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  • 2021-05-13 发布

数学三年高考解析几何汇编答案

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‎2007-2009各地高考解析几何解答题汇编(文科)‎ (一) 以几何度量立意——弦长、三角形面积、四边形面积问题 ‎2008北京文19 已知的顶点在椭圆上,在直线上,且.‎ ‎(Ⅰ)当边通过坐标原点时,求的长及的面积;‎ ‎(Ⅱ)当,且斜边的长最大时,求所在直线的方程.(另见最值问题)‎ 解:(Ⅰ)因为,且边通过点,所以所在直线的方程为.‎ 设两点坐标分别为.‎ 由 得.‎ 所以.‎ 又因为边上的高等于原点到直线的距离.‎ 所以,.‎ ‎(Ⅱ)设所在直线的方程为,‎ 由得.‎ 因为在椭圆上,‎ 所以.‎ 设两点坐标分别为,‎ 则,,‎ 所以.‎ 又因为的长等于点到直线的距离,即.‎ 所以.‎ 所以当时,边最长,(这时)‎ 此时所在直线的方程为.‎ ‎2007浙江文21 如图,直线与椭圆交于两点,记的面积为. (I)求在,的条件下,的最大值;‎ ‎(第21题)‎ ‎(II)当,时,求直线的方程.‎ ‎(I)解:设点的坐标为,点的坐标为.‎ 由,解得 所以 当且仅当时,.S取到最大值1.‎ ‎(Ⅱ)解:由得 ‎     ①‎ ‎|AB|= ②‎ 又因为O到AB的距离  所以 ③‎ ‎③代入②并整理,得 解得,,代入①式检验,△>0‎ ‎ 故直线AB的方程是 ‎ 或或或.‎ 以点、线的位置关系立意——垂直、中点、中垂线、对称 1. 垂直 2. 线段中点(中点弦)‎ 3. 中垂线问题 以符号化的形式立意——向量问题 ‎2009全国II文22 已知椭圆的离心率为,过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点,当L的斜率为1时,坐标原点O到L的距离为.‎ ‎(Ⅰ) 求a,b的值;‎ ‎(Ⅱ) C上是否存在点P,使得当L绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与L的方程;若不存在,说明理由 ‎ ‎ ‎2008辽宁文21 在平面直角坐标系中,点P到两点,的距离之和等于4,设点P的轨迹为.‎ ‎(Ⅰ)写出C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与C交于A,B两点.k为何值时?此时的值是多少?‎ 解:(Ⅰ)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,‎ 长半轴为2的椭圆.它的短半轴,故曲线C的方程为. 4分 ‎(Ⅱ)设,其坐标满足 消去y并整理得,‎ 故. 6分 ‎,即.而,‎ 于是.‎ 所以时,,故. 8分 当时,,.‎ ‎,‎ 而,所以.‎ ‎2007海南宁夏文21 在平面直角坐标系中,已知圆的圆心为,过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点.‎ ‎(Ⅰ)求的取值范围;(Ⅱ)是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由.‎ (一) 以直线与椭圆位置关系立意——取值范围问题 ‎2007海南宁夏文21 在平面直角坐标系中,已知圆的圆心为,过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点.‎ ‎(Ⅰ)求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由.‎ 解:(Ⅰ)圆的方程可写成,所以圆心为,过且斜率为的直线方程为.‎ 代入圆方程得,‎ 整理得.   ①‎ 直线与圆交于两个不同的点等价于 ‎,‎ 解得,即的取值范围为.‎ ‎(Ⅱ)设,则,‎ 由方程①,‎ ‎    ②‎ 又.    ③‎ 而.‎ 所以与共线等价于,‎ 将②③代入上式,解得.‎ 由(Ⅰ)知,故没有符合题意的常数.‎ ‎2007全国II文21 在直角坐标系中,以为圆心的圆与直线相切.‎ ‎(1)求圆的方程;‎ ‎(2)圆与轴相交于两点,圆内的动点使成等比数列,求的取值范围.‎ 解:(1)依题设,圆的半径等于原点到直线的距离,‎ ‎ 即 .‎ ‎ 得圆的方程为.‎ ‎(2)不妨设.由即得 ‎ .‎ 设,由成等比数列,得 ‎ ,‎ 即 .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由于点在圆内,故 由此得.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎2007四川文21 设、分别是椭圆的左、右焦点.‎ ‎(Ⅰ)若是第一象限内该椭圆上的一点,且,求点的作标;‎ ‎(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于同的两点、,且为锐角(其中为作标原点),求直线的斜率的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)易知,,.