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- 2021-05-13 发布
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本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,其中第II卷第(15)题为选考题,其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:
1、答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁,不折叠,不破损。
5、做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式:
样本数据的标准差 其中为样本平均数
锥体体积公式其中为底面面积,为高
第I卷
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设M={}, N={},则( )
A.MN B.NM 高☆考♂资♀源€网C.MN D.NM
2.已知为虚数单位, 则复数的虚部为( )
A. 0 B. C. 1 D.
3.在同一平面直角坐标系中,画出函数
的部分图像如下,则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A.8 B.
C. D.
5. 如果对于任意实数,表示不超过的最大整数. 例如,.
那么“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.对任意实数函数的图象都不经过点则点的轨迹是( )
A.两条平行直线 B. 四条除去顶点的射线 C. 两条抛物线 D. 两条除去顶点的抛物线
7. 设变量满足约束条件,则目标函数=的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 如图所示,两射线与交于点,下列5个向量中,① ② ③ ④ ⑤若以为起点,终点落在阴影区域内(含边界)的向量有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
9.若函数的不同零点个数为,则的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为(),传输信息为,其中,运算规则为:,,,,例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( )
A.11010 B.01100 C.10111 D.00011
第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
11.已知函数,表示函数的导函数,则函数的图像在点处的切线方程为______________.
12. 一个袋中装有2个红球和2个白球,现从袋中取出1球,然后放回袋中再取出一球,则取出的两个球同色的概率是 .
13. 设圆的切线与轴的正半轴,轴的正半轴分别交于点,,当取最小值时,切线的为 .
14. 在极坐标系中,曲线的焦点的极坐标为 .
15. 图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图中,将第1个三角形的三边中点为顶点的三角形着色,将第个图形中的每个未着色三角形的三边中点为顶点的三角形着色,得到第个图形, 这样这些图形中着色三角形的个数依次构成一个数列,则数列的通项公式为 .
三.解答题:本大题共75分。其中(16)~(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤
16.(本小题满分12分)在△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且
(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)已知且,求函数在区间上的最大值与最小值.
17.(本题满分12分)第17题图
甲
乙
1
2
3
4
莆田市在每年的春节后,市政府都会发动公务员参与到植树活动中去.林管部门在植树前,为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度,量出的高度如下(单位:厘米)
甲:
乙:
(Ⅰ)根据抽测结果,完成答题卷中的茎叶图,并根据
你填写的茎叶图,对甲、乙两种树苗的高度作比较,写出
两个统计结论;
(Ⅱ)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为,将
这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行的运算,问
输出的大小为多少?并说明的统计学意义.
18.(本小题满分12分)M
F
E
C
D
B
A
如图,在梯形中,∥,,。,平面平面,四边形是矩形,,点在线段上.。
(1)求证:平面;。
(2)当为何值时,∥平面?证明你的结论;
19.(本小题满分12分)设函数,其中实数为常数.
(Ⅰ)求证: 是函数为奇函数的充要条件;
(Ⅱ) 已知函数为奇函数,当时,求表达式的最小值.
20.(本题满分13分)
21. (本题满分14分) 设是两个数列,点为直角坐标平面上的点.
(Ⅰ)对若三点共线,求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列{}满足:,其中是第三项为8,公比为4的等比数列.求证:点列(1,
在同一条直线上,并求出此直线的方程.
第I卷
一、1~5 B D D D C A 6~10 B C A B C
提示:
1. 因为集合,所以NM,选B.
2.
3.由知
函数的图像的振幅、最小正周期分别为
对照图形便知选D.
4.几何体是正方体截去一个三棱台,.
5. ①设则,
故“”是“”的充分条件;②设则
但故“”不是“”的必要条件.
6. 设,则对任意实数函数的图象
都不经过点关于的方程没有实数解
或
所以点的轨迹是除去两点的两条平行直线与
7. 如图1,可域为的边界及内部,双曲线 与可行域有公共点时
8. 设在阴影区域内,则射行线与线段有公共点,记为,则存在实数使得,且存在实数使得,从而
,且.只有②符合.
9.
函数在定义域上是减函数,且,
,故
10. 从101中可知选C
二、11. 12. 13. 14. 15.
提示:
11.
故切线方程为
12. 从袋中有放回地先后取出2,共有16种等可能的结果,其中取出的两个球同色共有8种等可能的结果,故所求概率为
13. 设,则切线的方程为,
由得,
当且仅当时,上式取等号,故,此时切线的方程为
14. ,
其焦点的直角坐标为对应的极坐标为
15.
当时,
也可由不完全归纳法猜得.
三、
16.解:(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得………………………1分
即 ,………………………………………………3分
………………………………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:设
, ………………………………………………9分
.
当时,有最小值 当时,有最大值
故函数在区间上的最大值与最小值分别为与 …………………12分
17.解:(Ⅰ)茎叶图如图2. ………………………3分
统计结论:①甲种树苗的平均高度小于乙种树
苗的平均高度;
②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;
③甲种树苗的中位数为,乙种树苗的中位数为;
④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,
乙种树苗的高度分布较为分散. ………………………………………………6分
(Ⅱ) (给分说明:写出的结论中,1个正确得2分.)
……………………8分
……………………10分
表示株甲树苗高度的方差,是描述树苗高度离散程度的量.
值越小,表示长得越整齐,值越大,表示长得越参差不齐. …………………12分
18.证明:(Ⅰ)在梯形中,,
四边形是等腰梯形,
且,
又平面平面,交线为,平面 …………5分
……12分
解法二:当时,平面,
由(Ⅰ)知,以点为原点,所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,
,
平面,
平面与、共面,
也等价于存在实数、,使,
设.,
又,,
从而要使得:成立,
需,解得 当时,平面.…………12分
19.解: (Ⅰ)证法一:充分性: 若,则.…………1分
①;…………2分
②当时,
函数为奇函数. …………3分
必要性: 若函数为奇函数,则,
即
故是函数为奇函数的充要条件. …………6分
(Ⅰ)证法二:因为,所以函数为奇函数的充要条件是
故是函数为奇函数的充要条件. …………6分
(Ⅱ) 若函数为奇函数, 则.
①当时, .…………7分
②当时, ………8分
设,.…………9分
单调减少
极小值
单调增加
…………………………………………………………………………………………………10分
的极小值为,,…………………………11分
且当时, .
所以…………12分
20.
21.解:(Ⅰ)因三点共线,
得故数列的通项公式为 ……………………6分
(Ⅱ)由题意
由题意得
当时,
.当n=1时,,也适合上式,
因为两点的斜率为常数
所以点列(1,在同一条直线上,
且方程为:,即. …………………14分