上海市高考数学基本要求例题及练习基础 17页

第一单元集台与函数 ‎ 本单元所涉及的知识为集合和命题，函数的基本性质，幂函数、指数函数和对数 函数．‎ ‎ 集合作为表述数学对象的一种数学语言，将贯穿在今后的数学学习中；数学命题 早已接触，数学命题的充分性与必要性是表述数学内容及逻辑关系的最精确和最简单 的语言，也将在今后的数学学习中不断予以运用．‎ ‎ 函数是中学数学的一个核心内容，函数的概念、函数的基本性质以及分别作为基 本初等函数之一的幂函数、指数函数和对数函数的图像与性质的研究既是高等数学的 重要基础，也是用以建立函数模型解决诸多实际问题的重要依据．‎ ‎1．1 集合与命题 ‎【导 言】‎ ‎ 1．教学目标 ‎ (1)知道集合的意义，理解用以表示元素与集合间关系的符号；认识一些特殊集 合的记号，会用“列举法”和“描述法”表示集合；理解集合之间的包含关系，掌握子集的 概念；掌握集合的“交”、“并”、“补”等运算，知道有关的基本运算性质，会求几个集合的 交集、并集以及已知集合关于全集的补集．‎ ‎ (2)理解逆命题、否命题、逆否命题的含义，掌握四种形式命题的相互关系；理解 充分条件、必要条件、充分必要条件的意义，能在简单的问题情景中判断条件的充分 性、必要性、充分必要性．‎ ‎ (3)体会数学抽象的意义，认识数学符号变换的含意，能用集合的知识与方法观 察、思考、表述和解决一些简单问题，领会分类、判断、推理的思想方法．‎ ‎ 2．重点和难点 ‎ 重点：子集的概念，集合的运算；充分条件、必要条件、充分必要条件．‎ ‎ 难点：命题的证明，充分条件、必要条件、充分必要条件的判别．‎ ‎【内容要点与学习水平】‎ ‎ 学习内容 集合及其表示 ‎ ‎ 记忆水平(A)‎ 知道集合的意义．会对 集合的意义进行描述．‎ 认识·些特殊集合的 记号．‎ ‎ 学习水平 ‎ 解释性理解水平(B)‎ 懂得了已素及其与集合的关系符号．初步掌握基 本的集合语言．‎ ‎ 探究性理解水平(C)‎ 会用“列举法”和“描述 法”表示集合．体会数学 抽象的意义．掌握用区 间表示集合的方法．‎ 子集 理解集合之间的包含关系．‎ 掌握子集的概念．能用 集合语言表述和解决一些简单的实际问题．‎ 交集、并集、补 集 知道有关的基本运算性 质．‎ 掌握集合的“交”、“并”、‎ ‎“补”等运算．‎ 命题的四种形式 了解一些基本的逻辑关系及其运算．‎ 理解逆命题、否命题、逆 否命题，理解命题的四 种形式及其相互关系，体会逻辑语言在数学表 达和论证中的作用．‎ 初步掌握命题的四种形 式及其相互关系，建立命题与集合之间的联系．领会分类、判断、推 理的思想方法．‎ 充分条件、必 要条件、充要 条件 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．能 存简单的问题情景中判 断条件的充分性、必要 性、充要性．‎ ‎【内容梳理】‎ ‎ 知识结构 ‎【学习指导】‎ ‎ 1．问题讨论 ‎ 问题l 下列三个集合、相等吗?‎ ‎ 问题2 如何判定命题的真假?‎ ‎ 说明 命题的真假判定都要有依据，要判定一个命题为真命题或假命题，需要证 明，证明包括直接证明、间接证明．判定一个命题为假命题有时可以举一个反例．‎ ‎ 问题3 如何判别一个条件是充分条件或必要条件?‎ ‎ 说明 应该依据推出关系判别一个条件是充分条件或必要条件．‎ ‎ 2．例题解析 ‎ 例题l 已知集合，集合，集合，若对任何一个，都有，求 的取值范围．‎ ‎ 例题2 写出命题“已知，若．则关于的方程有实数 根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．‎ ‎ 例题3 判断下列各题中命题甲是命题乙的什么条件(填入充分非必要条件、必 要非充分条件、充要条件、既非充分又非必要条件)，并说明理由．‎ ‎ (1)函数的定义域均为R ‎ 甲：的积是偶函数． 乙：都是奇甬数．‎ ‎(2)设点集，‎ 甲：点P∈M． 乙：点P∈N．‎ ‎ (3)在△ABC中，‎ ‎ 甲：cosAcosBcosC>0． 乙：△ABC为锐角三角形．‎ ‎ 例题4 设集合，且，求实数 的取值范围．‎ ‎1.2‎ 例题l 试判断以下各组函数是否表示同一个函数．‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎ 例题2 求下列各函数的值域：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5）‎ 例3 如图，学校有一块三角形空地，（单位：米），现要在此空地上种植花草，为了美观，用一根条形石料DE将空地隔成面积相等的两部分（D在AB上，E在AC上）.‎ E D C B A ‎（1）设，求用表示的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎ （2）如何选取D、E的位置，可以使所用石料最省?