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  • 2021-05-13 发布

高考数学新课标2文科真题及答案

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‎1.(2018年新课标Ⅱ文)i(2+3i)=( )‎ A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i D 【解析】i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.‎ ‎2.(2018年新课标Ⅱ文)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )‎ A.{3} B.{5} C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}‎ C 【解析】A∩B={1,3,5,7}∩{2,3,4,5}={3,5}.‎ ‎3.(2018年新课标Ⅱ文)函数f(x)=的图象大致为( )‎ ‎ ‎ A B ‎ ‎ C D B 【解析】f(-x)==-=-f(x),则f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除A;当x=1时,f(1)=e->0,排除D;当x→+∞时,f(x)→+∞,排除C.故选B.‎ ‎4.(2018年新课标Ⅱ文)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )‎ A.4 B.3 C.2 D.0‎ B 【解析】由题意,a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3.‎ ‎5.(2018年新课标Ⅱ文)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( )‎ A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3‎ D 【解析】设2名男生为a,b,3名女生为A,B,C,则任选2人的种数为ab,aA,aB,aC,bA,bB,Bc,AB,AC,BC,共10种,其中全是女生为AB,AC,BC共3种,所以选中的2人都是女同学的概率p==0.3.‎ ‎6.(2018年新课标Ⅱ文)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x A 【解析】依题意,e==,则====,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选A.‎ ‎7.(2018年新课标Ⅱ文)在△ABC中,cos =,BC=1,AC=5,则AB=( )‎ A.4 B. C. D.2 A 【解析】cos C=2×2-1=-,由余弦定理,得AB= ‎==4.‎ ‎8.(2018年新课标Ⅱ文)为计算S=1-+-+…+-,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入( )‎ A.i=i+1? B.i=i+2? C.i=i+3? D.i=i+4?‎ B 【解析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的是S=N-T=++…+,则在空白处应填入“i=i+2?”.‎ ‎9.(2018年新课标Ⅱ文)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )‎ A. B. C. D. C 【解析】连接BE,易证AB⊥平ABE面BCC1B1,又BE⊂平面BCC1B1,则AB⊥BE,故△ABE为Rt△,且∠ABE=90°.平移CD至AB,则∠BAE为AE与CD所成的角.设正方体的棱长为2,则AB=2,由勾股定理易得BE=.在Rt△ABE中,tan∠ABE==.故选C.‎ ‎10.(2018年新课标Ⅱ文)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是( )‎ A. B. C. D.π C 【解析】f(x)=cos x-sin x=-(sin x-cos x)=-sin.由-+2kπ≤x-≤+2kπ(k∈Z),得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).取k=0,得f(x)的一个减区间为.由f(x)在[0,a]是减函数,得a≤[0,a]是减函数,所以a的最大值是.‎ ‎11.(2018年新课标Ⅱ文)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为( )‎ A.1- B.2- C. D.-1‎ D 【解析】如图,在Rt△PF1F2中,|F1F2|=2c.∵∠PF2F1=60°,∴|PF2|=c.由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF1|=2a-c.由勾股定理,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即(2a-c)2+c2=(2c)2,化简得=-1±.又椭圆的离心率e∈(0,1),∴C的离心率==-1.‎ ‎12.(2018年新课标Ⅱ文)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )‎ A.-50 B.0 C.2 D.50‎ C 【解析】∵f(x)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),∴f(1-x)=f(1+x)=-f(x-1),f(0)=0,则f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数.∵f(1)=2,∴f(2)=f(0)=0,f(3)=f(1-2)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,∴则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2.‎ ‎13.(2018年新课标Ⅱ文)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为________.‎ y=2x-2 【解析】∵y=2ln x,∴y′=.当x=1时,y′=2,∴曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.‎ ‎14.(2018年新课标Ⅱ文)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为________.‎ ‎9 【解析】作出可行域如图.z=x+y可化为y=-x+z.当直线y=-x+z过A(5,4)时,z取得最大值,最大值为z=5+4=9.‎ ‎15.(2018年新课标Ⅱ文)已知tan=,则tan α=________.‎ 【解析】∵tan=tan=,∴tan α=tan===.‎ ‎16.(2018年新课标Ⅱ文)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为________.‎ ‎8π 【解析】依题意可得△SAB的面积=SA2=8,解得SA=4.由SA与圆锥底面所成角为30°,可得圆锥的底面半径为2,圆锥的高为2,所以该圆锥的体积V=π·(2)2·2=8π.