全国高考文科数学试题及答案北京卷 8页

‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ 数学（文史类）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知，集合，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为 ‎（A）2 （B） （C） （D）‎ ‎（4）若满足则的最大值为 ‎（A）1 （B）3 （C）5 （D）9‎ ‎（5）已知函数，则 ‎（A）是偶函数，且在R上是增函数 （B）是奇函数，且在R上是增函数 ‎（C）是偶函数，且在R上是减函数 （D）是奇函数，且在R上是减函数 ‎（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ‎（A）60 （B）30 （C）20 （D）10‎ ‎（7）设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：lg3≈0.48）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则_________．‎ 8‎ ‎（10）若双曲线的离心率为，则实数=__________．‎ ‎（11）已知，，且，则的取值范围是__________．‎ ‎（12）已知点在圆上，点的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最大值为_________．‎ ‎（13）能够说明“设是任意实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为______________________________．‎ ‎（14）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：‎ ‎（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；‎ ‎（ⅱ）女学生人数多于教师人数；‎ ‎（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．‎ ‎①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．‎ ‎②该小组人数的最小值为__________．‎ 三、解答题：共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 已知等差数列和等比数列满足．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：．‎ ‎（16）（本小题13分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，‎ 8‎ ‎（17）（本小题13分）‎ 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），......，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；‎ ‎（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎（18）（本小题14分）‎ 如图，在三棱锥中，，为线段的中点，为线段上一点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）当平面时，求三棱锥的体积．‎ 8‎ ‎（19）（本小题14分）‎ 已知椭圆的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在轴上，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，过作的垂线交于点.求证：△与△的面积之比为4:5．‎ ‎（20）（本小题13分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.‎ 8‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ 数学（文史类）‎ 一、选择题 ‎（1）C （2）B （3）C （4）D （5）B （6）D （7）A （8）D 二、填空题 ‎（9） （10）2 （11） （12）6 （13）-1，-2，-3 （14）6，12‎ 三、解答题 ‎（15）解：（Ⅰ）设的公差为，据已知，得，‎ 所以. 所以 ‎（Ⅱ）设的公比为，因为，所以，所以 因为是首项为1公比为的等比数列，所以是首项为1公比为的等比数列，‎ 所以 求和：．‎ ‎（16）解：‎ ‎（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ 所以，最小正周期为 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 因为 所以 所以，当，即时，取最小值，‎ 所以，得证 ‎（17）解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，分数小于70的频率为 8‎ ‎（Ⅱ）设样本中分数在区间[40,50）内的人数为，则由频率和为1得 ‎ 解得 ‎（Ⅲ）因为样本中分数不小于70的人数共有（人）‎ 所以，分数不小于70的人中男女各占30人 所以，样本中男生人数为30+30=60人，女生人数为100-60=40人 所以，总体中男生和女生的比例为 ‎（18）（Ⅰ）证明：，‎ 又平面平面，平面，‎ 又平面， ‎ ‎（Ⅱ）证明：，是的中点，,‎ 由（Ⅰ）知平面平面，‎ 平面平面，‎ 平面平面，‎ 平面，，‎ 平面，‎ 平面，‎ 平面平面，‎ ‎（Ⅲ）平面，‎ 又平面平面，‎ 平面，‎ ‎ ‎ 是中点，‎ 为的中点，‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎（19）解：（Ⅰ）焦点在轴上，且顶点为 ‎ ‎ ‎ 8‎ ‎ 椭圆方程为 ‎（Ⅱ）设 ，‎ 直线的方程是 ，‎ ‎，，‎ 直线的方程是 ，直线的方程是 ，‎ 直线与直线联立 ‎ ，‎ 整理为： ，即 ‎ 即，解得，‎ 代入求得 ‎ ‎ ‎ 又 和面积的比为4:5‎ ‎（20）解：‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎∴‎ ‎∴曲线在点处的切线斜率为 切点为，‎ 8‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为 ‎（Ⅱ），‎ 令 则 当，可得，‎ 即有在上单调递减，可得，‎ 所以在上单调递减，‎ 所以函数在区间上的最大值为；‎ 最小值为 8‎