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- 2021-05-13 发布
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2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理 科 数 学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)集合,,若,则的值为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4
(2)复数等于
(A) B) C) D)
(3)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是
(A) (B)
(C) (D)
2
2
侧(左)视图
2
2
2
正(主)视图
(4) 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
(A) (B)
(C) (D)
(5) 已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“”是“”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
x
y
1
1
D
O
x
y
O
1
1
C
x
y
O
1
1
B
1
x
y
1
O
A
(6) 函数的图像大致为
A
B
C
P
第7题图
(7)设P是△ABC所在平面内的一点,,则
(A) (B)
(C) (D)
96 98 100 102 104 106
0.150
0.125
0.100
0.075
0.050
克
频率/组距
第8题图
(8)某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100), [100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是
(A)90 (B)75 (C) 60 (D)45
(9) 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为
(A) (B) 5 (C) (D)
(10) 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ,则f(2009)的值为
(A)-1 (B) 0 (C)1 (D) 2
(11)在区间[-1,1]上随机取一个数x,的值介于0到之间的概率为( ).
(A) (B) (C) (D)
x
2
2
y
O
-2
z=ax+by
3x-y-6=0
x-y+2=0
(12) 设x,y满足约束条件 ,
若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的是最大值为12,则的最小值为( ).
(A) (B) (C) (D) 4
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。
(13)不等式的解集为 .
开始
S=0,T=0,n=0
T>S
S=S+5
n=n+2
T=T+n
输出T
结束
是
否
(14)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .
(15)执行右边的程序框图,输入的T= .
(16)已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
三、解答题:本大题共6分,共74分。
(17)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.
(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.
(2) 设A,B,C为ABC的三个内角,若cosB=,f()=-,且C为锐角,求sinA.
(18)(本小题满分12分)
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
如图,在直四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。
(1) 证明:直线EE//平面FCC;
(2) 求二面角B-FC-C的余弦值。
(19)(本小题满分12分)
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次;在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第三次,某同学在A处的命中率q为0.25,在B处的命中率为q,该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投,用表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为
0
2
3
4
5
p
0.03
P1
P2
P3
P4
(1) 求q的值;
(2) 求随机变量的数学期望E;
(3) 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
(20)(本小题满分12分)
等比数列{}的前n项和为,已知对任意的,点,均在函数且均为常数)的图像上.
(1)求r的值;
(11)当b=2时,记
证明:对任意的 ,不等式成立
(21)(本小题满分12分)
两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.
(I)将y表示成x的函数;
(Ⅱ)讨论(I)中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由。
(22)(本小题满分14分)
设椭圆E: (a,b>0)过M(2,) ,N(,1)两点,O为坐标原点,
(I)求椭圆E的方程;
(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。
2009年高考数学山东理科解析
一、选择题
1.【答案】D
【解题关键点】因为.所以,选D.
2.【答案】C
【解题关键点】因为,故选C.
3.【答案】B
【解题关键点】由题意知:平移后的函数解析式为,
,选B.
4.【答案】C
【解题关键点】由题意可知该几何体为一正四棱锥与一圆柱拼接而成的,所以改几何体的体积为这个圆柱的体积与这个正四棱锥的体积之和,其中圆柱的底面园直径为2,高为2,所以圆柱的体积为,正四棱锥的测棱长为2,底面正方形的对角线为2,所以此正四棱锥的体积,为故选C.
5.【答案】B
【解题关键点】由为平面内的一条直线且得出;但是,反过来,若且 为平面内的一条直线,则不一定有,还可能有与平面相交但不垂直、、
.故选B.
6.【答案】A
【解题关键点】排除法:因为当时,函数无意义,故排除,故选A.
7.【答案】B
【解题关键点】因为,所以点为的中点,.即有,故选B.
8.【答案】A
【解题关键点】因为样品中产品净重小于100克的个数为36,所以样本容量为
,所以样本中产品净重大于或等于98克并且小于104克的个数为,故选A.
9.【答案】D
【解题关键点】由题意知:双曲线的一条渐近线为,由方程组消去y,得有唯一解,所以,所以
,故选D.