‎ ‎∴,.设.则 ‎,又,‎ 联立,解得,.‎ ‎(Ⅱ)显然不满足题设条件.可设的方程为,设,.‎ 联立 ‎∴,‎ 由,得.①‎ 又为锐角,‎ ‎∴又 ‎∴‎ ‎ ∴.②‎ 综①②可知,∴的取值范围是.‎ (一) 以函数性质研究立意——最值问题 ‎2009福建文22 已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D,椭圆的右顶点为,点和椭圆上位于轴上方的动点,直线,与直线分别交于两点。‎ ‎(I)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;‎ ‎(Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆上是否存在这样的点,使得的面积为?若存在,确定点的个数,若不存在,说明理由. (另见存在性问题)‎ 解:(I)由已知得,椭圆的左顶点为上顶点为 ‎ 故椭圆的方程为 ‎(Ⅱ)直线AS的斜率显然存在,且,‎ 故可设直线的方程为,从而 由得0‎ 设则得,从而 即又 由得 故 又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 当且仅当,即时等号成立 时,线段的长度取最小值 ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当取最小值时,‎ ‎ 此时的方程为 ‎ 要使椭圆上存在点,使得的面积等于,只须到直线的距离等于,‎ 所以在平行于且与距离等于的直线上。‎ 设直线 则由解得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎2008北京文19 已知的顶点在椭圆上,在直线上,且.‎ ‎(Ⅰ)当边通过坐标原点时,求的长及的面积;‎ ‎(Ⅱ)当,且斜边的长最大时,求所在直线的方程.(另见最值问题)‎ ‎2008福建文22 如图,椭圆的一个焦点是,且过点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)若AB为垂直于x轴的动弦,直线与x轴交于点N,直线AF与BN交于点M.‎ ‎ (ⅰ)求证:点M恒在椭圆C上;‎ ‎(ⅱ)求面积的最大值.‎ ‎(Ⅰ)由题设,从而,所以椭圆C的方程为。‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)解法一:由题意得。‎ 设则,。 ……………………………… ①‎ 与的方程分别为:。‎ 设,则有 由②,③得。‎ ‎。‎ 所以点M恒在椭圆C上。‎ ‎(ⅱ)设AM的方程为,代入得。‎ 设,则有:。‎ ‎。‎ 令,则 ‎,‎ 因为,‎ 有最大值3,此时AM过点F。‎ ‎△AMN的面积有最大值。‎ 解法二:‎ ‎(ⅰ)由题意得。‎ 设则,。 ……………………………… ①‎ 与的方程分别为: …………………………… ②‎ ‎…………………………… ③‎ 由②,③得:当时,。………………………… ④‎ 由④代入①,得。‎ 当时,由②,③得:‎ 解得 与矛盾。‎ 所以点M的轨迹方程为即点M恒在椭圆C上。‎ ‎2007陕西文22 已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.‎ 解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意,所求椭圆方程为.‎ ‎(Ⅱ)设,.‎ ‎(1)当轴时,.‎ ‎(2)当与轴不垂直时,‎ 设直线的方程为.由已知,得.‎ 把代入椭圆方程,整理得,‎ ‎,.‎ ‎.‎ 当且仅当,即时等号成立.当时,,‎ 综上所述.当最大时,面积取最大值.‎ ‎2007全国I文22已知椭圆的左、右焦点分别为,,过的直线交椭圆于B,D两点,过的直线交椭圆于A,C两点,且,垂足为P.‎ ‎(Ⅰ)设P点的坐标为,证明:;‎ ‎(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.‎ 解:(Ⅰ)椭圆的半焦距,由知点在以线段为直径的圆上,‎ 故,所以,.‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)当的斜率存在且时,的方程为,代入椭圆方程,并化简得.‎ 设,,则,,‎ ‎;‎ 因为与相交于点,且的斜率为.所以,.‎ 四边形的面积 ‎.‎ ‎2008全国II文22设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.‎ ‎(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)求四边形面积的最大值. ‎ 解:(Ⅰ)依题设得椭圆的方程为,直线的方程分别为,.如图,设,其中,‎ 且满足方程,故...............①‎ 由知,得;‎ 由在上知,得.