 椭圆x2 4+y2=1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线 与椭圆相交,一个交点为 P,则 2| |PF  =( ) A． 3 2 B． 3 C．7 2 D．4 【答案】C. 【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识.一般地，过圆 锥曲线的焦点作垂直于对称轴的直线被圆锥曲线截得的弦长，叫做圆锥曲线的通径. 椭圆、双曲线的通径长为2b2 a .本题中|PF1|=b2 a =1 2,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=4,∴ |PF2|=4-1 2=7 2. 2.(2004 全国 I,理 8 文 8)设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与 抛物线有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是（ ） A．[-1 2,1 2] B．[-2,2] C．[-1,1] D．[-4,4] 【答案】C. 【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及解析几何的基本思想. Q(-2,0),设直线 l 的方程为 y=k(x+2),代入抛物线方程，消去 y 整理得： k2x2+(4k2-8)x+4k2=0, 由△=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0, 解得 -1≤k≤1. 3.(2004 全国 III、广西,理 7 文 8)设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 y=±1 2x,则 该双曲线的离心率 e=( ) A．5 B． 5 C． 5 2 D．5 4 【答案】C. 【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识.∵双曲线的焦点在 x 轴上, 两条渐近线为 y=±1 2x,∴b a=1 2,即 a=2b,∴c= a2+b2= 5b,故该双曲线的离心率 e=c a= 5 2 . 4.(2004 全国 IV,理 8)已知椭圆的中心在原点,离心率 e=1 2,且它的一个焦点与抛物线 y2=-4x 的焦点重合,则此椭圆方程为( ) A.x2 4+y2 3=1 B. x2 8+y2 6=1 C.x2 2+y2=1 D.x2 4+y2=1 【答案】A. 【解析】本小题主要考查椭圆、抛物线的方程与几何性质. ∵抛物线焦点为(-1,0),∴c=1,又 e=1 2 ，∴a=2,∴b2=a2-c2=3,故椭圆方程为x2 4+y2 3=1. 5.(2004 江苏,5)若双曲线x2 8 -y2 b2=1的一条准线与抛物线 y2=8x 的准线重合,则双曲线的 离心率为( ) A. 2 B.2 2 C.4 D.4 2 【答案】A. 【解析】本小题主要考查双曲线、抛物线的方程与几何性质等基本知识. ∵抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=2,双曲线x2 8 -y2 b2=1的一条准线方程为 x= 8 8+b2, ∴2= 8 8+b2,解得 b2=8,∴c= a2+b2=4 ∴e=c a= 4 2 2 = 2. 6.(2004 天津,理 4 文 5)设 P 是双曲线 2 2 2 19 x y a   上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|=( ) A. 1 或 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C. 【解析】本小题主要考查双曲线的概念、方程与几何性质. ∵双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0, ∴a2=4.由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=4,∵|PF1|=3,∴|PF2|=7. 7.(2004 广东,8)若双曲线 2x2-y2=k (k>0)的焦点到它相对应的准线的距离是 2,则 k= （ ） A.6 B. 8 C. 1 D.4 【答案】A. 【解析】本小题主要考查双曲线的方程与几何性质等基本知识.双曲线方程化为标准 方程为 x2 k 2 -y2 k =1, ∵a2=k 2,b2=k,∴c2=3k 2 . 焦点到准线的距离 2=c-a2 c ,即 2= k 3k 2 , 解得 k=6. 8.(2004 福建,理 4 文 4)已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直的直 线交椭圆于 A、B 两点，若△ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是( ) A. 3 3 B. 2 3 C. 2 2 D. 3 2 【答案】A. 【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质，以及基本量的运算.设椭圆方程为x2 a2+y2 b2=1, 则过 F1 且与椭圆长轴垂直的统弦 AB=2b2 a .若△ABF2 是正三角形,则 2c= 2b2 a · 3 2 ,即 3a2-2ac- 3c2=0,(a- 3c)( 3a-c)=0,∴e=c a= 3 3 . 9.(2004 福建,理 12)如图,B 地在 A 地的正东方向 4km 处,C 地在 B 地的北偏东 300 方向 2km 处,河流的沿岸 PQ(曲线) BA Q P C M 东 北 E G H D 上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km.现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码 头,向 B、C 两地转运货物.经测算,从 M 到 B、M 到 C 修建公路的费用分别是 a 万元 /km、2a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( ) A.(2 7-2)a 万元 B.5a 万元 C. (2 7+1)a 万元 D.(2 3+3)a 万元 【答案】B. 【解析】本小题主要考查双曲线的概念与性质，考查考生运用所学知识解决实际问 题的能力.设总费用为 y 万元,则 y=a·MB+2a·MC ∵河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km., ∴曲线 PG 是双曲线的一支,B 为焦点,且 a=1,c=2. 过 M 作双曲线的焦点 B 对应的准线 l 的垂线,垂足为 D(如图).由双曲线的第二定义, 得MB MD=e,即 MB=2MD. ∴y= a·2MD+ 2a·MC=2a·(MD+MC)≥2a·CE.(其中 CE 是点 C 到准线 l 的垂线段). ∵CE=GB+BH =(c-a2 c )+BC·cos600=(2-1 2)+2×1 2=5 2. ∴y≥5a(万元). 10.(2004 福建,文 12)如图,B 地在 A 地的正东方向 4km 处,C 地在 B 地的北偏东 300 方 向 2km 处,河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km.