高考安徽文科数学试题及答案word解析版 7页

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）‎ 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ ‎（1）【2014年安徽，文1，5分】设是虚数单位，复数（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】复数，故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，属于基础题 ‎（2）【2014年安徽，文2，5分】题“”的否定是（ ）‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题，则命题“”的否定，故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎（3）【2014年安徽，文3，5分】抛物线的准线方程是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线的标准方程为，焦点在轴上，，∴，∴准线方程，故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．‎ ‎（4）【2014年安徽，文4，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）‎ ‎（A）34 （B）55 （C）78 （D）89‎ ‎【答案】B ‎【解析】第一次循环得；第二次循环得；‎ 第三次循环得；第四次循环得；‎ 第五次循环得；第六次循环得；‎ 第七次循环得；第八次循环得；退出循环，输出55，，故选B．‎ ‎【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．‎ ‎（5）【2014年安徽，文5，5分】设，，，则（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，，则，故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．‎ ‎（6）【2014年安徽，文6，5分】过点的直线与圆有公共点，则的倾斜角的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得点在圆的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为，则直线方程为，即 ．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得，即，解得，故直线的倾斜角的取值范围是，故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎（7）【2014年安徽，文7，5分】若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数图象向右平移的单位，图象是函数，‎ 图象关于轴对称，可得，即，当时，的最 ‎ 小正值是，故选C．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．‎ ‎（8）【2014年安徽，文8，5分】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，‎ 正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：‎ ‎，故选A． ‎ ‎【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状．‎ ‎（9）【2014年安徽，文9，5分】若函数的最小值为3，则实数的值为（ ）‎ ‎（A）5或8 （B）或5 （C）或 （D）或8‎ ‎【答案】D ‎【解析】时，，；‎ ‎，；‎ ‎，，或，或，‎ ‎，，故舍去；时，，；‎ ‎，；，，‎ 或，∴或，时，，故舍去；‎ 综上，或8，故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．‎ ‎（10）【2014年安徽，文10，5分】设，为非零向量，，两组向量，和均由2个和2个排列 而成. 若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，设与的夹角为，分类讨论可得：‎ ‎①，不满足；‎ ‎②，不满足；‎ ‎③，满足题意，此时，‎ ‎∴与的夹角为，故选B．‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎（11）【2014年安徽，文11，5分】 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【点评】本题考查分数指数幂的运算法则，对数的运算法则，考查计算能力．‎ ‎（12）【2014年安徽，文12，5分】如图，在等腰直角三角形中，斜边，‎ 过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；过点作 的垂线，垂足为；…，以此类推，设，，，…，， ‎ 则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵等腰直角三角形中，斜边，，即，同理，，‎ 由归纳推理可得是公比的等比数列，首项，则．‎ ‎【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据等腰直角三角形之间的关系，得到数列是公比的等比数列是解决本题的关键．‎ ‎（13）【2014年安徽，文13，5分】不等式组表示的平面区域的面积为 ．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由不等式组作平面区域如图，由图可知，， ‎ 联立，解得：．∴．‎ 点到直线的距离为 ‎．．‎ ‎【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎（14）【2014年安徽，文14，5分】若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，‎ 则．‎ ‎【点评】本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．‎ ‎（15）【2014年安徽，文15，5分】若直线与曲线满足下列两个条件：（ⅰ）直线在点处与曲线 相切；（ⅱ）曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线. 