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  • 2021-05-13 发布

2020-2021学年高考数学(理)考点:绝对值不等式

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‎2020-2021学年高考数学(理)考点:绝对值不等式 ‎1.绝对值三角不等式 ‎ (1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.‎ 几何解释:用向量a,b分别替换a,b.‎ ‎①当a与b不共线时,有|a+b|<|a|+|b|,其几何意义为两边之和大于第三边;‎ ‎②若a,b共线,当a与b同向时,|a+b|=|a|+|b|,当a与b反向时,|a+b|<|a|+|b|;‎ 由于定理1与三角形之间的这种联系,故称此不等式为绝对值三角不等式.‎ ‎③定理1的推广:如果a,b是实数,那么||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.‎ ‎(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|.当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.‎ 几何解释:在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,‎ 当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.‎ 当点B不在点A,C之间时:‎ ‎①点B在A或C上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|;‎ ‎②点B不在A,C上时,|a-c|<|a-b|+|b-c|.‎ 应用:利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.‎ ‎2.两类含绝对值不等式的证明技巧 一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用 ‎||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明.‎ 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.‎ ‎3.(1)利用绝对值不等式求函数最值时,要注意利用绝对值的性质进行转化,构造绝对值不等式的形式.‎ ‎(2)求最值时要注意等号成立的条件,它也是解题的关键.‎ ‎4.含绝对值的综合问题,综合性强,所用到的知识多,在解题时,要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件,还要注意配方等等价变形,同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时,还要注意等号成立的条件.‎ ‎5. 绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集:‎ 不等式 a>0‎ a=0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(-∞,-a)∪‎ ‎(-∞,0)∪‎ R ‎(a,+∞)‎ ‎(0,+∞)‎ ‎(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:‎ ‎①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;‎ ‎②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c;‎ ‎(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;‎ ‎②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;‎ ‎③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.‎ ‎6.含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a,b是实数,则|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.‎ ‎(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.‎ ‎1.(2019•上海)不等式的解集为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得,即 故答案为:.‎ ‎2.(2018•上海)不等式的解集为__________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由,解得:或,‎ 故不等式的解集是或,‎ 故答案为:或.‎ ‎3.(2017•上海)不等式的解集为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故不等式的解集是,‎ 故答案为:.‎ ‎4.(2020•江苏)设,解不等式.‎ ‎【解析】.‎ ‎,或或,‎ 或或,,‎ 不等式的解集为.‎ ‎5.(2020•新课标Ⅰ)已知函数.‎ ‎(1)画出的图象;‎ ‎(2)求不等式的解集.‎ ‎【解析】函数,‎ 图象如图所示 ‎(2)由于的图象是函数的图象向左平移了一个单位所得,(如图所示)‎ 直线向左平移一个单位后表示为,‎ 联立,解得横坐标为,‎ 不等式的解集为.‎ ‎6.(2020•新课标Ⅱ)已知函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当时,,‎ 当时,不等式化为,即,;‎ 当时,不等式化为,此时;‎ 当时,不等式化为,即,.‎ 综上,当时,不等式的解集为或;‎ ‎(2).‎ 又,,‎ 得或,‎ 解得:或.‎ 综上,若,则的取值范围是,,.‎ ‎7.(2019•江苏)设,解不等式.‎ ‎【解析】,‎ ‎,‎ 或或,‎ 或或,‎ 不等式的解集为或.‎ ‎8.(2019•新课标Ⅱ)已知.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)当时,,求的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当时,,‎ ‎,当时,,恒成立,;‎ 当时,恒成立,;‎ 综上,不等式的解集为;‎ ‎(2)当时,在上恒成立;‎ 当时,,,不满足题意,‎ 的取值范围为:,‎ ‎9.(2018•新课标Ⅰ)已知.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若时不等式成立,求的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当时,,‎ 由,‎ 或,‎ 解得,‎ 故不等式的解集为,,‎ ‎(2)当时不等式成立,‎ ‎,‎ 即,‎ 即,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故的取值范围为,.‎ ‎10.(2018•新课标Ⅱ)设函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当时,.