现要在 曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向 B、C 两地转运货物.经测算, 从 M 到 B、C 两地修建公路的费用都 a 万元/km,那么修建这两 条公路的总费用最低是( ) A.( 7+1)a 万元 B.(2 7-2)a 万元 C.2 7a 万元 D.( 7-1)a 万元 【答案】B. 【解析】本小题主要考查双曲线的概念与性质,考查考生运用所 学知识解决实际问题的能力.设总费用为 y 万元,则 y=a·(MB+MC) ∵河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km., ∴曲线 PG 是双曲线的一支,B 为焦点,且 a=1,c=2. 由双曲线第一定义,得 MA-MB=2a, 即 MB=MA-2, ∴y= a·(MA+MC-2)≥a·AC. 以直线 AB 为 x 轴,中点为坐标原点,建立直角坐标系,则 A(-2,0),C(3, 3). ∴AC= (3+2)2+( 3)2=2 7, 故 y≥(2 7-2)a(万元). 11.(2004 湖北,理 6)已知椭圆x2 16+y2 9=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若 P、 F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( ) A．9 5 B．3 C．9 7 7 D．9 4 【答案】D. 【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质.注意！P、F1、F2 是一个直角三角形的三 BA Q P C M 东 北 个顶点时，要考虑直角顶点的确定.若 P 为直角顶点，则 PF12＋PF22=F1F22,即 PF12＋ PF22=(2 7 )2, 又 PF1 ＋ PF2=2a=8, ∴ PF1·PF2=18. 在 Rt △ PF1F2 中 ,P 到 x 轴 的 距 离 h= 18 2 7 =9 7 7 ,但9 7 7 >b=3,不合题意，舍去.由对称性，F1、F2 之一为直角顶点（不妨设 F2 为直角），则 PF2=b2 a =9 4. 12.(2004 浙江,文 6 理 4)曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是( ) A.y2=84x B.y2=4x8 C.y2=164x D.y2=4x16 【答案】C 【解析】设所求曲线上的任意一点的坐标为 P(x,y),其关于 x=2 对称的点的坐标为 Q(4-x,y),把它代入 y2=4x 并化简,得 y2=164x． 13.(2004 浙江,理 9) 若椭圆 12 2 2 2  b y a x (a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2,线段 F1F2 被抛物线 y2=2bx 的焦点分成 5∶3 的两段,则此椭圆的离心率为( ) A. 16 17 B. 4 17 17 C. 4 5 D. 2 5 5 【答案】D. 【解析】抛物线 y2=2bx 的焦点为 F( 2 b ,0),∵F1(－c,0),F2(c,0),|F1F|：|FF2|=5：3,∴ 52 3 2 b c bc    ,化简,得 c=2b,即 2 22c a c  ,两边平方并化简得 4a2＝5c2,∴ 2 2 2 4 5 ce a   , ∴ 2 5 5e  14.(2004 年浙江,文 11) 若椭圆 12 2 2 2  b y a x (a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2,线段 F1F2 被点( 2 b ,0)分成 5∶3 的两段,则此椭圆的离心率为( ) A. 16 17 B. 4 17 17 C. 4 5 D. 2 5 5 【答案】D 【解析】见上题． 15.(2004 湖南,文 4 理 2)如果双曲线 11213 22  yx 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 , 那么点 P 到右准线的距离是( ) A． 5 13 B．13 C．5 D． 13 5 【答案】A 【解析】考查双曲线线的基本量的运算． 解： a = 13 , 5c  ,由双曲线的第二定义,得 13 5 13 ced a    ,∴d=13 5 . 16.(2004 重庆,文理 10) 已知双曲线 2 2 2 2 1,( 0, 0)x y a ba b     的左,右焦点分别为 1 2,F F ,点 P 在双曲线的右支上,且 1 2| | 4 | |PF PF ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为 ( ) A． 4 3 B． 5 3 C． 2 D． 7 3 【答案】A 【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,则 m-n=2a, m=4n,∴m= 8 3 a,n= 2 3 a,又 m-n<2c≤m+n,即 2a<2c ≤ 10 3 a,∴10 时 ,|FP1| ＝ 7 － 1,|FPn| ＝ 7 ＋ 1, ∴ d= 1| | | | 1 nFP FP n   ＝ 2 1n  , ∵ n ≥ 21, ∴ 10 10d  ,同理,当 d＜0 时, 1 010 d   ．故 d∈ 1 1[ ,0) (0, ]10 10   ． 26.(2004 湖南,文 15) F1,F2 是椭圆 C： 148 22  xx 的焦点,在 C 上满足 PF1⊥PF2 的点 P 的个数为__________. 【答案】2 【解析】 2 2a  , 2c  , 2 2e  ,设 P 0 0( , )x y ,则|PF1|= 2 2 + 0 2 2 x , |PF2|= 2 2 - 0 2 2 x , ∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 即( 2 2 ＋ 0 2 2 x )2＋( 2 2 - 0 2 2 x )2=16,解得 0x =0,故在椭圆上存在两点即短轴的两 顶点使 PF1⊥PF2． 27.(2004 重 庆 , 理 16) 对 任 意 实 数 k, 直 线 ： y kx b  与 椭 圆 ： 3 2cos (0 2 ) 1 4sin x y            恒有公共点,则 b 取值范围是 . 【答案】[-1,3] 【 解 析 】 ∵ 直 线 y kx b  过 定 点 (0,b), 所 以 对 任 意 的 实 数 k, 它 与 椭 圆 2 2( 3) ( 1) 4 16 x y   1 恒 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 (0,b) 在 椭 圆 上 或 其 内 部 , ∴ 2 2(0 3) ( 1) 14 16 b   ,解得 1 3k   . 28.(2004 北京春,理文 14)若直线 mx+ ny-3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点,则 m,n 满足的 关系式为_______;以(m,n)为点 P 的坐标,过点 P 的一条直线与椭圆x2 7+y2 3=1的公共点有 ____个. 【答案】0 3,解得 00)的准线方程为 x=-p 2. 30.