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  • 2021-05-13 发布

全国高考文科数学试题及答案天津卷

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‎2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 数学(文科)‎ 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 是虚数单位,复数( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎2. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为( )‎ A. ‎2 B. ‎3 C. 4 D. 5‎ 3. ‎ 已知命题( )‎ A. ‎ B. ‎ C. D.‎ 4. ‎ 设则( )‎ A. ‎ B. C. D.‎ 5. ‎ 设是首项为,公差为的等差数列,为其前n项和,若成等比数列,则=( )‎ A.2 B.‎-2 C. D .‎ 6. ‎ 已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为( )‎ A. ‎ B. C. D.‎ 7. ‎ 如图,是圆的内接三角行,的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分;②;‎ ‎③;④.则所有正确结论的序号是( )‎ A.①② B.③④ C.①②③ D. ①②④‎ ‎8. 已知函数在曲线与直线的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则的最小正周期为( )‎ A. B. C. D.‎ 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为,则应从一年级本科生中抽取 名学生.‎ ‎10. 一个几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积为 .‎ ‎11.阅读右边的框图,运行相应的程序,输出的值为________.‎ ‎12. 函数的单调递减区间是________.‎ ‎13. 已知菱形的边长为,,点,分别在边、上,,.若,则的值为________.‎ 14. 已知函数若函数恰有4个零点,则实数的取值范围为_______‎ 三. 解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (15) ‎(本小题满分13分)‎ 某校夏令营有3名男同学和3名女同学,其年级情况如下表:‎ 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)‎ (1) 用表中字母列举出所有可能的结果 (2) 设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件发生的概率.‎ ‎16、(本小题满分13分)‎ 在中,内角所对的边分别为,已知,‎ (1) 求的值;‎ (2) 求的值.‎ ‎17、(本小题满分13分)‎ 如图,四棱锥的底面是平行四边形,,,分别是棱的中点. ‎ (1) 证明平面;‎ (2) 若二面角P-AD-B为,‎ ① 证明:平面PBC⊥平面ABCD ② 求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.‎ ‎18、(本小题满分13分)‎ 设椭圆的左、右焦点分别为,,右顶点为A,上顶点为B.已知=.‎ (1) 求椭圆的离心率;‎ (2) 设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点,经过点的直线与该圆相切与点M,=.求椭圆的方程.‎ ‎19. (本小题满分14分)‎ 已知函数 ‎(1)求的单调区间和极值;‎ ‎(2)若对于任意的,都存在,使得,求的取值范围 ‎20.(本小题满分14分)‎ 已知和均为给定的大于1的自然数,设集合,集合,‎ (1) 当时,用列举法表示集合A;‎ ‎(2)设其中证明:若则.‎ 参考答案 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分40分。‎ ‎1. A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.A 7.D 8.C 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分30分。‎ ‎9. 60 10. 11. -4 12. 13. 2 14. (1,2)‎ 三、解答题:‎ ‎15.本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识。考查运用概率只是解决简单实际问题的能力。满分13分。‎ 解:(Ⅰ)从6名同学汇总随机选出2人参加只是竞赛的所有可能结果为 ‎,‎ ‎,共15种。‎ ‎(Ⅱ)选出的2人来自不同年纪且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为 ‎,共6种。‎ 因此,事件发生的概率 ‎16.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力,满分13分。‎ 解:(Ⅰ)在中,由,及,可得,‎ 又由,有 所以,‎ ‎(Ⅱ)在中,由,可得,于是 所以,‎ ‎17.本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识。考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力。满分13分。‎ ‎(Ⅰ)证明:如图,取中点,连接,‎ 因为为中点,故且,由已知有,又由于为中点,因而且,故四边形为平行四边形,所以,又平面,而平面,所以平面 ‎(Ⅱ)‎ ‎(ⅰ)证明:连接,‎ 因为,而为中点,故,‎ 所以为二面角的平面角。‎ 在中,由,可解得,‎ 在中,由,可解得,‎ 在中,由,由余弦定理,可解得,‎ 从而,即,‎ 又,从而,因此平面。‎ 又平面,所以,平面平面 ‎(ⅱ)解:连接,由(ⅰ)知,平面,所以为直线与平面所成的角,由及已知,得为直角,而,可得,故,又,故在直角三角形中,。‎ 所以,直线与平面所成角的正弦值为 ‎18.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力。满分13分。‎ ‎(Ⅰ)解:设椭圆右焦点的坐标为,由,可得,‎ 又,则 所以,椭圆的离心率 ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,,故椭圆的方程为 设,由,有 由已知,有,即,又,故有 ‎ ①‎ 因为点在椭圆上,故 ‎ ②‎ 由①和②可得,而点捕食椭圆的顶点,故,代入①得,即点的坐标为 设圆的圆心为,则,进而圆的半径 由已知,有,又,故有 解得 所以,所求椭圆的方程为 ‎19.本小题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的性质,考查化归思想、分类讨论思想、函数思想。考查综合分析问题和解决问题的能力。满分14分。‎ ‎(Ⅰ)解:由已知,有 令,解得或 当变化时,的变化情况如下表:‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ 所以,的单调递增区间是;单调递减区间是,,‎ 当时,有极小值,且极小值;‎ 当时,有极大值,且极大值 ‎(Ⅱ)解:由及(Ⅰ)知,当时,;当时,‎ 设集合,集合,则“对于任意的,都存在,使得”等价于,显然,‎ ‎.‎ 下面分三种情况讨论:‎ ‎(1)当,即时,由可知,,而,所以不是的子集。‎ ‎(2)当,即时,有,‎ 且此时在上单调递减,故,因而;‎ 由,有在上的取值范围包含,则 所以,‎ ‎(3)当,即时,有,且此时在上单调递减,故,所以不是的子集。‎ 综上,的取值范围是 ‎20.本小题主要考查集合的含义与表示,等比数列的前项和公式,不等式的证明等基础只是和基本方法。考查运算能力、分析问题和解决问题的能力。满分14分。‎ ‎(Ⅰ)解:当时,‎ 可得,‎ ‎(Ⅱ)证明:由,,及,可得 所以,‎