‎ 当时,,解得,‎ 当时,恒成立,即,‎ 当时,,解得,‎ 综上所述不等式的解集为,,‎ ‎(2),‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 解得或,‎ 故的取值范围,,.‎ ‎11.(2017•新课标Ⅰ)已知函数,.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若不等式的解集包含,,求的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当时,,是开口向下,对称轴为的二次函数,‎ ‎,‎ 当时,令,解得,在上单调递增,在上单调递减,此时的解集为,;‎ 当,时,,.‎ 当时,单调递减,单调递增,且.‎ 综上所述,的解集为,;‎ ‎(2)依题意得:在,恒成立,即在,恒成立,则只需,解得,‎ 故的取值范围是,.‎ ‎12.(2017•新课标Ⅲ)已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若不等式的解集非空,求的取值范围.‎ ‎【解析】(1),,‎ 当时,,解得;‎ 当时,恒成立,故;‎ 综上,不等式的解集为.‎ ‎(2)原式等价于存在使得成立,‎ 即,设.‎ 由(1)知,,‎ 当时,,其开口向下,对称轴方程为,‎ ‎;‎ 当时,,其开口向下,对称轴方程为,‎ ‎;‎ 当时,,其开口向下,对称轴方程为,‎ ‎(2);‎ 综上,,‎ 的取值范围为,.‎ 强化训练 ‎1.(2020•安庆模拟)已知函数,则不等式的解集为  ‎ A. B. ‎ C.,, D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由,得,‎ 作出函数与的图象如图,‎ 当时,由,得,‎ 再令,当时,该函数为增函数,而(1),‎ 时,函数与的图象的交点的横坐标为1,‎ 由对称性可得,时,函数与的图象的交点的横坐标为,‎ 由图可知,不等式的解集为,,.‎ 故选.‎ ‎2.(2020•内江三模)已知函数,函数的定义域为.‎ ‎(1)求实数的取值范围;‎ ‎(2)求解不等式.‎ ‎【解析】(1),,‎ 的定义域为,‎ 恒成立,,‎ 的取值范围为,.‎ ‎(2).‎ ‎,或或,‎ 或或,,‎ 不等式的解集为,.‎ ‎3.(2020•运城模拟)已知函数.‎ ‎(1)若,求不等式的解集;‎ ‎(2)若的解集包含,,求的取值范围.‎ ‎【解析】(1)时,‎ 当时,等价于,解得,‎ 当时,等价于,该不等式不成立,‎ 当时,等价于,解得 所以不等式的解集为.‎ ‎(2)的解集包含,,‎ 即,时恒成立,即恒成立,‎ 即恒成立,即恒成立,‎ 所以,解得或 所以的取值范围是.‎ ‎4.(2020•东湖区校级模拟)已知函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)当时,若的图象与轴围成的三角形面积等于6,求的值.‎ ‎【解析】(1)当时,.‎ ‎,或或,‎ 或或,,‎ 不等式的解集为.‎ ‎(2)当时,,‎ 当时,令,则或,‎ 又由,得,‎ 的图象与轴围成的三角形面积等于6,‎ ‎,‎ 解得或(舍.‎ ‎5.(2020•安徽模拟)已知函数,.‎ ‎(1)当时,求不等式;‎ ‎(2)对任意.关于的不等式总有解,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1)由已知,不等式即为,‎ 则或或 解得或或,‎ 故不等式的解集为,.‎ ‎(2)对任意.关于的不等式总有解,‎ 而,当且仅当,即时取得最小值.‎ 又(当且仅当时取等号),‎ 故只需,解得,即实数的取值范围为.‎ ‎6.(2020•碑林区校级模拟)已知,.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)求(2)(3)的最小值.‎ ‎【解析】(1)当时,‎ ‎.‎ ‎,或,‎ 或,,‎ 不等式的解集为.‎ ‎(2)(2)(3)‎ ‎,‎ 关于的函数(2)(3)在上单的递减,在上单的递增,‎ 当时,(2)(3)的最小值为.‎ ‎7.(2020•松原模拟)已知函数.‎ ‎(1)当时,解不等式;‎ ‎(2)若对任意成立,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当时,.‎ ‎,或或,‎ ‎,不等式的解集为.‎ ‎(2),‎ ‎,‎ 又对任意成立,‎ ‎,,,‎ 实数 的取值范围是,.‎ ‎8.(2020•来宾模拟)设函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若的解集不为空集,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1),,‎ 或或,‎ 或或,‎ 不等式的解集为或或.‎ ‎(2)的解集不为空集 等价于恒成立,‎ 即恒成立,‎ ‎,‎ ‎, 或,‎ 或,‎ 的取值范围为,,.‎ ‎9.(2020•鼓楼区校级模拟)已知.‎ ‎(1)若,求的最小值;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1)若,则,‎ 故(2);‎ ‎(2)令得,‎ 此时,‎ 所以,.‎ ‎10.(2020•青羊区校级模拟)已知函数.‎ ‎(1)解不等式;‎ ‎(2)已知,若成立,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1)由题知,‎ 当时,,‎ 解得,‎ 当时,即,‎ 解得,‎ 当时,即,无解,‎ 综上可得.‎ ‎(2)(当且仅当时取等号),‎ 令,‎ 时,,‎ 要使不等式恒成立,只需,即.‎ ‎11.(2020•东湖区校级模拟)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)当时,若的图象与轴围成的三角形面积等于6,求的值.‎ ‎【解析】(Ⅰ)当时,,‎ 因为,所以①当时,则,解得,即;‎ ‎②当时,则,无解;‎ ‎③当时,则,解得,‎ 综上,,即解集为:.‎ ‎(Ⅱ)当时,‎ 当 时,,‎ 当 时,,‎ 当 时,,‎ 综上,,‎ 画出函数 的图象如图所示:‎ 则 与 轴围成的 三个顶点分别为:‎ ‎,‎ 由题设可得:,‎ 化简得,‎ 解得 或 不合题意,舍去 故的值是.‎ ‎12.(2020•让胡路区校级三模)已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若关于的不等式的解集不是空集,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1)由题意得.‎ ‎①当时,不等式可化为,解得,所以.‎ ‎②当时,不等式可化为,解得,所以.‎ ‎③当时,不等式可化为,解得,所以.‎ 综上可得不等式的解集为.‎ ‎(2)由(1)知,对于任意,,且当时取等号,‎ 所以的最大值为2.‎ 关于的不等式的解集不是空集,‎ 则.解得,‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎13.(2020•吉林四模)已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若直线与曲线仅有1个公共点,求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(1)当时,,则,‎ 当时,,则,‎ 当时,,则,‎ 当时,,则,‎ 故不等式的解集是;‎ ‎(2)作出的图象,如图示:‎ 直线过原点,当此直线经过点时,,‎ 当此直线与直线平行时,,‎ 结合的图象的对称性可得的取值范围是,,,.‎