‎ ‎17.(2018年新课标Ⅱ文)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并求Sn的最小值.‎ ‎【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ S3=3a1+3d=3×(-7)+3d=-15,解得d=2.‎ ‎∴an=a1+(n-1)d=-7+2(n-1)=2n-9.‎ ‎(2)Sn===n2-8n.‎ ‎∵Sn=n2-8n=(n-4)2-16,‎ ‎∴当n=4时,Sn有最小值为-16.‎ ‎18.(2018年新课标Ⅱ文)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)‎ 的折线图.‎ 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.‎ ‎(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;‎ ‎(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.‎ ‎【解析】(1)对于模型①,当t=19时,=-30.4+13.5×19=226.1,即该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元.‎ 对于模型②,当t=9时,=99+17.5×9=256.5,即该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元.‎ ‎(2)模型②得到的预测值更可靠.‎ ‎∵从总体数据看,该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的,‎ 而从2000年到2009年间递增的幅度较小些,从2010年到2016年间递增的幅度较大些,‎ ‎∴利用模型②的预测值更可靠些.‎ ‎19.(2018年新课标Ⅱ文)如图,在三棱锥PABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.‎ ‎(1)求证:PO⊥平面ABC;‎ ‎(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.‎ ‎【解析】(1)证明:∵AB=BC=2,AC=4,∴AB2+BC2=AC2,即△ABC是直角三角形.‎ 又O为AC的中点,∴OA=OB=OC.‎ ‎∵PA=PB=PC,∴△POA≌△POB≌△POC.‎ ‎∴∠POA=∠POB=∠POC=90°.‎ ‎∴PO⊥AC,PO⊥OB,OB∩AC=0,∴PO⊥平面ABC.‎ ‎(2)由(1)得PO⊥平面ABC,PO==2.‎ 在△COM中,OM==.‎ S△POM=·PO·OM=,‎ S△COM=×S△ABC=.‎ 设点C到平面POM的距离为d.‎ 由VPOMC=VCPOM,得S△POM·d=S△COM·PO,解得d=.‎ ‎∴点C到平面POM的距离为.‎ ‎20.(2018年新课标Ⅱ文)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求l的方程;‎ ‎(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ ‎【解析】(1)抛物线C的焦点为F(1,0).‎ 当直线的斜率不存在时,|AB|=4,不合题意.‎ 设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 联立消去y,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,‎ ‎∴x1+x2=,x1x2=1.‎ 由|AB|=x1+x2+p=+2=8,解得k=1.‎ ‎∴直线l的方程y=x-1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为D(3,2),‎ 则直线AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或 ‎∴所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.‎ ‎ ‎ ‎21.(2018年新课标Ⅱ文)已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1).‎ ‎(1)若a=3,求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)求证:f(x)只有一个零点.‎ ‎【解析】(1)当a=3时,f(x)=x3-3(x2+x+1),∴f′(x)=x2-6x-3.‎ 令f′(x)=0,得x=3±2.‎ 当x∈(-∞,3-2),(3+2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;‎ 当x∈(3-2,3+2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.‎ 综上,f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)上单调递增,在(3-2,3+2)上单调递减.‎ ‎(2)证明:∵x2+x+1=2+>0,∴f(x)=0等价于-a=0.‎ 令g(x)=-a,则g′(x)=≥0,‎ 仅当x=0时,g′(x)=0,∴g(x)在R上是增函数.‎ g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.‎ 又∵f(3a-1)=-6a2+2a-=-62-<0,f(3a+1)>0,‎ ‎∴f(x)有一个零点.‎ 综上,f(x)只有一个零点.‎ ‎22.(2018年新课标Ⅱ文)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.‎ ‎【解析】(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),‎ 转换为直角坐标方程为+=1.‎ 直线l的参数方程为(t为参数),‎ 转换为直角坐标方程为xsin α-ycos α+2cos α-sin α=0.‎ ‎(2)把直线的参数方程代入椭圆的方程,‎ 整理得(4cos2α+sin2α)t2+(8cos α+4sin α)t-8=0,则t1+t2=-.‎ 由于(1,2)为中点坐标,∴=0,‎ 则8cos α+4sin α=0,解得tan α=-2.‎ ‎∴直线l的斜率为-2.‎ ‎23.(2018年新课标Ⅱ文)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;‎ ‎(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当a=1时,f(x)=5-|x+a|-|x-2|= 当x≤-1时,f(x)=2x+4≥0,解得-2≤x≤1;‎ 当-1<x<2时,f(x)=2≥0恒成立,即-1<x<2;‎ 当x≥2时,f(x)=-2x+6≥0,解得2≤x≤3.‎ 综上,不等式f(x)≥0的解集为[-2,3].‎ ‎(2)∵f(x)≤1,∴5-|x+a|-|x-2|≤1.‎ ‎∴|x+a|+|x-2|≥4.‎ ‎∴|x+a|+|x-2|=|x+a|+|2-x|≥|x+a+2-x|=|a+2|.‎ ‎∴|a+2|≥4,解得a≤-6或a≥2.‎ ‎∴a的取值范围(-∞,-6]∪[2,+∞).‎