(2004 上海春,4)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作垂直于 x 轴的直线,交抛物线于 A、B 两 点,则以 F 为圆心、AB 为直径的圆方程是________________. 【答案】(x-1)2+y2=4. 【解析】本小题主要考查抛物线的概念与几何性质,圆的概念与方程等基础知识,以 及运算能力.解题中要注意一些特殊结论的应用,对于抛物线而言,过焦点垂直于抛 物线对称轴的弦叫做抛 物线的通径,其长度等于 2p. 抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0),因为 AB 为抛物线的通径,所以 AB＝4,即圆的半径为 2,故圆的方程是(x-1)2+y2=4. 31.(2004上海春,10)若平移椭圆4(x+3)2+9y2=36,使平移后的椭圆中心在第一象限,且它 与 x 轴、 y 轴分别只有一个交点,则平移后的椭圆方程是______. 【答案】(x-3)2 9 +(y-2)2 4 =1. 【解析】本小题主要考查椭圆的性质、平移变换等基础知识,以及数形结合的能力.椭 圆方程可化为(x+3)2 9 +y2 4=1,因此椭圆的长半轴长为 3,短半轴长为 2.移后使椭圆与 x 轴、 y 轴分别只有一个交点,即长轴的左项点在 y 轴上,下顶点在 x 轴上,又椭圆中心在第一象 限,故中心坐标为(3,2),此时椭圆方程为(x-3)2 9 +(y-2)2 4 =1. 三、解答题 32.(2004 全国 I,理 21 文 22)设双曲线 C：x2 a2-y2=1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同 的点 A、B. (I)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; (II)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 5 .12PA PB  求 a 的值. 【解析】本题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基 本思想和综合解题能力. 解：(I)由 C 与 l 相交于两个不同的点,故知方程组 2 2 2 1, 1. x ya x y       有两个不同的实数解.消去 y 并整理得 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ① 2 4 2 2 1 0. 4 8 (1 ) 0. 0 2 1. a a a a a a          所以 解得 且 双曲线的离心率 2 2 1 1 1. 0 2 1, 6 22 ae a a a a e e           且 且 6( , 2) ( 2, ).2e 即离心率 的取值范围为 （II）设 1 1 2 2( , ), ( , ), (0,1)A x y B x y P 1 1 2 2 1 2 5 ,12 5( , 1) ( , 1).12 5 .12 PA PB x y x y x x          由此得 由于 x1+x2 都是方程①的根，且 1-a2≠0, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 17 2 .12 1 5 2 .12 1 2 289, , 601 170, .13 ax a ax a ax a a a           所以 消去 得 由 所以 33.(2004 全国 II,理 21 文 22)给定抛物线 C：y2=4x,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点. (I)设 l 的斜率为 1,求 OA 与 OB 的夹角的大小； (II)设 AFFB  ,若 [4,9],求 l 在 y 轴上截距的变化范围. 【解析】本题主要考查抛物线的性质,直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、 思想和综合解题能力, 解：(I)C 的焦点为 F(1,0),直线 l 的斜率为 1,所以 l 的方程为 y=x-1. 将 y=x-1 代入方程 y2=4x,并整理得 x2-6x+1=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1+x2=6,x1x2=1. ∴ 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , )OA OB x y x y x x y y      1 2 1 22 ( ) 1 3.x x x x      2 2 2 2 1 1 2 2| || |OA OB x y x y     1 2 1 2 1 2[ 4( ) 16] 41.x x x x x x     ∴ 3 14cos( , ) .41| | | | OA OBOA OB OA OB          故 OA 与 OB 夹角的大小为 -arccos3 14 41 . (II)由题设 FB AF   得 (x2-1,y2)=(1-x1,-y1), 即 x2-1=(1-x1)， ① y2=-y1， ② 由②得 y22=2y12, ∵y12=4x1, y22=4x2,∴x2=2x1, ③ 联立①、③解得 x2=,依题意有 >0, ∴B(,2 ),或(,-2 ). 故直线 l 的方程为 ( -1)y=2 (x-1)或( -1)=-2 (x-1). 当 [4,9]时,直线 l 在 y 轴上的截距为2  -1 或-2  -1 . 由 2  -1 = 2  +1 + 2 -1,可知2  -1 在[4,9]上是递减的, ∴ 3 2 4 4 2 3, ,4 1 3 3 1 4            直线 l 在 y 轴上截距的变化范围为 4 3 3 4[ , ] [ , ].3 4 4 3    34.(2004 全国 III、广西,理 21 文 22)设椭圆 2 2 11 x ym   的两个焦点是 F1(-c,0)与 F2(c,0)(c>0),且椭圆上存在点 P,使得直线 PF2 与直线 PF2 垂直. (I)求实数 m 的取值范围； (II)设 L 是相应于焦点 F2 的准线,直线 PF2 与 L 相交于点 Q.若|QF2| |PF2|=2- 3,求直线 PF2 的方程. 【解析】本题主要考查直线和椭圆的基本知识,以及综合分析和解题能力. 解:(I)由题设有 m>0,c= m.设点 P 的坐标为(x0,y0),由 PF1⊥PF2,得 0 0 0 0 1,y y x c x c     化简得 x02+y02=m. ① 将①与 2 20 0 11 x ym   联立, 解得 2 2 2 0 0 1 1, .mx ym m   由 2 2 0 10, 0, 1.mm x mm    得 所以 m 的取值范围是 m≥1. (II)准线 L 的方程为 1,mx m  设点 Q 的坐标为(x1,y1),则 1 1.mx m  ∴ 2 1 2 0 0 1 | | .| | m mQF x c m PF c x m x     ② 将 2 0 1mx m  代入②,化简得 22 2 2 | | 1 1,| | 1 QF m mPF m m       由题设 2 2 | | 2 3| | QF PF   ,得 2 1 2 3m m    , 无解. 将 2 0 1mx m   代入②，化简得 22 2 2 | | 1 1.| | 1 QF m mPF m m       由题设 2 2 | | 2 3| | QF PF   ,得 2 1 2 3m m    . 