下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）‎ ‎①直线在点处“切过”曲线：；‎ ‎②直线在点处“切过”曲线：；‎ ‎③直线在点处“切过”曲线：；‎ ‎④直线在点处“切过”曲线：；‎ ‎⑤直线在点处“切过”曲线：．‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】对于①，由，得，则，直线是过点的曲线的切线，又当时，当时，满足曲线在附近位于直线两侧，∴命题①正确；‎ 对于②，由，得，则，而直线：的斜率不存在，在点处不与曲线相切，∴命题②错误；‎ 对于③，由，得，则，直线是过点的曲线的切线，又 时，时，满足曲线在附近位于直线两侧，∴命题③正确；‎ 对于④，由，得，则，直线是过点的曲线的切线，又 时，时，满足曲线在附近位于直线两侧，∴命题④正确；‎ 对于⑤，由，得，则，曲线在处的切线为，设，得，当时，，当时，．∴在上有极小值也是最小值，为．∴恒在的上方，不满足曲线在点附近位于直线的两侧，‎ 命题⑤错误．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的最值，判断③④时应熟记当时，，该题是中档题．‎ 三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定 区域内．‎ ‎（16）【2014年安徽，文16，12分】设的内角，，所对的边分别是，，，且，，‎ 的面积为，求与的值．‎ 解：由题可得，故。又因为，所以。当时，由余弦定理可得，得；当时，由余弦定理可得，得．‎ ‎【点评】本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎（17）【2014年安徽，文17，12分】某高校共有学生15000人，其中男生10500人，‎ 女生4500人. 为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样 的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．‎ ‎（1）应收集多少位女生的样本数据？‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方 图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，，，‎ ‎，，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；‎ ‎（3）在样本数据中，有60位女生的每周 平均体育运动时间超过4小时，请完 成每周平均体育运动时间与性别列 联表，并判断是否有95%的把握认为 ‎“该校学生的每周平均体育运动时间 与性别有关”.‎ 附：． ‎ 解：（1），所以应收集90位女生的样本数据．‎ ‎（2）由直方图知每周平均体育运动超过4小时的频率为，所以该校学生每周平均体 育运动时间超过4小时的概率的估计值为．‎ ‎（3）由（2）知，300位学生中有（位）的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周 平均体育运动时间不超过4小时。又因为样本数据中有210份是关于男生的，‎ 男生 女生 总计 每周平均运动时间不超过4小时 ‎45‎ ‎30‎ ‎75 ‎ ‎ 每周平均运动时间超过4小时 ‎165‎ ‎60‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300 ‎ ‎90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如右上表。结合列联表可得 ‎ ‎ ‎，故有95%的把握认为 ‎“该校学生的每周平均体育运动时间与 性别有关”．‎ ‎【点评】本题主要考查独立性检验等基础知识，考查数形结合能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等，属于中档题．‎ ‎（18）【2014年安徽，文18，12分】数列满足，，．‎ ‎（1）证明：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ 解：（1）由已知可得，即，所以是以为首项，1为公差的等差数列． ‎ ‎（2）由（1）得，所以，从而可得，，故，‎ 从而，所以． ‎ ‎【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．‎ ‎（19）【2014年安徽，文19，13分】如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，四条侧棱长均为，点分别是棱上共面的四点，平面平面，//平面．‎ ‎（1）证明:；‎ ‎（2）若，求四边形的面积．‎ 解：（1）因为∥平面，平面，且平面平面，所以。‎ 同理可证，因此． ‎ ‎（2）连接交于点，，连接。因为，是中点，所以，同理可得。又，且都在平面内，所以⊥平面。又因为平面⊥平面，且平面，所以∥平面。因为平面平面，所以，所以⊥平面。又平面，所以，所以是梯形的高。由，得，从而，即是的中点。再由得，所以是的中点，且。由已知得，，所以，故四边形的面积．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查梯形面积的计算，正确运用线面平行的判定与性质是关键．‎ ‎（20）【2014年安徽，文20，13分】设函数，其中．‎ ‎（1）讨论在其定义域上的单调性；‎ ‎（2）当时，求取得最大值和最小值时的的值．‎ 解：（1）由解得，故的单减区间为和 ‎，单增区间为．‎ ‎（2）由得。若，则在，故当时取得最小值，当时 取得最大值；若，则在，在，故当时取得最大值。又，，故若，则当或时取得最小值；若，则当时取得最小值；若，则当时取得最小值．‎ ‎【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题．‎ ‎（21）【2014年安徽，文21，13分】设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，．‎ ‎（1）若的周长为16，求；‎ ‎（2）若，求椭圆的离心率．‎ 解：（1）由，，得，。因为的周长为16，所以由椭圆定义可得，‎ 所以。故．‎ ‎（2）设，则，，可得，。在中，由余弦定理 可得，化简可得，而，‎ 故，于是有，。因此，可得。故 为等腰直角三角形，从而，所以椭圆的离心率．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