‎ ‎ 1.3 1．问题讨论 ‎ 问题幂函数有哪些重要的性质?‎ 说明 幂函数。(a∈Q，a是常数)的定义域D由常数指数a确定，研究幂函数的性质，主要是研究幂函数在(0，)上的性质．‎ 当a >0时，。在(0，+OO)上是增函数；‎ 当a<0时， “在(0，+∞)上是减函数．幂函数的图像都经过点(1，1)．‎ ‎ 2．例题解析 ‎ 例题l 已知函数 (1≤x≤3)是单调递增函数，求实数a的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例题2已知，求实数a的取值范围 ‎ ‎ ‎1．4指数函数与对数函数 ‎ 1．教学目标 ‎ (1)掌握指数函数的概念、性质和图像．‎ ‎ (2)理解对数的意义，掌握积、商、幂的对数的性质，会用计算器求对数．‎ ‎ (3)掌握反函数的概念以及互为反函数的两个函数的性质与图像之间关系．‎ ‎ (4)理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质和图像．‎ ‎ (5)理解指数方程和对数方程的含义，会解简单的指数方程和对数方程．‎ ‎ (6)经历对互为反函数的两个函数的性质与图像之间的关系的研究，以及对指数 函数与对数函数的性质与图像之间的关系的研究，体会特殊与一般的辩证关系．‎ ‎ 2．重点和难点 ‎ 重点：反函数的概念，指数函数与对数函数的性质与图像．‎ ‎ 难点：指数函数的概念，对数的意义，指数函数与对数函数的单调性．‎ ‎【内容要点与学习水平】‎ ‎ 学习水平 ‎ 学习内容 ‎ 记忆水平(A)‎ ‎ 解释性理解水平(B)‎ ‎ 探究性理解水平(C)‎ 指数函数性 质与图像 理解有关的基本概念，进一步 领会研究函数的基本方法．‎ 掌握指数函数性质和图像．‎ 对数 经历由指数式提 出对数概念的过 程．‎ 理解对数的意义．初步掌握 换底公式的基本运用．‎ 掌握积、商、幂的对数性质．‎ 会用计算器求对数．‎ 反函数 掌握反函数的概念，会求简 单函数的反函数．‎ ‎(续表)‎ ‎ 学习水平 ‎ 学习内容 ‎ 记忆水平(A)‎ ‎ 解释性理解水平(B)‎ ‎ 探究性理解水平(C)‎ 对数函数性 质与图像 理解对数函数的意义．‎ 利用对数函数与指数函数互 为反函数的关系．研究与掌 握对数函数的性质和图像．‎ 指数方程和 对数方程 理解指数方程和对数方程的 概念．‎ 会解简单的指数方程和对数 方程．‎ ‎【内容梳理】‎ ‎ 1．知识结构 ‎2．公式与法则 ‎【学习指导】‎ ‎ 2．例题解析 ‎ 例题l 已求：b ‎ ‎ ‎ 例题2解下列方程：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ 例3设关于x的方程：‎ （1） 若常数k=3,求此方程的解 （2） 若该方程在 ‎ ‎ 第二章不等式 ‎1判断下列命题的真假，并说明理由。‎ （1） 若，则；‎ （2） 若，则；‎ （3） 若，则；‎ （4） 若，则；‎ （5） 若，则；‎ （6） 若，则 ‎2解不等式：； ‎ ‎ 3解不等式：，‎ ‎4解不等式：‎ 第三章三角比与三角函数 ‎3．1‎ ‎1判断下列命题的真假，并说明理由。‎ （1） 若，则是第一象限角；‎ （2） 第一象限角都是锐角；‎ （3） 若第一象限角，则也是第一象限角；‎ （4） 弧度的角与的角是终边相同的角；‎ （5） 终边x在轴上的角的集合为；‎ （6） 终边在x轴上方的角的集合为 ‎2已知角的终边经过点，求角的六个三角比的值。‎ ‎3设，试用任意角的三角比定义证明：‎ ‎3．2‎ ‎1已知，且，请用m分别表示 ‎2设，求的值。‎ ‎3求证：‎ ‎4求证：‎ ‎3．3‎ ‎1在中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，请解下列各题：‎ （1） 已知，求C，A，a；‎ （2） 已知三角形的面积S=求c ‎2在中三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、C同时满足两个关系式：；试判断的形状 ‎3已知山坡上的点A处，有一座高度为h的电视塔AB，假设从地面点C出，在只有测量仰角的工具的情况下，请设计一个通过解斜三角形来计算点A到地面的高度H的方案，并用假设仰角的数据（用字母表示）和电视塔高h度表示山坡H ‎3．4‎ ‎1函数是 （A） 周期为6 的周期函数，且为偶函数；‎ （B） 周期为3 的周期函数，且为奇函数；‎ （C） 周期为3 的周期函数，但不是偶函数，也不是奇函数；‎ （D） 周期为6的周期函数，但不是偶函数，也不是奇函数；‎ ‎2已知函数 求的最小正周期 求在区间上的最大值和最小值，并指出在区间上取得最大值和最小值时x的值。‎ ‎3若动直线与函数和的图象分别交于M、N两点，求的最大值。