解得 m=2. 从而 0 0 3 2, , 22 2x y c     , 得到 PF2 的方程 ( 3 2)( 2).y x    35.(2004 全国 IV,理 21 文 22)双曲线 2 2 2 2 1( 1, 0)x y a ba b     的焦点距为 2c,直线 l 过点 (a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥4 5c,求双曲 线的离心率 e 的取值范围 【解析】本题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力. 解：直线 l 的方程为 1x y a b   ,即 bx+ay-ab=0. 由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离 1 2 2 ( 1)b ad a b   , 同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 2 2 2 ( 1)b ad a b   ∴ 1 2 2 2 2 2 .ab abs d d ca b      由 4 2 4, ,5 5 abs c cc  得 即 2 2 25 2 .a c a c  于是得 2 2 4 25 1 2 , 4 25 25 0.e e e e    即 解不等式,得 25 5.4 e  由于 e>1 所以 e 的取值范围是 5 5.2 e  36.(2004 江苏,21)已知椭圆的中心在原点,离心率为1 2,一个焦点是 F(-m,0)(m 是大于 0 的常数). (I)求椭圆的方程； (II)设 Q 是椭圆上的一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M.若 2MQ QF  ,求直 线 l 的斜率. 【解析】本题主要考查椭圆的概念、方程与性质,以及向量、定比分点坐标公式的应 用 , 考 查 考 生 的 推 理 能 力 和 运 算 能 力 . 求 直 线 l 的 斜 率 , 要 充 分 利 用 条 件 “ 2MQ QF  ”实施几何特征向数量 关系的转化：首先向量特征可转化为定比分 点坐标问题,但要注意内、外分点两种情形的讨论；其次设直线斜率为 k,用 k、m 表 示出 Q 点的坐标；最后由 Q 点在椭圆上,列方程即可求解. 解：(I)设所求椭圆方程为 x2 a2+y2 b2=1(a>b>0). 由已知中,得 c=m, c a=1 2, 所以 a=2m, b= 3m, 故所求椭圆方程是 x2 4m2+ y2 3m2=1. (II)设 Q(x0,y0),直线 l:y=k(x+m), 则点 M(0,km). 当 2MQ QF  时,由于 F(-m,0),M(0,km),由定比分点坐标公式,得 x0=0-2m 1+2 =- 2m 3 , y0=km+0 1+2 =1 3km. 又点 Q 在椭圆上,∴ 4m2 9 4m2 + k2m2 9 3m2 =1, 解得 k=±2 6. 当 2MQ QF   时, x0=0+(-2)×(-m) 1-2 =-2m, y0= km 1-2 =-km. 于是 4m2 4m2+k2m2 3m2 =1, 解得 k=0. 故直线 l 的斜率是 0 或±2 6. 37.(2004 北京,理 17)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)上一定点 P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分 别交抛物线于 A(x1.y1),B(x2,y2). (I)求该抛物线上纵坐标为 p 2 的点到其焦点 F 的距离; (II)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 1 2 0 y y y  的值,并证明直线 AB 的斜率是 非零常数. y P O x A B 【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题 和解决问题的能力. 解:(I)当 y=p 2 时,x=p 8. 又抛物线 y2=2px 的准线方程为 x=-p 2,由抛物线定义得,所求距离为 5( )8 2 8 p p p   . (II)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB. 由 y12=2px1,y02=2px0,相减得: 1 0 1 0 1 0( )( ) 2 ( )y y y y p x x    , 故 1 0 1 0 1 0 1 0 2 ( )PA y y pk x xx x y y     . 同理可得 2 0 2 0 2 ( )PB pk x xy y   , 由 PA、PB 倾斜角互补知 PA PBk k  即 1 0 2 0 2 2p p y y y y    , 所以 1 2 02y y y   , 故 1 2 0 2y y y    . 设直线 AB 的斜率为 kAB, 由 2 2 22y px , 2 1 12y px ,相减得 2 1 2 1 2 1( )( ) 2 ( )y y y y p x x    , 所以 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( )AB y y pk x xx x y y     . 将 1 2 0 02 ( 0)y y y y    代入得 1 2 0 2 AB p pk y y y    , 所以 kAB 是非零常数. 38.(2004 北 京 , 文 17) 如 图 , 抛 物 线 关 于 x 轴 对 称 , 它 的 顶 点 在 坐 标 原 点 , 点 P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上. （I）写出该抛物线的方程及其准线方程; （II）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值 及直线 AB 的斜率. 【解析】本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用 y P O x A B 解析几何的方法分析问题和解决问题的能力. 解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为 y2=2px. ∵点 P(1,2)在抛物线上, ∴22=2p×1,得 p=2. 故所求抛物线的方程是 y2=4x,准线方程是 x=－1. (II)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB,则 1 1 1 2 ( 1)2PA yk xx   , 2 2 2 2 ( 1)1PB yk xx   , ∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补, ∴kPA=－kPB. 由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得 2 1 14y x （1）， 2 2 24y x （2） 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 11 14 4 2 ( 2) 4 y y y y y y y y                由(1)－(2)得直线 AB 的斜率: 2 1 1 2 2 1 1 2 4 4 1( )4AB y yk x xx x y y         . 