高考试题——数学理天津卷 13页

绝密 ★ 启用前 ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工类）‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。‎ ‎2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。‎ ‎3.本卷共10小题，每小题5分，共50分。‎ 参考公式：‎ ‎·如果时间A，B互斥，那么 ·球的表面积公式 ‎ P（A+B）=P（A）+P（B） .‎ ‎·如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径.‎ ‎ P（A·B）=P（A）·P（B）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）是虚数单位，‎ ‎ (A) (B) 1 (C) (D) ‎ ‎（2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 ‎ (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5‎ ‎（3）设函数，则是 ‎ (A) 最小正周期为的奇函数 (B) 最小正周期为的偶函数 ‎ ‎(C) 最小正周期为的奇函数 (D) 最小正周期为的偶函数 ‎（4）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是 ‎(A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎（5）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为 ‎ (A) 6 (B) 2 (C) (D) ‎ ‎（6）设集合，则的取值范围是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) 或 (D) 或 ‎（7）设函数的反函数为，则 ‎(A) 在其定义域上是增函数且最大值为1 ‎ ‎(B) 在其定义域上是减函数且最小值为0 ‎ ‎(C) 在其定义域上是减函数且最大值为1‎ ‎(D) 在其定义域上是增函数且最小值为0 ‎ ‎（8）已知函数，则不等式的解集是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎（9）已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令 ‎，则 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎（10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 ‎ (A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎ 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ ‎ 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 ‎ 3．本卷共12小题，共100分。‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）‎ ‎（11）的二项展开式中，的系数是 （用数字作答）.‎ ‎（12）一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 .‎ ‎（13）已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线与圆C相交于两点，且,则圆C的方程为 .‎ ‎（14）如图，在平行四边形中，，‎ 则 .‎ ‎（15）已知数列中，，则 .‎ ‎（16）设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为 .‎ 三、解答题（本题共6道大题，满分76分）‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.‎ ‎（Ⅰ）求乙投球的命中率；‎ ‎（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是矩形.‎ 已知.‎ ‎（Ⅰ）证明平面；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的大小.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎（21）（本小题满分14分）‎ 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.‎ ‎（22）（本小题满分14分）‎ 在数列与中，，数列的前项和满足 ‎,为与的等比中项，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列与的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）设.证明.‎ 参考答案 一.选择题：‎ ‎（1） A （2） D （3） B （4） C （5） B ‎ ‎（6） A （7） D （8） C （9） A （10） B 二.填空题：‎ ‎（11） 40 （12） 24 （13） ‎ ‎（14） 3 （15） （16） ‎ 三.解答题：‎ ‎（17）‎ 解：（Ⅰ）因为，所以，于是 ‎（Ⅱ）因为，故 所以 ‎（18）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B 由题意得 解得或（舍去），所以乙投球的命中率为 ‎（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知 可能的取值为0，1，2，3，故 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望 ‎（19）‎ 解：（Ⅰ）证明：在中，由题设可得 于是.在矩形中，.又，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）证明：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.‎ 在中，由余弦定理得 由（Ⅰ）知平面，平面，‎ 所以，因而，于是是直角三角形，故 所以异面直线与所成的角的大小为.‎ ‎（Ⅲ）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE 因为平面，平面，所以.又，‎ 因而平面，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，‎ ‎，从而是二面角的平面角。‎ 由题设可得，‎ 于是再中，‎ 所以二面角的大小为．‎ ‎（20）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得，于是．‎ 由切点在直线上可得，解得．‎ 所以函数的解析式为．‎ ‎（Ⅱ）解：．‎ 当时，显然（）．这时在，上内是增函数．‎ 当时，令，解得．‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在，内是增函数，在，内是减函数．‎ ‎（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．‎ 从而得，所以满足条件的的取值范围是．‎ ‎（21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．‎ ‎（Ⅰ）解：设双曲线的方程为（）．由题设得 ‎，解得，所以双曲线方程为．‎ ‎（Ⅱ）解：设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组 将①式代入②式，得，整理得．‎ 此方程有两个一等实根，于是，且．整理得．　③‎ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足 ‎，．‎ 从而线段的垂直平分线方程为．‎ 此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．‎ 将上式代入③式得，整理得，．‎ 解得或．‎ 所以的取值范围是．‎ ‎（22）本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分 ‎（Ⅰ）解：由题设有，，解得．由题设又有，，解得．‎ ‎（Ⅱ）解法一：由题设，，，及，，进一步可得，，，，猜想，，．‎ 先证，．‎ 当时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下：‎ ‎（1当时，，等式成立．‎ ‎（2）假设时等式成立，即，．‎ 由题设，　　‎ ‎　　　　‎ ‎①的两边分别减去②的两边，整理得，从而 ‎．‎ 这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立．‎ 综上所述，等式对任何的都成立 再用数学归纳法证明，．‎ ‎（1）当时，，等式成立．‎ ‎（2）假设当时等式成立，即，那么 ‎．‎ 这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立．‎ 解法二：由题设　　‎ ‎　　　　‎ ‎①的两边分别减去②的两边，整理得，．所以 ‎　　　　　　　　，‎ ‎　　　　　　　　，‎ ‎　　　　　　　　……‎ ‎　　　　　　　　，．‎ 将以上各式左右两端分别相乘，得，‎ 由（Ⅰ）并化简得，．‎ 止式对也成立．‎ 由题设有，所以，即，．‎ 令，则，即．由得，．所以，即，．‎ 解法：由题设有，，所以 ‎，‎ ‎　　　　　　　　，‎ ‎　　　　　　　　……‎ ‎　　　　　　　　，．‎ 将以上各式左右两端分别相乘，得，化简得 ‎，．‎ 由（Ⅰ），上式对也成立．所以，．‎ 上式对时也成立．‎ 以下同解法二，可得，．‎ ‎（Ⅲ）证明：．‎ 当，时，‎ ‎．‎ 注意到，故 ‎　．‎ 当，时，‎ 当，时，‎ ‎．‎ 当，时，‎ ‎．‎ 所以．‎ 从而时，有 总之，当时有，即．‎ ‎ ‎