‎ 所以,‎ 化简得,解得或.6分 ‎(Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点到的距离分别为, 9分 又,所以四边形的面积为 ‎,‎ 当,即当时,上式取等号.所以的最大值为. 12分 解法二:由题设,,.设,,由①得,‎ ‎,‎ 故四边形的面积为 ‎,‎ 当时,上式取等号.所以的最大值为. 12分 (一) 以推理方式立意——存在性问题 ‎2009辽宁文22 已知,椭圆C以过点A(1,),两个焦点为(-1,0)(1,0).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值 解:(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 因为A在椭圆上,所以,解得=3,=(舍去)。‎ 所以椭圆方程为 .            ......4分 ‎(Ⅱ)设直线AE方程:得,代入得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 设E(,),F(,).因为点A(1,)在椭圆上,所以 ‎ 。       .......8分 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以代,可得 ‎,w.w.w.k。‎ 所以直线EF的斜率。‎ 即直线EF的斜率为定值,其值为。 ‎ ‎2008福建文22 如图,椭圆的一个焦点是,且过点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)若AB为垂直于x轴的动弦,直线与x轴交于点N,直线AF与BN交于点M.‎ ‎(ⅰ)求证:点M恒在椭圆C上;‎ ‎(ⅱ)求面积的最大值.(另见最值问题)‎ ‎2007山东文22 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点),且以 为直径的图过椭圆的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.‎ 解:(1)由题意设椭圆的标准方程为,‎ ‎ 由已知得:, ‎ 椭圆标准方程为.‎ ‎ (2)设.‎ ‎ 联立 ‎ 得 ,则 ‎ ‎ ‎ 又.‎ ‎ 因为以为直径的圆过椭圆的右顶点,‎ ‎ ,即. ‎ ‎.‎ ‎ . ‎ ‎.‎ ‎ 解得:,且均满足.‎ ‎ 当时,的方程,直线过点,与已知矛盾;‎ ‎ 当时,的方程为,直线过定点.‎ ‎ 所以,直线过定点,定点坐标为.‎ 以研究手法立意——圆的相关问题 ‎2009广东文19 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程 (2)求的面积 (3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.‎ 解:(1)设椭圆G的方程为: ()半焦距为c;‎ ‎ 则 , 解得 , ‎ ‎ 所求椭圆G的方程为:. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(2 )点的坐标为 ‎ ‎(3)若,由可知点(6,0)在圆外,‎ ‎ 若,由可知点(-6,0)在圆外;‎ ‎ 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.‎ ‎2008辽宁文20 已知m∈R,直线l:和圆C:.‎ ‎(Ⅰ)求直线l斜率的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧?为什么?‎ 解:(Ⅰ)直线的方程可化为,此时斜率 因为,所以,当且仅当时等号成立 所以,斜率k的取值范围是;‎ ‎(Ⅱ)不能. 由(Ⅰ)知的方程为,其中;‎ 圆C的圆心为,半径;圆心C到直线的距离 由,得,即。从而,若与圆C相交,则圆C截直线所得的弦所对的圆心角小于。所以不能将圆C分割成弧长的比值为的两端弧;‎ ‎2007北京文 19 如图,矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的方程为点在边所在直线上.‎ ‎(I)求边所在直线的方程;(II)求矩形外接圆的方程;‎ ‎(III)若动圆过点,且与矩形的外接圆外切,求动圆的圆心的轨迹方程.‎ 解:(I)因为边所在直线的方程为,且与垂直,所以直线的斜率为.又因为点在直线上,所以边所在直线的方程为.整理得,.‎ ‎(II)由解得点的坐标为,‎ 因为矩形两条对角线的交点为.所以为矩形外接圆的圆心.‎ 又.从而矩形外接圆的方程为.‎ ‎(III)因为动圆过点,所以是该圆的半径,又因为动圆与圆外切,‎ 所以,即.故点的轨迹是以为焦点,实轴长为的双曲线的左支.因为实半轴长,半焦距.所以虚半轴长 ‎.从而动圆的圆心的轨迹方程为.‎ ‎2006北京文19 椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且 ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程.