39.(2004 天津,理 22 文 22)椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 22 ,相应于焦点 F(c,0)(c>0)的准线 l 与 x 轴相交于点 A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若 0OP OQ   ,求直线 PQ 的方程； (3)(理科做,文科不做)设 AP AQ   ( 1  ),过点 P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交 于另一点 M，证明 FM FQ   . 【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算， 曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力. (1)解:由题意,可设椭圆的方程为 2 2 2 1( 2)2 x y aa    . 由已知得 2 2 2 2, 2( ). a c ac cc      , 解得 6, 2a c  . 所以椭圆的方程为 2 2 16 2 x y  ,离心率 6 3e  . (2)解:由(1)可得 A(3,0). 设直线 PQ 的方程为 y=k(x-3).由方程组 2 2 1,6 2 ( 3) x y y k x       得 2 2 2 2(3 1) 18 27 6 0k x k x k     , 依题意 212(2 3 ) 0k    ,得 6 6 3 3k   . 设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ,则 2 1 2 2 18 3 1 kx x k    ① 2 1 2 2 27 6 3 1 kx x k   ② 由直线 PQ 的方程得 1 1 2 2( 3), ( 3)y k x y k x    , 于是 2 1 2 1 2( 3)( 3)y y k x x   2 1 2 1 2[ 3( ) 9]k x x x x    . ③ ∵ 0OP OQ   ,∴ 1 2 1 2 0x x y y  . ④ 由①②③④得 5k2=1,从而 5 6 6( , )5 3 3k     . 所以直线 PQ 的方程为 5 3 0x y   或 5 3 0x y   . (3)(理科)证明: 1 1 2 2( 3, ), ( 3, )AP x y AQ x y     . 由已知得方程组 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 3 ( 3), , 1,6 2 1.6 2 x x y y x y x y                注意>1,解得 2 5 1 2x    . 因 1 1(2,0), ( , )F M x y ,故 1 1 2 1( 2, ) ( ( 3) 1, )FM x y x y        1 2 1 1( , ) ( , )2 2y y        . 而 2 2 2 1( 2, ) ( , )2FQ x y y      ,所以 FM FQ   . 40.(2004 广东,20)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点 x y O CP AA B N 的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他 两观测点晚 4s.已知各观测点到该中心的距离都是 1020m,试确定该巨响发生的位 置.(假定当时声音传播的速度为 340m/s,相关各点均在同一平面上) 【解析】本题主要考查双曲线的概念与方程，考查考生分析问题和解决实际问题的 能力. 解：如图,以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系. 设 A、B、C 分别是西、东、北观测点,则 A(－1020,0),B(1020,0),C(0,1020). 设 P(x,y)为巨响发生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y=－x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声, 故|PB|－|PA|=340×4=1360. 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线x2 a2 -y2 b2=1上, 依题意得 a=680,c=1020, ∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402, 故双曲线方程为 x2 6802 - y2 5×3402=1. 用 y=－x 代入上式,得 x=±680 5, ∵|PB|>|PA|,∴x=-680 5,y=680 5, 即 P(-680 5,680 5), 故 PO=680 10. 答：巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10 m 处. 41.(2004 广东,22)设直线 l 与椭圆 2 2 125 16 x y  相交于 A、B 两点，l 又与双曲线 x2–y2=1 相交于 C、D 两点， C、D 三等分线段 AB. 求直线 l 的方程. 【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及推理运算 能力和综合解题能力. 解:首先讨论 l不与 x 轴垂直时的情况,设直线l 的方程为 y=kx+b, 如 图 所 示 ,l 与 椭 圆 、 双 曲 线 的 交 点 为 A(x1,y1), B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). 依题意有 , 3AC DB AB CD     , 由 2 2 , 125 16 y kx b x y     ,得 (16+25k2)x2-2bkx+(25b2-400)=0① ∴x1+x2=- 50bk 16+25k2. 由 y=kx+b x2-y2=1,得 (1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0 ② 若 k=±1,则与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故 k≠±1. ∴x3+x4= 2bk 1-k2, 由 AC DB  x3-x1=x2-x4x1+x2=x3+x4 y xOA BD C l - 50bk 16+25k2= 2bk 1-k2bk=0k=0 或 b=0. (i)当 k=0 时,由①得 x1,2=±5 4 16-b2, 由②得 x3,4=± b2+1, 由 3AB CD  x2-x1=3(x4-x3),即 10 4 16-b2=6 b2+1b=±16 13, 故 l 的方程为 y=±16 13. (ii)当 b=0 时,由①得 x1,2=± 20 16+25k2, 由②得 x3,4=± 1 1-k2, 由 3AB CD  x2-x1=3(x4-x3),即 40 16+25k2= 6 1-k2 k=±16 25, 故 l 的方程为 y=±16 25x. 再讨论 l 与 x 轴垂直的情况. 