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- 2021-05-13 发布
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2007-2009各地高考解析几何解答题汇编(文科)
(一) 以几何度量立意——弦长、三角形面积、四边形面积问题
2008北京文19 已知的顶点在椭圆上,在直线上,且.
(Ⅰ)当边通过坐标原点时,求的长及的面积;
(Ⅱ)当,且斜边的长最大时,求所在直线的方程.(另见最值问题)
解:(Ⅰ)因为,且边通过点,所以所在直线的方程为.
设两点坐标分别为.
由 得.
所以.
又因为边上的高等于原点到直线的距离.
所以,.
(Ⅱ)设所在直线的方程为,
由得.
因为在椭圆上,
所以.
设两点坐标分别为,
则,,
所以.
又因为的长等于点到直线的距离,即.
所以.
所以当时,边最长,(这时)
此时所在直线的方程为.
2007浙江文21 如图,直线与椭圆交于两点,记的面积为. (I)求在,的条件下,的最大值;
(第21题)
(II)当,时,求直线的方程.
(I)解:设点的坐标为,点的坐标为.
由,解得
所以
当且仅当时,.S取到最大值1.
(Ⅱ)解:由得
①
|AB|= ②
又因为O到AB的距离 所以 ③
③代入②并整理,得
解得,,代入①式检验,△>0
故直线AB的方程是
或或或.
以点、线的位置关系立意——垂直、中点、中垂线、对称
1. 垂直
2. 线段中点(中点弦)
3. 中垂线问题
以符号化的形式立意——向量问题
2009全国II文22 已知椭圆的离心率为,过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点,当L的斜率为1时,坐标原点O到L的距离为.
(Ⅰ) 求a,b的值;
(Ⅱ) C上是否存在点P,使得当L绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与L的方程;若不存在,说明理由
2008辽宁文21 在平面直角坐标系中,点P到两点,的距离之和等于4,设点P的轨迹为.
(Ⅰ)写出C的方程;
(Ⅱ)设直线与C交于A,B两点.k为何值时?此时的值是多少?
解:(Ⅰ)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,
长半轴为2的椭圆.它的短半轴,故曲线C的方程为. 4分
(Ⅱ)设,其坐标满足
消去y并整理得,
故. 6分
,即.而,
于是.
所以时,,故. 8分
当时,,.
,
而,所以.
2007海南宁夏文21 在平面直角坐标系中,已知圆的圆心为,过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点.
(Ⅰ)求的取值范围;(Ⅱ)是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由.
(一) 以直线与椭圆位置关系立意——取值范围问题
2007海南宁夏文21 在平面直角坐标系中,已知圆的圆心为,过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)圆的方程可写成,所以圆心为,过且斜率为的直线方程为.
代入圆方程得,
整理得. ①
直线与圆交于两个不同的点等价于
,
解得,即的取值范围为.
(Ⅱ)设,则,
由方程①,
②
又. ③
而.
所以与共线等价于,
将②③代入上式,解得.
由(Ⅰ)知,故没有符合题意的常数.
2007全国II文21 在直角坐标系中,以为圆心的圆与直线相切.
(1)求圆的方程;
(2)圆与轴相交于两点,圆内的动点使成等比数列,求的取值范围.
解:(1)依题设,圆的半径等于原点到直线的距离,
即 .
得圆的方程为.
(2)不妨设.由即得
.
设,由成等比数列,得
,
即 .
由于点在圆内,故
由此得.
所以的取值范围为.
2007四川文21 设、分别是椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)若是第一象限内该椭圆上的一点,且,求点的作标;
(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于同的两点、,且为锐角(其中为作标原点),求直线的斜率的取值范围.
解:(Ⅰ)易知,,.
∴,.设.则
,又,
联立,解得,.
(Ⅱ)显然不满足题设条件.可设的方程为,设,.
联立
∴,
由,得.①
又为锐角,
∴又
∴
∴.②
综①②可知,∴的取值范围是.
(一) 以函数性质研究立意——最值问题
2009福建文22 已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D,椭圆的右顶点为,点和椭圆上位于轴上方的动点,直线,与直线分别交于两点。
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;
(Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆上是否存在这样的点,使得的面积为?若存在,确定点的个数,若不存在,说明理由. (另见存在性问题)
解:(I)由已知得,椭圆的左顶点为上顶点为
故椭圆的方程为
(Ⅱ)直线AS的斜率显然存在,且,
故可设直线的方程为,从而
由得0
设则得,从而
即又
由得
故
又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当且仅当,即时等号成立
时,线段的长度取最小值
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当取最小值时,
此时的方程为
要使椭圆上存在点,使得的面积等于,只须到直线的距离等于,
所以在平行于且与距离等于的直线上。
设直线
则由解得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2008北京文19 已知的顶点在椭圆上,在直线上,且.
