2015高考数学（理）（第七章 不等式、推理与证明）一轮过关测试题 8页

第七章　章末检测 ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．(2011·山东)设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于(　　)‎ A．[1,2) B．[1,2]‎ C．(2,3] D．[2,3]‎ ‎2．(2011·商丘月考)下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若|a|>b，则a2>b2‎ C．若a>b，则a2>b2‎ D．若a>|b|，则a2>b2‎ ‎3．若实数a、b满足a＋b＝2，则‎3a＋3b的最小值是(　　)‎ A．18 B．‎6 ‎ C．2 D．2 ‎4．不等式y≥|x|表示的平面区域是(　　)‎ ‎5．(2011·北京)如果xn)都成立的是(　　)‎ A．|an－am|< B．|an－am|> C．|an－am|< D．|an－am|> ‎9．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为a、b.设物体的真实重量为G，则(　　)‎ A.＝G B.≤G C.>G D.0的解集是{x|x<－1或x>4}，则实数a、b的值分别为________．‎ ‎14．(2011·陕西)如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．‎ ‎15．(2011·汤阴模拟)已知正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为____________，a＋b的取值范围是____________．‎ ‎16．(2011·山东)设函数f(x)＝(x>0)，观察：‎ f1(x)＝f(x)＝，‎ f2(x)＝f(f1(x))＝，‎ f3(x)＝f(f2(x))＝，‎ f4(x)＝f(f3(x))＝，‎ ‎……‎ 根据以上事实，由归纳推理可得：‎ 当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17．(10分)解关于x的不等式≤(其中a>0且a≠1)．‎ ‎18．(12分)(2011·惠州月考)函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.‎ ‎(1)求f(0)；‎ ‎(2)求f(x)；‎ ‎(3)当0ax－5恒成立，求a的取值范围．‎ ‎19．(12分)(2011·汕头月考)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．‎ ‎(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；‎ ‎(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？‎ ‎20．(12分)(2011·嘉兴月考)某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？‎ ‎21．(12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：‎ 已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a＋a≥.‎ 证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，‎ f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a＝2x2－2x＋a＋a.‎ 因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，从而得a＋a≥.‎ ‎(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述问题的推广式；‎ ‎(2)参考上述证法，对你推广的问题加以证明．‎ ‎22．(12分)(2009·山东)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．‎ ‎(1)求r的值；‎ ‎(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，‎ 证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立．‎ 第七章　章末检测 ‎1．A　[∵x2＋x－6<0，∴－3＝G.]‎ ‎10．D　[∵M＝(－1)(－1)(－1)‎ ‎＝··≥··＝8，‎ 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．‎ ‎∴M≥8.]‎ ‎11．A　[当x＝0时，对任意实数a，不等式都成立；‎ 当x≠0时，a≥－＝－＝f(x)，‎ 问题等价于a≥f(x)max，∵f(x)max＝－2，故a≥－2.‎ 综上可知，a的取值范围是[－2，＋∞)．]‎ ‎12．B　[x2＋2y2＝(x2＋2y2)·1＝(x2＋2y2)·＝1＋＋＋2≥3＋2 ‎＝3＋2，当且仅当＝时等号成立．]‎ ‎13．－4,1‎ 解析　由题意知，－1、4为方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的两根，∴a＋1＝－3，ab＝－4.∴a＝－4，b＝1.‎ ‎14．1‎ 解析　令b＝2x－y，则y＝2x－b，‎ 如图所示，作斜率为2的平行线y＝2x－b，‎ 当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，为－b，此时b＝2x－y取得最小值，为b＝2×1－1＝1.‎ ‎15．[9，＋∞)　[6，＋∞)‎ 解析　∵a＋b≥2，∴ab－3≥2.‎ 解得，≥3或≤－1(舍)，∴ab≥9，‎ a＋b＝ab－3≥6.‎ ‎16. 解析　依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.‎ 所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.‎ ‎17．解　①当a>1时，有x－＋1≤－1，‎ ‎∴x－＋2≤0，∴≤0.‎ ‎∴≤0，∴x≤－3或01时，x∈(－∞，－3]∪(0,1]；‎ 当0ax－5化为x2＋x－2>ax－5，ax0且b≠1，‎ 所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．‎ 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，‎ 所以＝b，所以r＝－1.(5分)‎ ‎(2)证明　由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，‎ 所证不等式为··…·>.‎ ‎(6分)‎ ‎①当n＝1时，左式＝，右式＝.‎ 左式>右式，所以结论成立，(7分)‎ ‎②假设n＝k(k∈N*)时结论成立，即··…·>，则当n＝k＋1时，‎ ··…·>· ‎＝要证当n＝k＋1时结论成立，‎ 只需证≥，‎ 即证≥，‎ 由均值不等式＝≥成立，‎ 所以，当n＝k＋1时，结论成立．(11分)‎ 由①②可知，n∈N*时，不等式··…·>成立．(12分)‎