设直线 l 的方程为 x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得， y1,2=±4 5 25-c2,y3,4=± c2-1, 由| AB  |=3| CD  ||y2-y1|=3|y4-y3|, 即8 5 25-c2=6 c2-1c=±25 241 241 , 故 l 的方程为 x=±25 241 241 . 综上所述,故 l 的方程为 y=±16 13 、y=±16 25x 和 x=±25 241 241 . 42.(2004 福建,理 22)如图,P 是抛物线 C：y=1 2x2 上一点,直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交 于另一点 Q． (I)若直线 l 与过点 P 的切线垂直,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方 程； (II)若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S,与 y 轴交于点 T,试求 |ST| |SP|+|ST| |SQ| 的取值范围． 【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识， 求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力. 解：(I)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意 x1≠0,y1>0,y2>0. 由 y=1 2x2, ① x y O P l S TM Q 得 y´=x. ∴过点 P 的切线的斜率 k 切=x1, ∴直线 l 的斜率 kl=- 1 k 切 =-1 x1 , 直线 l 的方程为 y-1 2x12=-1 x1 (x-x1). ② 方法 1： 联立①②消去 y,得 x2+2 x1 x-x12-2=0. ∵M 为 PQ 的中点， ∴ x0=x1+x2 2 =-1 x1 y0=1 2x12-1 x1 (x0-x1), 消去 x1,得 y0=x02+ 1 2x02+1(x0≠0), ∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+ 1 2x2+1(x≠0). 方法 2： 由 y1=1 2x12, y2=1 2x22,x0=x1+x2 2 ,得 y1-y2=1 2x12-1 2x22=1 2(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2), 则 x0=y1-y2 x1-x2 =kl=-1 x1 , ∴x1=-1 x0 , 将上式代入②并整理,得 y0=x02+ 1 2x02+1(x0≠0), ∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+ 1 2x2+1(x≠0). (II)设直线 l:y=kx+b,依题意 k≠0,b≠0,则 T(0,b). 分别过 P、Q 作 PP´⊥x 轴，QQ´⊥y 轴，垂足分别为 P´、Q´. 则|ST| |SP|+|ST| |SQ|=|OT| |PP´|+ |OT| |QQ´|=|b| |y1|+|b| |y2|. 由 y=1 2x2 y=kx+b 消去 x,得 y2-2(k2+b)y+b2=0 ③ 则 y1+y2=2(k2+b) y1y2=b2 , 方法 1: x y O P l S TM Q P´Q´ ∴|ST| |SP|+|ST| |SQ|=|b|(1 y1 +1 y2 )≥2|b| 1 y1y2 =2|b| 1 b2=2. ∵y1,y2 可取一切不相等的正数， ∴|ST| |SP|+|ST| |SQ| 的取值范围是(2,+∞). 方法 2: ∴|ST| |SP|+|ST| |SQ|=|b|y1+y2 y1y2 =|b|2(k2+b) b2 . 当 b>0 时,|ST| |SP|+|ST| |SQ|=b·2(k2+b) b2 =2k2 b +2>2; 当 b<0 时，|ST| |SP|+|ST| |SQ|=-b·2(k2+b) b2 =2(k2+b) -b . 又由方程③有两个相异实根，得 △=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0, 于是 k2+2b>0，即 k2>-2b, 所以|ST| |SP|+|ST| |SQ| ＞2(-2b+b) -b =2. ∵当 b>0 时,2k2 b 可取一切正数， ∴|ST| |SP|+|ST| |SQ| 的取值范围是(2,+∞). 方法 3： 由 P、Q、T 三点共线得 kTQ=kTP, 即 y2-b x2 =y1-b x1 , 则 x1y2-bx1=x2y1-bx2, 即 b(x2-x1)=(x2y1-x1y2). 于是 b= x2·1 2x12-x1·1 2x22 x2-x1 =-1 2x1x2, ∴|ST| |SP|+|ST| |SQ|=|b| y1 +|b| y2 = |-1 2x1x2| 1 2x12 + |-1 2x1x2| 1 2x22 =|x2 x1 |+|x1 x2 |≥2. ∵|x2 x1 |可取一切不等于 1 的正数， ∴|ST| |SP|+|ST| |SQ| 的取值范围是(2,+∞). 43.(2004 福建,文 21)如图，P 是抛物线 C：y=1 2x2 上一点,直线 l 过点 P 并与抛物线 C 在点 P 的切线垂直,l 与抛物线 C 相交于另一点 Q． (I)当点 P 的横坐标为 2 时，求直线 l 的方程； (II)当点 P 在抛物线 C 上移动时,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方 程,并求点 M 到 x 轴的最短距离． 【解析】本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识， 求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力. 解：(I)把 x=2 代入 y=1 2x2,得 y=2, ∴点 P 坐标为(2,2). 由 y=1 2x2, ① 得 y´=x. ∴过点 P 的切线的斜率 k 切=2, 直线 l 的斜率 kl=- 1 k 切 =-1 2, ∴直线 l 的方程为 y-2=-1 2(x-2), 即 x+2y-6=0. (II)设 P(x0,y0),则 y0=1 2x02. ∵过点 P 的切线斜率 k 切=x0,当 x0 时不合意， ∴x0≠0,∴直线 l 的斜率 kl=- 1 k 切 =-1 x0 , 直线 l 的方程为 y-1 2x02=-1 x0 (x-x0). ② 方法 1： 联立①②消去 y,得 x2+2 x0 x-x02-2=0. 设 Q(x1,y1),M(x,y), ∵M 为 PQ 的中点， ∴ x=x0+x1 2 =-1 x0 y0=-1 x0 (-1 x0 -x0)+1 2x02= 1 x02+x02 2 +1, 消去 x0,得 y=x2+ 1 2x2+1(x≠0),就是所求轨迹方程. 由 x≠0 知 x2>0, ∴y=x2+ 1 2x2+1≥2 2 2 1 2x x  +1≥ 2+1. 上式等号仅当 x2= 1 2x2,即 x= 4 1 2  时成立， 所以点 M 到 x 轴的最短距离是 2+1. 方法 2： x y O P l M Q 设 Q(x1,y1),M(x,y),则 y0=1 2x02, y1=1 2x12,x=x0+x1 2 ,得 y0-y1=1 2x02-1 2x12=1 2(x0+x1)(x0-x1)=x(x0-x1), ∴x=y0-y1 x0-x1 =kl=-1 x0 , ∴x0=-1 x, 将上式代入②并整理,得 y=x2+ 1 2x2+1(x≠0), 就是所求轨迹方程. 