‎ 解:(Ⅰ)因为点P在椭圆C上,所以,a=3.‎ 在Rt△PF1F2中,故椭圆的半焦距c=,‎ 从而b2=a2-c2=4, 所以椭圆C的方程为=1.‎ ‎(Ⅱ) 解法一:设A,B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).‎ ‎ 已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).‎ ‎ 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1,‎ ‎ 代入椭圆C的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.‎ ‎ 因为A,B关于点M对称,所以 解得,‎ ‎ 所以直线l的方程为即8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意)‎ 解法二:已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).‎ ‎ 设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意x1x2且 ‎ ① ②‎ 由①-②得 ③‎ 因为A、B关于点M对称,所以x1+ x2=-4, y1+ y2=2,代入③得直线l的斜率为=,‎ 所以直线l的方程为y-1=(x+2),即8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意.)‎ G ‎2009江西文22 如图,已知圆是椭圆的内接△的内切圆, 其中为椭圆的左顶点.(1)求圆的半径;‎ ‎(2)过点作圆的两条切线交椭圆于两点,证明:直线与圆相切.‎ 解: (1)设,过圆心作于,交长轴于 由得, 即 (1) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 而点在椭圆上, (2)‎ 由(1)、 (2)式得,解得或(舍去)‎ ‎(2) 设过点与圆相切的直线方程为: (3)‎ 则,即 (4),解得 将(3)代入得,则异于零的解为 设,,则 则直线的斜率为:‎ 于是直线的方程为: 即 则圆心到直线的距离 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故结论成立.‎ ‎2009天津文22已知椭圆()的两个焦点分别为,过点的直线与椭圆相交于点A,B两点,且(Ⅰ)求椭圆的离心率(Ⅱ)直线AB的斜率;(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称,直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上,求的值.‎ 解:(I)由,得,从而,‎ 整理得,故离心率 ‎ ‎(II)解:由(1)知,,所以椭圆的方程可以写为 设直线AB的方程为即 由已知设则它们的坐标满足方程组 消去y整理,得 依题意, ‎ 而,‎ 由题设知,点B为线段AE的中点,所以 联立三式,解得,‎ 将结果代入韦达定理中解得 ‎ ‎(III)由(2)知,,当时,得A 由已知得 线段的垂直平分线l的方程为 直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心,‎ 因此外接圆的方程为 直线的方程为,‎ 于是点满足方程组 由,解得,故 当时,同理可得 ‎ (一) 以结果形式立意——轨迹问题 ‎2009福建文20 已知椭圆的中心为直角坐标系的原点,焦点在轴上,它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1‎ ‎(I)求椭圆的方程;‎ ‎(II)若为椭圆的动点,为过且垂直于轴的直线上的点,(e为椭圆C的离心率),求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.‎ 解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 { 解得a=4,c=3,‎ 所以椭圆C的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(Ⅱ)设M(x,y),P(x,),其中由已知得 而,故 ①‎ 由点P在椭圆C上得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 代入①式并化简得 所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段 ‎2007北京文 19 如图,矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的方程为点在边所在直线上.‎ ‎(I)求边所在直线的方程;‎ ‎(II)求矩形外接圆的方程;‎ ‎(III)若动圆过点,且与矩形的外接圆外切,求动圆的圆心的轨迹方程.‎