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- 2021-05-13 发布
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2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)设复数Z满足
(A)1 (B) (C) (D)2
(2)
(A) (B) (C) (D)
(3)设命题
(A) (B) (C) (D)
(4)投篮测试中,每人投3次,至少2次命中才能通过测试,已知某同学每次投篮命中的概率为0.6,且各次投篮是否命中相互独立,则该同学通过测试的概率为
(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
(5)已知是双曲线C:上的一点,两个焦点,若,则的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
(6)《九章算术》是我国古代极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及米几何?”,其意为:“在屋内角处堆放米(如图,米堆是一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的的体积和米堆放的米各为多少?”已知一斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出米堆的米约为
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛
(7)设D为,,则
(A) (B)
(C) (D)
(8)函数的部分图像如图所示,则的单调减区间为
(A)
(B) (C)
(D)
(9)执行右边的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
(10)的展开式中,的系数为
(A)10 (B)20 (C)30(D)60
(11)圆柱被一平面截去一部分后与半球(半径为r) 组成一个几何休,该几何体的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r=
(A)1 (B)2
(C)4 (D)8
(12)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)0,则a的取值范围是( )
(A)[- -,1) (B) [- ,) (C) [,) (D) [,1)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
(13)若函数 .
(14)一个圆经过椭圆的三个顶点,且圆心在x
轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 。
(15)若,则的最大值为 。
(16)在平面四边形ABCD中,,BC=2,则AB的取值范围是 。
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)是数列的前n项和,已知,
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设 求数列的前n项和.
(18)(本小题满分12分)如图,四边形ABCD是菱形, ,E,F是平面ABCD同一侧的两点,,,
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成有的余弦值。
(19)(本小题满分12分)某公司为确定下一年的投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费和对年销售量数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值,
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中
(Ⅰ)根据散点图,判断哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归类型(给出判断即可,不必说明理由);
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y与x的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品年利润z与x,y之间的关系为z=0.2y-x,根据(Ⅱ)的结果回答问题
(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值为多少?
(ii)年宣传费为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…….. (un vn),其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
(20)(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy中,曲线C:与直线交于M,N两点。
(Ⅰ)当时,分别求C在M点和N点处的切线方程;
(Ⅱ),使得当变动时,总有?说明理由。
(21)(本小题满分12分)已知函数
(Ⅰ)当为何值时,轴为曲线的切线;
(Ⅱ)用表示中的最小值,设函数讨论函数零点的个数。
请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,AB是圆为的直径,AC是圆O的切线,BC交圆O与点E,
(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是圆O的切线;
(Ⅱ)若,求的大小。
(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,直线C1 , ,以坐标原点为极点,轴的正半轴为级轴建立极坐标系
(Ⅰ)求的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线,设,求的面积。
(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数,。
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围。
答案
一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1) 设复数z满足=i,则|z|=
(A)1 (B) (C) (D)2
【答案】A
(2)sin20°cos10°-con160°sin10°=
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=,故选D.
(3)设命题P:nN,>,则P为
(A)nN, > (B) nN, ≤
(C)nN, ≤ (D) nN, =
【答案】C
【解析】:,故选C.
(4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为
(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
【答案】A
【解析】根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为=0.648,故选A.
(5)已知M(x0,y0)是双曲线C: 上的一点,F1、F2是C上的两个焦点,若<0,则y0的取值范围是
(A)(-,) (B)(-,)
(C)(,) (D)(,)
【答案】A
(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
【答案】B
【解析】学科网
设圆锥底面半径为r,则=,所以米堆的体积为=,故堆放的米约为÷1.62≈22,故选B.
(7)设D为ABC所在平面内一点=3,则
(A)=+ (B)=
(C)=+ (D)=[来源:学科网ZXXK]
【答案】A
【解析】由题知=,故选A.
[来源:学,科,网]
(8)函数f(x)=的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为
(A)(),k (b)(),k
(C)(),k (D)(),k
【答案】D
(9)执行右面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
【答案】C
(10) 的展开式中,y²的系数为
(A)10 (B)20 (C)30(D)60
【答案】A
【解析】在的5个因式中,2个取因式中剩余的3个因式中1个取,其余因式取y,故的系数为=30,故选 A.
(11) 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20,则r=[来源:Z。xx。k.Com]
(A)1(B)2(C)4(D)8
【答案】B
【解析】学科网
由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为==16 + 20,解得r=2,故选B.
12.设函数=,其中a1,若存在唯一的整数x0,使得0,则的取值范围是( )
A.[-,1) B. [-,) C. [,) D. [,1)
【答案】D
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。[来源:学*科*网Z*X*X*K]
二、填空题:本大题共3小题,每小题5分
(13)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=
【答案】1[来源:Zxxk.Com]
【解析】由题知是奇函数,所以
=,解得=1.
(14)一个圆经过椭圆的三个顶点,且圆心在x轴上,则该圆的标准方程为 。
【答案】
【解析】设圆心为(,0),则半径为,则,解得,故圆的方程为.
(15)若x,y满足约束条件则的最大值为 .
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点A(1,3)与原点连线的斜率最大,故的最大值为3.