由 x≠0 知 x2>0, ∴y=x2+ 1 2x2+1≥2 2 2 1 2x x  +1≥ 2+1. 上式等号仅当 x2= 1 2x2,即 x= 4 1 2  时成立， 所以点 M 到 x 轴的最短距离是 2+1. 44.(2004 湖北,理 20 文 20)直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同的两点 A、B. （I）求实数 k 的取值范围； （II）是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F？若存在， 求出 k 的值；若不存在，说明理由. 【解析】本题主要考查直线、双曲线的方程和性质,曲线与方程的关系,及其综合应用 能力. 解：（Ⅰ）将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x2-y2=1 后，整理得： 2 2( 2) 2 2 0.k x kx    ……① 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,故 2 2 2 2 2 2 0, (2 ) 8( 2) 0, 2 02 2 0.2 2 2. k k k k k k k k                  解得 的取值范围是 （Ⅱ）设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),则由①式得 1 2 2 2 2 2 2 ,2 2 .2 kx x k x x k         ……② 假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0).则由 FA⊥ FB 得： 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) 0. ( )( ) ( 1)( 1) 0. x c x c y y x c x c kx kx          即 整理得 2 2 1 2 1 2( 1) ( )( ) 1 0.k x x k c x x c       ③ 把②式及 c= 6 2 代入③式化简得 25 2 6 6 0.k k   解得 6 6 5k   6 6 ( 2, 2)( )5k    或 舍去 可知 6 6 5k   使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点. 45.(2004 浙江,文 22 理 21)已知双曲线的中心在原点,右顶点为 A(1,0),点 P、Q 在双曲 线的右支上,点 M(m,0)到直线 AP 的距离为 1, ⑴若直线 AP 的斜率为 k,且|k|[ 3 , 33 ], 求实数 m 的取值范围； ⑵当 m= 2 +1 时,△APQ 的内心恰好是点 M,求此双曲线的方程. O A x y 【解析】解: (Ⅰ)由条件得直线 AP 的方程 ( 1),y k x  即 0.kx y k   因为点 M 到直 线 AP 的距离为 1, ∴ 2 1, 1 mk k k    即 2 2 1 11 1km k k     . ∵ 3[ , 3],3k  ∴ 2 3 1 2,3 m   解得 2 3 3 +1≤m≤3 或--1≤m≤1-- 2 3 3 . O A x y P Q M ∴m 的取值范围是 2 3 2 3[ 1,1 ] [1 ,3].3 3    (Ⅱ)可设双曲线方程为 2 2 2 1( 0),yx bb    由 ( 2 1,0), (1,0),M A 得 2AM  .又因为 M 是ΔAPQ 的内心,M 到 AP 的距离为 1,所以∠MAP=45º,直线 AM 是∠PAQ 的角平分线,且 M 到 AQ、PQ 的距离均为 1.因此, 1,1  AQAP kk (不妨设 P 在第一象限)直线 PQ 方程 为 2 2x   .直线 AP 的方程 y=x-1,∴解得 P 的坐标是(2+ 2 ,1+ 2 ),将 P 点坐标代入 12 2 2  b yx 得, 2 2 1 2 3 b   所以所求双曲线方程为 2 2( 2 3) 1, 2 1 x y   即 2 2(2 2 1) 1.x y   46.(2004 上海,文 20) 如图, 直线 y= 2 1 x 与抛物线 y= 8 1 x2-4 交于 A、B 两点, 线段 AB 的 垂直平分线与直线 y=-5 交于 Q 点. (1) 求点 Q 的坐标； (2) 当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方 (含 A、B) 的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值. B A O Q P x y 【解析】解:⑴解方程组 2 1 2 1 48 y x y x      ,得 4 2 x y      或 8 4 x y    ,即 A(－4,－2),B(8,4), 从而 AB 的中点为 M(2,1).由 kAB== 1 2 ,直线 AB 的垂直平分线方程 y－1= 1 2 (x－2).令 y=－5, 得 x=5, ∴Q(5,－5) (2) 直 线 OQ 的 方 程 为 x+y=0, 设 P(x, 1 8 x2 － 4).∵ 点 P 到 直 线 OQ 的 距 离 d= 21 48 2 x x  = 21 8 32 8 2 x x  , 5 2OQ  ,∴SΔOPQ ＝ 2 1 OQ d ＝ 25 8 3216 x x  .∵P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点, 且 P 不在直线 OQ 上, ∴－ 4≤x<4 3 －4 或 4 3 －40)作直线 与抛物线交于 A,B 两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点. (I)设点 P 分有向线段 AB  所成的比为  ,证明: ( )QP QA QB    ； (II)设直线 AB 的方程是 x-2y+12=0,过 A、B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的 切线,求圆 C 的方程． 【解析】解：(Ⅰ)依题意,可设直线 AB 的方程为 ,mkxy  代入抛物线方程 yx 42  得 .0442  mkxx ① 设 A 、 B 两 点 的 坐 标 分 别 是 ),( 11 yx 、 122 ),,( xyx 则 、x2 是方程①的两根. 所 以 .421 mxx  由 点 P(0,m) 分 有 向 线 段 AB 所 成 的 比 为  , 得 .,01 2 121 x xxx     即 又点 Q 是点 P 关于原点的对称点,故点 Q 的坐标是(0,－ m),从而 (0,2 )QP m . 1 1 2 2( , ) ( , )QA QB x y m x y m       = 1 2 1 2( , (1 ) ).x x y y m      1 2( ) 2 [ (1 ) ]QP QA QB m y y m          2 2 1 1 2 1 2 2 2 [ (1 ) ]4 4 x x x xm nx x      1 2 1 2 2 42 ( ) 4 x x mm x x x    1 2 2 4 42 ( ) 0.4 m mm x x x      所以 ( ).QP QA QB    (Ⅱ)由      ,4 ,0122 2 yx yx 得点 A、B 的坐标分别是(6,9)、(－4,4). 