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- 2021-05-13 发布
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2011年普通高等学校招生 第四次适应性训练
数 学(理科)
第Ⅰ卷 选择题(共50分)
一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1 复数
A. B. C. D.12+13
2.已知双曲线的焦点为,则此双曲线的渐近线方程是
A. B. C. D.
3.设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,
n等于
A.6 B.7 C.8 D.9
4.已知和点满足.若存在实数
使得成立,则=
A.2 B.3 C.4 D.
5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的值等于
A.2 B.3 C.4 D.5
6.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是
A. B. C. D.
7.将参加夏令营的600名学生编号为:001,002,… ,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003,这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次为:
A.26,16,8 B.25,17,8
C.25,16,9 D.24,17,9
8.若变量满足约束条件则的最大值为
A.4 B.3 C.2 D.1
9.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是
A. B.
C. D.
10.已知一个几何体的三视图如所示,则该几何体
的体积为
A.6 B.5.5 C.5 D.4.5
第Ⅱ卷 非选择题(共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上.
11.在的展开式中,系数为有理数的项共有 项;
12.由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为 .
13.观察等式:,,根据以上规律,写出第四个等式为: .
14.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量, 从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的100根中,有 根在棉花纤维的长度小于20mm.
15.
(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分)
A. (不等式选做题)若关于x的不等式有解,则实数的取值范围是: .
B. (几何证明选做题)如图,四边形ABCD是
圆O 的内接四边形,延长AB和DC相交
于点P. 若,,则的值
为 .
C. (坐标系与参数方程选做题)设曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,则曲线上到直线距离为的点的个数为: .
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分12分)
、、为的三内角,且其对边分别为、b、c,若,,且.
(Ⅰ) 求角;
(Ⅱ) 若,三角形面积,求的值.
17.(本小题满分12分)
已知函数在x=-与x=1时都取得极值.
(Ⅰ) 求、b的值与函数的单调递减区间;
(Ⅱ) 若对,不等式恒成立,求c的取值范围.
18.(本小题满分12分)
某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛,他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示
(Ⅰ) 求甲、乙两名运动员得分的中位数;
(II)你认为哪位运动员的成绩更稳定?
(Ⅲ) 如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各
随机抽取一场的得分,求甲的得分大于乙
的得分的概率.(参考数据:,)
19.(本小题满分12分)
如图,四棱锥S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的倍,P为侧棱SD上的点.
(Ⅰ) 求证:AC⊥SD;
(Ⅱ) 若SD⊥平面PAC,求二面角 P-AC-D的大小
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,侧棱SC上是 否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由.
20.(本小题满分13分)
已知在数列中,,当时,其前项和满足.
(Ⅰ) 求的表达式;
(Ⅱ) 设,求数列的前项和.
21.(本小题满分14分)
已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为,离心率e=.
(Ⅰ) 求椭圆E的方程;
(Ⅱ) 过点(1,0)作直线交E于P、Q两点,试问在x轴上是否存在一定点M,使为定值?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.
2011年普通高等学校招生 第四次适应性训练
数学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
A
B
C
C
B
B
C
C
二、填空题:
11.6; 12.; 13.; 14.30.
15(选做题)A.; B.; C.3.
三、解答题:
16.【解】:(1)∵,,且.
∴即,又,.……(6分)
(2) ,.
又由余弦定理得:,
,故.…………………………………(12分)
17.解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f¢(x)=3x2+2ax+b
由f¢()=,f¢(1)=3+2a+b=0得
a=,b=-2 …………………………(4分)
f¢(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:
x
(-¥,-)
-
(-,1)
1
(1,+¥)
f¢(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
¯
极小值
所以函数f(x)的递减区间是(-,1) …………………(8分)
(2)f(x)=x3-x2-2x+c,xÎ〔-1,2〕,
当x=-时,f(x)=+c
为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值。
要使f(x)f(2)=2+c
解得c<-1或c>2………………………………………(12分)
18.【解】:(1)运动员甲得分的中位数是22,运动员乙得分的中位数是23
…………………………………………………………………………2分
(2) …………3分
…………………4分
…5
,从而甲运动员的成绩更稳定 ………………………………8分
(3)从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为49其中甲的得分大于乙的是:甲得14分有3场,甲得17分有3场,甲得15分有3场甲得24分有4场,甲得22分有3场,甲得23分有3场,甲得32分有7场,共计26场 ………………………………………11分
从而甲的得分大于乙的得分的概率为…………………………12分
19.【解法一】:(Ⅰ)连BD,设AC交BD于O,由题意。在正方形ABCD中,,所以,得. ……………(4分)
(Ⅱ)设正方形边长,则。又,所以,
连,由(Ⅰ)知,所以,
且,所以是二面角的平面角。
由,知,所以,
即二面角的大小为。 ……………………………(8分)
(Ⅲ)在棱SC上存在一点E,使
由(Ⅱ)可得,故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知,又由于,故平面,得,由于,故.
……………………………………………………………………(12分)
【解法二】:(Ⅰ);连,设交于于,由题意知.以O为坐标原点,分别为轴、轴、轴正方向,建立坐标系
设底面边长为,则高。
于是,,
,,故 ,从而
(Ⅱ)由题设知,平面的一个法向量,平面的一个法向量,设所求二面角为,则,所求二面角的大小为
(Ⅲ)在棱上存在一点使.
由(Ⅱ)知是平面的一个法向量,
且
设则
而,即当时,,
而不在平面内,故
20.解:(1)当时,代人得:
,
∴…………………………………(6分)
(2)
∴= ………13分
21.解:(1),
∴所求椭圆E的方程为: …………………(5分)
(2)当直线不与x轴重合时,可设直线的方程为:
, 把(2)代人(1)整理得:
………(3)
∴, ………………………………(8分)
假设存在定点,使得为定值
=
当且仅当,即时,(为定值).这时
………………………………………………………………(12分)
再验证当直线的倾斜角时的情形,此时取,
,
∴存在定点使得对于经过(1,0)点的任意一条直线
均有(恒为定值). ………………