‎ ‎3．5‎ ‎1求的值 ‎2根据下列条件，求方程的解集：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ 第四章数列与数学归纳法 例1根据数列的前几项值，写出它们各自的一个通项公式 ‎（1）‎ ‎（2）3,5,3,5…‎ ‎(3) ‎ ‎(4) ‎ 例2（1）已知：a,c,e三数成等差数列，若a=1,e=81,求：c ‎ (2)已知：a,c,e三数成等比数列，若a=1,e=81,求：c ‎（3）已知：a,b,c,d,e五数成等比数列，a=1,e=81,求：b,c,d 例3（1）等差数列的公差d<0,若 ‎（2）在等比数列中，若 例4在数列中，已知：‎ 例5在公差为d，（0）的等差数列和公比为q的等比数列中，‎ 已知：‎ （1） 求：d,q的值 （2） 是否存在常数a,b使对一切正数n成立，若存在，‎ 求a,b的值，不存在，说明理由。‎ ‎4.2数列的前n项和 例1在等差数列中，若：‎ 例2数列的前n项和为，且 例3已知数列的通项公式，‎ 求：此数列的前n项和 例4在等比数列中，‎ ‎（1）求证：数列是等差数列 ‎（2）求数列的前n项和。‎ 例5．假设某市2010年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房。预计在今后的若干年中，该市每年新建住房面积平均比上年增长%。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米。‎ ‎（1）到那一年底，该市历年所建中低价房的累计面积（以2010年为累计的第一年）将首次 不少于4750万平方米？‎ （1） 到那一年底当年所建的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？‎ ‎4.3数学归纳法 例1用数学归纳法证明：‎ 求证：‎ 例2求证：‎ 例3已知数列满足：‎ 求：(1) ‎ ‎(2)猜测数列的通项公式，并用数学归纳法证明 例4数列的前n项和为，且 求：（1）‎ ‎ （2）猜测数列的通项公式，并用数学归纳法证明。‎ ‎4.4数列的极限 例1计算 ‎（1）‎ ‎（2）‎ 例2若数列的通项公式是的前n项和为，‎ 则下列说法正确的是（ ）‎ ‎（A）不存在 (B) =1或=0‎ ‎（C）不存在 (D) =‎ 例3若无穷等比数列的各项和S的值为2，公比q<0,则首项 例4已知数列的前n项和为,‎ (1) 求数列的通项公式 (2) 记kS恒成立，‎ 求实数k的最大值。‎ 第五章矩阵与行列式 ‎5.1矩阵行列式 例1(1)若矩阵A=,B=,且A=B,则a+b=__________‎ ‎（2）______________‎ 例2下表是某次射箭比赛中甲乙两位选手在决赛中各阶段的成绩表 各阶段成绩 姓名 第一阶段 ‎（环）‎ 第二阶段 ‎（环）‎ 第三阶段 ‎（环）‎ 第四阶段 ‎（环）‎ 总成绩 甲 ‎26‎ ‎27‎ ‎29‎ ‎28‎ ‎110‎ 乙 ‎29‎ ‎26‎ ‎26‎ ‎28‎ ‎109‎ （1） 将两人各阶段的成绩用矩阵表示 （2） 写出（1）中的行向量，列向量，并指出其实际意义 ‎5.2算法初步 例1任意给定一个大于1的整数n,设计一个算法对n是否为质（素）数做一个判定。‎ 例2对于任意的两个数a和b，如果ab,那么Ma;如果a)是的边BC的中点。记的面积为S，点B的横坐标为t，求函数S=f(t)的最大值及其相应的点C的坐标。‎ ‎7.2圆锥曲线 例1，求满足下列条件德圆锥曲线的标准方程；‎ （1） 分别以椭圆的焦点和顶点为双曲线的顶点和焦点的双曲线；‎ （2） 以为渐进性且过点的双曲线；‎ （3） 抛物线顶点在原点，它的准线过椭圆的一个焦点，且垂直于椭圆的长轴，抛物线与椭圆的一个交点为的抛物线及椭圆。‎ 例2，设为抛物线上的一动点，定点A关于点P的对称点是Q，其中a0。‎ （1） 求点Q的轨迹方程 （2） 若（1）中轨迹与抛物线相交于B,C两点，则当时，求a的值 例3，太平洋上有A,B两个岛屿，B岛在A岛正东40海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是A,B两岛，曾有渔船在距A岛正西20海里发现过鱼群。某日，研究人员在A,B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A,B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5:3，求鱼群此时分别与两岛的距离。‎ 例4，椭圆上有两点P,Q,O为坐标原点，若OP,OQ斜率之积为，求证为定值 例5，已知圆M: ，直线。过直线l上一点A作，使，边AB过圆心M，且B,C在圆M上。‎ （1） 当点的横坐标为4时，求直线的方程。