由 yx 2 得 ,2 1,4 1 2 xyxy  所以抛物线 yx 42  在点 A 处切线的斜率为 36  xy 设圆 C 的方程是 2 2 2( ) ( ) ,x a y b r    则 2 2 2 2 9 1 ,3 ( 6) ( 9) ( 4) ( 4) . b a b a b a b             解之得 3 2a   , 23 2b  , 2 2 2 125( 4) ( 4) .2r a b     所以圆 C 的方程是 2 23 23 125( ) ( ) ,2 2 2x y    即 2 2 3 23 72 0.x y x y     48.(2004 重庆,文理 21) 设 0p  是一常数,过点 (2 ,0)Q p 的直线与抛物线 2 2y px 交于 相异两点 A、B,以线段 AB 为直经作圆 H(H 为圆心).试证抛物线顶点在圆 H 的圆周 上；并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程. A H x y B y2=2px O Q(2p,0) 【解析】解法一：由题意,直线 AB 不能是水平线,故可设直线方程为： 2ky x p  .又 设 ( , ), ( , )A A B BA x y B x y ,则其坐标满足 2 2 , 2 . ky x p y px     消去 x 得 2 22 4 0y pky p   , 由此得 2 2 , 4 . A B A B y y pk y y p     , 2 2 2 2 4 ( ) (4 2 ) , ( ) 4(2 ) A B A B A B A B x x p k y y k p y yx x pp           因此 0A B A BOA OB x x y y     . 即 OA⊥OB． 故 O 必在圆 H 的圆周上.又由题意圆心 H( HH yx , )是 AB 的中点, 故 2(2 ) ,2 .2 A B H A B B x xx k p y yy kp        , 由前已证,OH 应是圆 H 的半径,且 2 2 4 2| | 5 4H HOH x y k k p     . 从而当 k=0 时,圆 H 的半径最小,亦使圆 H 的面积最小. 此时,直线 AB 的方程为：x=2p. A H x y B y2=2px O Q(2p,0) ay=x-2 解法二：由题意,直线 AB 不能是水平线,故可设直线方程为：ky=x－2p, ),(),,( BBAA yxByxA ,则其坐标满足      .2 ,2 2 pxy pxky ,分别消去 x,y 得 2 2 2 2 2 2 4 0, 2 ( 2) 4 0. y pky p x p k x p         故得 A、B 所在圆的方程 2 2 22 ( 2) 2 0.x y p k x pky     明显地,O(0,0)满足上面方程所表示的圆上,又知 A、B 中点 H 的坐标为 2( , ) ((2 ) , ),2 2 A B A Bx x y y k p kp    故 2 2 2 2 2| | (2 )OH k p k p   ,而前面圆的方程可表示为 2 2 2[ (2 ) ] ( )x k p y pk    ＝ 2 2 2 2 2(2 )k p k p  , 故 |OH| 为 上 面 圆 的 半 径 R, 从 而 以 AB 为 直 径 的 圆 必 过 点 O(0,0). 又 2 2 4 2 2| | ( 5 4)R OH k k p    , 故当 k=0 时,R2 最小,从而圆的面积最小,此时直线 AB 的方程为：x=2p. 解法三：同解法一得 O 必在圆 H 的圆周上,又直径|AB|= 2 2( ) ( )A B A Bx x y y   ＝ 2 2 2 2 A B A Bx x y y   ＝ 2 2 2 2A B A Bx x px px   2 4 4 .A B A Bx x p x x p    上式当 BA xx  时,等号成立,直径|AB|最小,从而圆面积最小.此时直线 AB 的方程为 x=2p. 49.(2004 辽宁,19) 设椭圆方程为 14 2 2  yx ,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 是坐标原点,点 P 满足 1 ( )2OP OA OB    ,点 N 的坐标为 )2 1,2 1( ,当 l 绕点 M 旋转时,求： (1)动点 P 的轨迹方程； (2) || NP 的最小值与最大值. 【解析】考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识,以 及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力． (1)解法一：直线 l 过点 M(0,1)设其斜率为 k,则 l 的方程为 .1 kxy 记 ),( 11 yxA 、 ),,( 22 yxB 由题设可得点 A、B 的坐标 ),( 11 yx 、 ),( 22 yx 是方程组 2 2 1 ① 1 ② 4 y kx yx      的解. 将①代入 ②并化 简得, 2 2(4 ) 2 3 0k x kx    ,所以 1 2 2 1 2 2 2 , 4 8 . 4 kx x k y y k          于是 1 ( )2OP OA OB    ＝ 1 2 1 2( , )2 2 x x y y  ＝ 2 2 4( , ) 4 4 k k k    ．设点 P 的坐标为 ),,( yx 则 2 2 ,4 4 .4 kx k y k       消去参数 k 得 2 24 0x y y   ③ 当 k 不存在时,A、B 中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点 P 的轨迹方程为 .04 22  yyx 解法二：设点 P 的坐标为 ),( yx ,因 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB 在椭圆上,所以 ,14 2 12 1  yx ④ .14 2 22 2  yx ⑤ ④ — ⑤ 得 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) 04x x y y    , 所 以 1 2 1 2 1 2 1 2 1( )( ) ( )( ) 0.4x x x x y y y y      当 21 xx  时,有 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) 0.4 y yx x y y x x      ⑥,并且 1 2 1 2 1 2 1 2 ,2 ,2 1 . x xx y yy y yy x x x           ⑦ 将 ⑦代入⑥并整理得 .04 22  yyx ⑧ 当 21 xx  时,点 A、B 的坐标为(0,2)、(0,－2),这时点 P 的坐标为(0,0)也满足⑧,所以 点 P 的轨迹方程为 2 2 1( )2 1.1 1 16 4 yx    (2)解：由点 P 的轨迹方程知 2 1 1 1, .16 4 4x x   即 所以 2| |NP  ＝ 2 21 1( ) ( )2 2x y   ＝ 2 21 1( ) 42 4x x   ＝ 21 73( )6 12x   ,故当 1 4x  ,| |NP  取得最小值,最小值为 1 1;4 6x  当 时,| |NP  取得最大值,最大值为 21.6