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- 2021-05-13 发布
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2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(文科)
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 是虚数单位,复数( )
A. B. C. D.
2. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知命题( )
A. B.
C. D.
4. 设则( )
A. B. C. D.
5. 设是首项为,公差为的等差数列,为其前n项和,若成等比数列,则=( )
A.2 B.-2 C. D .
6. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
7. 如图,是圆的内接三角行,的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分;②;
③;④.则所有正确结论的序号是( )
A.①② B.③④ C.①②③ D. ①②④
8. 已知函数在曲线与直线的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则的最小正周期为( )
A. B. C. D.
二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为,则应从一年级本科生中抽取 名学生.
10. 一个几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积为 .
11.阅读右边的框图,运行相应的程序,输出的值为________.
12. 函数的单调递减区间是________.
13. 已知菱形的边长为,,点,分别在边、上,,.若,则的值为________.
14. 已知函数若函数恰有4个零点,则实数的取值范围为_______
三. 解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
(15) (本小题满分13分)
某校夏令营有3名男同学和3名女同学,其年级情况如下表:
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)
(1) 用表中字母列举出所有可能的结果
(2) 设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件发生的概率.
16、(本小题满分13分)
在中,内角所对的边分别为,已知,
(1) 求的值;
(2) 求的值.
17、(本小题满分13分)
如图,四棱锥的底面是平行四边形,,,分别是棱的中点.
(1) 证明平面;
(2) 若二面角P-AD-B为,
① 证明:平面PBC⊥平面ABCD
② 求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.
18、(本小题满分13分)
设椭圆的左、右焦点分别为,,右顶点为A,上顶点为B.已知=.
(1) 求椭圆的离心率;
(2) 设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点,经过点的直线与该圆相切与点M,=.求椭圆的方程.
19. (本小题满分14分)
已知函数
(1)求的单调区间和极值;
(2)若对于任意的,都存在,使得,求的取值范围
20.(本小题满分14分)
已知和均为给定的大于1的自然数,设集合,集合,
(1) 当时,用列举法表示集合A;
(2)设其中证明:若则.
参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分40分。
1. A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.A 7.D 8.C
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分30分。
9. 60 10. 11. -4 12. 13. 2 14. (1,2)
三、解答题:
15.本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识。考查运用概率只是解决简单实际问题的能力。满分13分。
解:(Ⅰ)从6名同学汇总随机选出2人参加只是竞赛的所有可能结果为
,
,共15种。
(Ⅱ)选出的2人来自不同年纪且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为
,共6种。
因此,事件发生的概率
16.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力,满分13分。
解:(Ⅰ)在中,由,及,可得,
又由,有
所以,
(Ⅱ)在中,由,可得,于是
所以,
17.本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识。考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力。满分13分。
(Ⅰ)证明:如图,取中点,连接,
因为为中点,故且,由已知有,又由于为中点,因而且,故四边形为平行四边形,所以,又平面,而平面,所以平面
(Ⅱ)
(ⅰ)证明:连接,
因为,而为中点,故,
所以为二面角的平面角。
在中,由,可解得,
在中,由,可解得,
在中,由,由余弦定理,可解得,
从而,即,
又,从而,因此平面。
又平面,所以,平面平面
(ⅱ)解:连接,由(ⅰ)知,平面,所以为直线与平面所成的角,由及已知,得为直角,而,可得,故,又,故在直角三角形中,。
所以,直线与平面所成角的正弦值为
18.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力。满分13分。
(Ⅰ)解:设椭圆右焦点的坐标为,由,可得,
又,则
所以,椭圆的离心率
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,,故椭圆的方程为
设,由,有
由已知,有,即,又,故有
①
因为点在椭圆上,故
②
由①和②可得,而点捕食椭圆的顶点,故,代入①得,即点的坐标为
设圆的圆心为,则,进而圆的半径
由已知,有,又,故有
解得
所以,所求椭圆的方程为
19.本小题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的性质,考查化归思想、分类讨论思想、函数思想。考查综合分析问题和解决问题的能力。满分14分。
(Ⅰ)解:由已知,有
令,解得或
当变化时,的变化情况如下表:
0
-
0
+
0
-
0
所以,的单调递增区间是;单调递减区间是,,
当时,有极小值,且极小值;
当时,有极大值,且极大值
(Ⅱ)解:由及(Ⅰ)知,当时,;当时,
设集合,集合,则“对于任意的,都存在,使得”等价于,显然,
.
下面分三种情况讨论:
(1)当,即时,由可知,,而,所以不是的子集。
(2)当,即时,有,
且此时在上单调递减,故,因而;
由,有在上的取值范围包含,则
所以,
(3)当,即时,有,且此时在上单调递减,故,所以不是的子集。
综上,的取值范围是
20.本小题主要考查集合的含义与表示,等比数列的前项和公式,不等式的证明等基础只是和基本方法。考查运算能力、分析问题和解决问题的能力。满分14分。
(Ⅰ)解:当时,
可得,
(Ⅱ)证明:由,,及,可得
所以,