‎ （2） 求点的横坐标的取值范围 第八单元 立体几何 ‎8.1空间直线与平面 ‎8.2简单几何体 第九章排列组合 1、 书架的上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书。‎ （1） 从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？‎ （2） 从书架上任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？‎ 2、 电视台在某娱乐节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞赛中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定三位幸运观众，抽奖规则如下：先抽取一名幸运之星，再从两信箱中各抽取一名幸运伙伴，有多少种不同的抽奖结果？‎ 1、 甲乙等共6人排队照相。‎ （1） 若排成一排照相，甲不站在排头，有多少种不同的排法？‎ （2） 若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？‎ （3） 若排成一排照相，甲乙两个必须相邻，有多少种不同的排法？‎ （4） 若排成一排照相，6个人中有3名男生和3名女生，且男生不能相邻，有多少种不同的排法？‎ （5） 若排成一排照相，6个人中有3名男生和3名女生 ，且男女必须相间排列，有多少种不同的排法？‎ 2、 从2、4、6、7、8、11、12、13这八个数中，每次取出两个数。‎ （1） 其积为奇数的情形有多少种？‎ （2） 其和为奇数的情形有多少种？‎ （3） 其和为偶数的情形有多少种？‎ 3、 解关于的方程：‎ 4、 某届世界博览会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作。若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有几种？‎ 5、 在二项式的展开式中，求：‎ （1） 第4项 （2） 二项展开式中最中间的项 （3） 二项展开式中含的项 6、 在的二项展开式中，求：‎ （1） 各项的二项式系数之和；‎ （2） 各项的系数之和；‎ （3） 各项系数的绝对值之和 7、 求被20除所得的余数 ‎10、用，求下列数的近似值：‎ ‎（1） （2）‎ 第十章概率 ‎11、掷两个骰子得两个数，两个数之和记为S，问是否有一个和数比其他和数更可能出现。‎ ‎12、若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是多少？（结果用最简分数表示）‎ ‎13、已经直线 ‎，从A中任取3个元素分别作为圆方程中的，则使圆心与原点的连线恰好垂直于的概率为多少？‎ ‎14、一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘，若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”的概率是多少？（结果用数值表示）‎ ‎15、从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别是：（单位：克）125，124，121，123，127，求该样本的标准差。（用数字作答）‎ ‎16、某校100位参加知识竞赛的学生做15道题目，答卷的统计数据如下：‎ 答对题数 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 人数 ‎8‎ ‎8‎ ‎11‎ ‎18‎ ‎26‎ ‎15‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（1）总体平均数 ‎（2）总体中位数 ‎（3）总体方差 ‎（4）总体标准差 ‎17、某企业有甲乙两个分厂生产同一种电子产品，从甲乙两个分厂生产的电子产品中分别抽取20件作使用寿命的测试，结果如下表：‎ 使用寿命（单位：时）‎ ‎980‎ ‎985‎ ‎990‎ ‎995‎ ‎1000‎ ‎1005‎ ‎1010‎ 甲厂个数 ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎1‎ 乙厂个数 ‎1‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ （1） 估计甲乙两厂生产的电子产品使用寿命的平均数 （2） 哪个厂的生产情况比较稳定？‎ ‎18、为了了解某班学生课外阅读时间的情况，从中抽取27人调查了他们的阅读时间（单位：分），如下表：‎ 阅读时间区间 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