10.【答案】C
【解题关键点】由已知得
所以函数的值以6为周期重复性出现,所以,故选C
11.【答案】A
【解题关键点】当时,在区间上,只有或,即,根据几何概型的计算方法,这个概率值是.
12.【答案】A
【解题关键点】不等式表示的平面区域如图所示的阴影部分,由题意知:
当直线过直线与直线
的交点时,目标函数
取最大值12,即,即,
而,当且仅
当时取等号,故选A .
二、填空题
13.【答案】
【解题关键点】原不等式等价于,两边平方并整理得:,解得.
14.【答案】
【解题关键点】函数= (且)有两个零点,方程有两个不相等的实数根,即两个函数与的图像有两个不同的交点,当时,两个函数的图像有且仅有一个交点,不合题意;当时,两个函数的图像有两个交点,满足题意.
15.【答案】30
【解题关键点】由框图知,S=5,n=2,T=2;
S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;
S=20.n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30.
16.【答案】
【解题关键点】因为定义在上的奇函数,满足,所以,所以,由为奇函数,所以函数图像关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间上是增函数,所以在区间上也是增函数,如下图所示,那么方程在区间上有四个不同的根,不妨设,由对称性知,
,,所以.
三、解答题
17
【答案】(I)
,
当时,函数的最大值为,最小正周期为.
(II)==-,得到,又为锐角,故,
故.
18.
【答案】解法一:(I)在在直四棱柱
中,取的中点,连结,由于
,所以平面,因此平面即为平面,连结,,由于,
所以四边形为平行四边形,因此,又因为、分别是棱、的中点,所以,所以,又因为平面,平面,所以直线平面.
(II)因为是棱的中点,所以为正三角形,取的中点,则,又因为直四棱柱中,平面,所以,所以,过在平面内作,垂足为,连接
,则为二面角的一个平面角,在为正三角形中,,在中,~,∵
∴,在中,,,所以二面角的余弦值为.
解法二:(I)因为是棱的中点
所以,为正三角形,因为为
等腰梯形,所以,取的中点,
连接,则,所以,
以为轴, 为轴, 为轴建立空间直
角坐标系如图所示,
则(0,0,0),,,,
,,,所以
,,设平面的法向量为则所以取,则,所以,所以直线平面.
(II),设平面的法向量为,则所以,取,则
,
,,
所以,由图可知二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.
19.
【答案】(I)设该同学在处投中为事件,在处投中为事件,则事件,相互独立,且,, ,.
根据分布列知: =0时=0.03,所以,.
(II)当=2时, = ,( ),
( )
当=3时, =;
当=4时, =;
当=5时, =
所以随机变量的分布列为
随机变量的数学期望
.
(III)该同学选择都在处投篮得分超过3分的概率为
;
该同学选择(I)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.
因此该同学选择都在处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在处投以后都在处投得分超过3分的概率.
20.【答案】(I)由题意知:.当时,
,由于且,所以当时,{}是以为公比的等比数列,又,,即,解得.
(II)当时,,
又当时,,适合上式,,
,
下面有数学归纳法来证明不等式:
证明:(1)当时,左边右边,不等式成立.
(2)假设当时,不等式成立,即
,当时,左边,所以当时,不等式也成立.
由(1)、(2)可得当时,不等式恒成立,所以对任意的,不等式成立.
21.【答案】(I)如右图,由题意知
,,
当垃圾处理厂建在弧的中点时,垃圾处理厂到、的距离都相等,且为,所以有,
解得,
(II) ,
令,得,解得,即,
又因为,所以函数在上是减函数,在上是增函数,
当时,y取得最小值,
所以在弧上存在一点,且此点到城市的距离为,使建在此处的垃圾
处理厂对城市、的总影响度最小.
【解题关键点】
【结束】
22.
【答案】(I)椭圆: 过(2,), (,1)两点,
,解得,所以椭圆的方程为.
(II)假设存在该圆,满足条件,则要使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,
只该圆在椭圆内部,设该圆的方程为,则当直线的斜率存在时,设该圆的切线方程为,解方程组得
,即,
则,即
,要使,需使,即,所以,
所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,
,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,
,
当时,,
当时,
因为所以,故
当AB的斜率不存在时, .
综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且的取值范围是.