(Ⅰ)当边通过坐标原点时,求的长及的面积;
(Ⅱ)当,且斜边的长最大时,求所在直线的方程.(另见最值问题)
2008福建文22 如图,椭圆的一个焦点是,且过点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若AB为垂直于x轴的动弦,直线与x轴交于点N,直线AF与BN交于点M.
(ⅰ)求证:点M恒在椭圆C上;
(ⅱ)求面积的最大值.
(Ⅰ)由题设,从而,所以椭圆C的方程为。
(Ⅱ)(ⅰ)解法一:由题意得。
设则,。 ……………………………… ①
与的方程分别为:。
设,则有
由②,③得。
。
所以点M恒在椭圆C上。
(ⅱ)设AM的方程为,代入得。
设,则有:。
。
令,则
,
因为,
有最大值3,此时AM过点F。
△AMN的面积有最大值。
解法二:
(ⅰ)由题意得。
设则,。 ……………………………… ①
与的方程分别为: …………………………… ②
…………………………… ③
由②,③得:当时,。………………………… ④
由④代入①,得。
当时,由②,③得:
解得 与矛盾。
所以点M的轨迹方程为即点M恒在椭圆C上。
2007陕西文22 已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.
解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意,所求椭圆方程为.
(Ⅱ)设,.
(1)当轴时,.
(2)当与轴不垂直时,
设直线的方程为.由已知,得.
把代入椭圆方程,整理得,
,.
.
当且仅当,即时等号成立.当时,,
综上所述.当最大时,面积取最大值.
2007全国I文22已知椭圆的左、右焦点分别为,,过的直线交椭圆于B,D两点,过的直线交椭圆于A,C两点,且,垂足为P.
(Ⅰ)设P点的坐标为,证明:;
(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.
解:(Ⅰ)椭圆的半焦距,由知点在以线段为直径的圆上,
故,所以,.
(Ⅱ)(ⅰ)当的斜率存在且时,的方程为,代入椭圆方程,并化简得.
设,,则,,
;
因为与相交于点,且的斜率为.所以,.
四边形的面积
.
2008全国II文22设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.
(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)求四边形面积的最大值.
解:(Ⅰ)依题设得椭圆的方程为,直线的方程分别为,.如图,设,其中,
且满足方程,故...............①
由知,得;
由在上知,得.
所以,
化简得,解得或.6分
(Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点到的距离分别为, 9分
又,所以四边形的面积为
,
当,即当时,上式取等号.所以的最大值为. 12分
解法二:由题设,,.设,,由①得,
,
故四边形的面积为
,
当时,上式取等号.所以的最大值为. 12分
(一) 以推理方式立意——存在性问题
2009辽宁文22 已知,椭圆C以过点A(1,),两个焦点为(-1,0)(1,0).
(1)求椭圆C的方程;(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值
解:(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
因为A在椭圆上,所以,解得=3,=(舍去)。
所以椭圆方程为 . ......4分
(Ⅱ)设直线AE方程:得,代入得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
设E(,),F(,).因为点A(1,)在椭圆上,所以
。 .......8分
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以代,可得
,w.w.w.k。
所以直线EF的斜率。
即直线EF的斜率为定值,其值为。
2008福建文22 如图,椭圆的一个焦点是,且过点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若AB为垂直于x轴的动弦,直线与x轴交于点N,直线AF与BN交于点M.
(ⅰ)求证:点M恒在椭圆C上;
(ⅱ)求面积的最大值.(另见最值问题)
2007山东文22 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点),且以 为直径的图过椭圆的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
解:(1)由题意设椭圆的标准方程为,
由已知得:,
椭圆标准方程为.
(2)设.
联立
得 ,则
又.
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点,
,即.
.
.
.
解得:,且均满足.
当时,的方程,直线过点,与已知矛盾;
当时,的方程为,直线过定点.
所以,直线过定点,定点坐标为.
以研究手法立意——圆的相关问题
2009广东文19 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程 (2)求的面积 (3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.
