2020-2021学年高考数学（理）考点：基本不等式及其应用 13页

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：基本不等式及其应用 ‎1．基本不等式：≤ ‎(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎2．几个重要的不等式 ‎(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．‎ ‎(2)＋≥2(a，b同号)．‎ ‎(3)ab≤2 (a，b∈R)．‎ ‎(4)≥2 (a，b∈R)．‎ 以上不等式等号成立的条件均为a＝b.‎ ‎3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．‎ ‎4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 ‎(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)‎ ‎(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)‎ 概念方法微思考 ‎1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？‎ 提示　不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．‎ ‎2．函数y＝x＋的最小值是2吗？‎ 提示　不是．因为函数y＝x＋的定义域是{x|x≠0}，当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋无最小值．‎ ‎1．（2020•上海）下列等式恒成立的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】．显然当，时，不等式不成立，故错误；‎ ‎．，，，故正确；‎ ‎．显然当，时，不等式不成立，故错误；‎ ‎．显然当，时，不等式不成立，故错误．‎ 故选B．‎ ‎2．（2020•海南）已知，，且，则　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】①已知，，且，所以，则，故正确．‎ ‎②利用分析法：要证，只需证明即可，即，由于，，且，所以：，，故正确．‎ ‎③，故错误．‎ ‎④由于，，且，‎ 利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当时，等号成立．故正确．‎ 故选ABD．‎ ‎3．（2020•天津）已知，，且，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】，，且，‎ 则，‎ 当且仅当，即，或， 取等号，‎ 故答案为：4．‎ ‎4．（2020•江苏）已知，则的最小值是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】方法一、由，可得，‎ 由，可得，，‎ 则 ‎，当且仅当，，‎ 可得的最小值为；‎ 方法二、，‎ 故，‎ 当且仅当，即，时取得等号，‎ 可得的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎5．（2019•上海）若，，且，则的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，；‎ 故答案为：．‎ ‎6．（2019•天津）设，，，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，，‎ 则；‎ ‎，，，‎ 由基本不等式有：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故：；‎ ‎（当且仅当时，即：，时，等号成立），‎ 故的最小值为；‎ 故答案为：．‎ ‎7．（2019•天津）设，，，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，，‎ 则；‎ 由基本不等式有：‎ ‎；‎ 当且仅当时，‎ 即：，时，即：或时；等号成立，‎ 故的最小值为；‎ 故答案为：．‎ ‎8．（2018•上海）已知实数、、、满足：，，，则 的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，，，，‎ ‎，，，，‎ 由，，，‎ 可得，两点在圆上，‎ 且，‎ 即有，‎ 即三角形为等边三角形，‎ ‎，‎ 的几何意义为点，两点 到直线的距离与之和，‎ 要求之和的最大值，显然，在第三象限，所在直线与直线平行，‎ 可设，，‎ 由圆心到直线的距离，‎ 可得，解得，‎ 即有两平行线的距离为，‎ 即的最大值为，‎ 故答案为：．‎ ‎9．（2018•天津）已知，，且，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，且，‎ 可得：，‎ 则，‎ 当且仅当．即时取等号．‎ 函数的最小值为：．‎ 故答案为：．‎ ‎1．（2020•衡阳三模）已知，，，则的最小值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，，，，‎ ‎（当且仅当即，时取等号），‎ 故则的最小值为，‎ 故选B．‎ ‎2．（2020•道里区校级四模）若正实数，满足，则的最小值为　　‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】正实数，满足，‎ 解可得，，‎ 当且仅当时取等号，‎ 则的最小值为．‎ 故选A．‎ ‎3．（2020•道里区校级四模）若实数，满足，则的最小值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，‎ 所以，当且仅当时取等号，‎ 解可得，．‎ 故选B．‎ ‎4．（2020•衡阳三模）已知，，，则的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】已知，，，‎ ‎，‎ 当且仅当，即，时，取号，‎ 故选B．‎ ‎5．（2020•贵阳模拟）已知，均为正数，函数的图象过点，则的最小值为　　‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，即，，，‎ 则，当且仅当且即时取等号，‎ 故选D．‎ ‎6．（2020•镇海区校级模拟）若，，且，则的最小值为　　‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，且，‎ ‎，可得．当且仅当时取等号．‎ ‎，当且仅当时取等号．‎ 则的最小值为4，‎ 故选C．‎ ‎7．（2020•辽宁三模）若，则的取值范围是　　‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】由基本不等式可得，若，‎ 有，‎ 即，‎ 根据指数函数是单调递增函数可得，‎ ‎，‎ 故的取值范围是，，‎ 故选A．‎ ‎8．（2020•潮州二模）若直线过圆的圆心，则的最小值是　　‎ A．16 B．10 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得圆的圆心，‎ 故即，，‎ 则，‎ 当且仅当且即，时取等号．‎ 故选A．‎ ‎9．（2020•石家庄模拟），是两个互不相等的正数，则下列三个代数式中，最大的一个是　　‎ ‎①，②，③‎ A．必定是① B．必定是② C．必定是③ D．不能确定 ‎【答案】D ‎【解析】因为，，‎ 所以①，（当且仅当时，取等号），‎ ‎②，（当且仅当时，取等号），‎ ‎③，（当且仅当时，取等号），‎ 综上可知，①②，③②，但①和③不能确定大小．‎ 故选D．‎ ‎10．（2020•葫芦岛模拟）若圆关于直线对称，则的最小值为　　‎ A．4 B． C．9 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知，圆心在直线，‎ 则，‎ 又因为，，‎ 所以，‎ 当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值9．‎ 故选C．‎ ‎11．（2020•韶关二模）已知，，且，则的最小值是　　‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，若，，且，‎ 则，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 故的最小值是9；‎ 故选C．‎ ‎12．（2020•诸暨市模拟）已知，则的最小值是　　‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎，且，，‎ ‎，‎ 则；‎ 当且仅当即时取，‎ 则的最小值是，‎ 故选C．‎ ‎13．（2020•湘潭四模）直线过函数图象的对称中心，则的最小值为　　‎ A．9 B．4 C．8 D．10‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数图象的对称中心为，所以，‎ ‎，当且仅当时等号成立；‎ 故选A．‎ ‎14．（2020•重庆模拟）已知，，，则的取值范围是　　‎ A． B．， C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，，‎ ‎，‎ 当且仅当，即，时等号成立，‎ 故选C．‎ ‎15．（2020•滨海新区模拟）已知正实数，满足，则的最小值为　　‎ A．13 B．11 C．10 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】由 ‎，‎ ‎，当且仅当，时取等号．‎ 的最小值为 故选C．‎ ‎16．（2020•河东区一模）已知实数、，，则的最大值为　　‎ A． B． C． D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于，‎ 所以，‎ 故：，（当且仅当时，等号成立）．‎ 故选A．‎ ‎17．（2020•辽阳二模）已知，，，则的最小值为　　‎ A．20 B．24 C．25 D．28‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，，，‎ 所以，则，‎ 当且仅当时，等号成立．‎ 故选C．‎ ‎18．（2020•大连一模）已知，，，则的最小值为　　‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 的最小值为4．‎ 故选D．‎ ‎19．（2020•浙江模拟）对于，当非零实数，满足，且使最大时，的最小值为　　‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎，由柯西不等式得，‎ 故当最大时，有，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 时，取得最小值为．‎ 故选C．‎ ‎20．（2020•吉林模拟）若，则的最小值为　　‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，‎ ‎，‎ 则，当且仅当时等号成立，则的最小值为4．‎ 故选C．‎ ‎21．（2020•天津二模）已知，，，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，，，‎ 则，‎ 当且仅当即，时取等号，‎ 故答案为：．‎