解:(1)设椭圆G的方程为: ()半焦距为c;
则 , 解得 ,
所求椭圆G的方程为:. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2 )点的坐标为
(3)若,由可知点(6,0)在圆外,
若,由可知点(-6,0)在圆外;
不论K为何值圆都不能包围椭圆G.
2008辽宁文20 已知m∈R,直线l:和圆C:.
(Ⅰ)求直线l斜率的取值范围;
(Ⅱ)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧?为什么?
解:(Ⅰ)直线的方程可化为,此时斜率
因为,所以,当且仅当时等号成立
所以,斜率k的取值范围是;
(Ⅱ)不能. 由(Ⅰ)知的方程为,其中;
圆C的圆心为,半径;圆心C到直线的距离
由,得,即。从而,若与圆C相交,则圆C截直线所得的弦所对的圆心角小于。所以不能将圆C分割成弧长的比值为的两端弧;
2007北京文
19 如图,矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的方程为点在边所在直线上.
(I)求边所在直线的方程;(II)求矩形外接圆的方程;
(III)若动圆过点,且与矩形的外接圆外切,求动圆的圆心的轨迹方程.
解:(I)因为边所在直线的方程为,且与垂直,所以直线的斜率为.又因为点在直线上,所以边所在直线的方程为.整理得,.
(II)由解得点的坐标为,
因为矩形两条对角线的交点为.所以为矩形外接圆的圆心.
又.从而矩形外接圆的方程为.
(III)因为动圆过点,所以是该圆的半径,又因为动圆与圆外切,
所以,即.故点的轨迹是以为焦点,实轴长为的双曲线的左支.因为实半轴长,半焦距.所以虚半轴长
.从而动圆的圆心的轨迹方程为.
2006北京文19 椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程.
解:(Ⅰ)因为点P在椭圆C上,所以,a=3.
在Rt△PF1F2中,故椭圆的半焦距c=,
从而b2=a2-c2=4, 所以椭圆C的方程为=1.
(Ⅱ) 解法一:设A,B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).
已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).
从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.
因为A,B关于点M对称,所以 解得,
所以直线l的方程为即8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意)
解法二:已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意x1x2且
① ②
由①-②得 ③
因为A、B关于点M对称,所以x1+ x2=-4, y1+ y2=2,代入③得直线l的斜率为=,
所以直线l的方程为y-1=(x+2),即8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意.)
G
2009江西文22 如图,已知圆是椭圆的内接△的内切圆, 其中为椭圆的左顶点.(1)求圆的半径;
(2)过点作圆的两条切线交椭圆于两点,证明:直线与圆相切.
解: (1)设,过圆心作于,交长轴于
由得, 即 (1) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
而点在椭圆上, (2)
由(1)、 (2)式得,解得或(舍去)
(2) 设过点与圆相切的直线方程为: (3)
则,即 (4),解得
将(3)代入得,则异于零的解为
设,,则
则直线的斜率为:
于是直线的方程为: 即
则圆心到直线的距离 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故结论成立.
2009天津文22已知椭圆()的两个焦点分别为,过点的直线与椭圆相交于点A,B两点,且(Ⅰ)求椭圆的离心率(Ⅱ)直线AB的斜率;(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称,直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上,求的值.
解:(I)由,得,从而,
整理得,故离心率
(II)解:由(1)知,,所以椭圆的方程可以写为
设直线AB的方程为即
由已知设则它们的坐标满足方程组
消去y整理,得
依题意,
而,
由题设知,点B为线段AE的中点,所以
联立三式,解得,
将结果代入韦达定理中解得
(III)由(2)知,,当时,得A
由已知得
线段的垂直平分线l的方程为
直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心,
因此外接圆的方程为
直线的方程为,
于是点满足方程组
由,解得,故
当时,同理可得
(一) 以结果形式立意——轨迹问题
2009福建文20 已知椭圆的中心为直角坐标系的原点,焦点在轴上,它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1
(I)求椭圆的方程;
(II)若为椭圆的动点,为过且垂直于轴的直线上的点,(e为椭圆C的离心率),求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 { 解得a=4,c=3,
所以椭圆C的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅱ)设M(x,y),P(x,),其中由已知得
而,故 ①
由点P在椭圆C上得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
代入①式并化简得
所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段
2007北京文
19 如图,矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的方程为点在边所在直线上.
(I)求边所在直线的方程;
(II)求矩形外接圆的方程;
(III)若动圆过点,且与矩形的外接圆外切,求动圆的圆心的轨迹方程.