第3讲　分层演练直击高考 6页

‎1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)‎ A．y＝　　　　　　　 B．y＝|x|－1‎ C．y＝lg x D．y＝ 解析：选B．y＝为奇函数；y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y＝在(0，＋∞)上为减函数；y＝|x|－1在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．‎ ‎2．(2019·高考北京卷)已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)‎ A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数 C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 解析：选B．由f(－x)＝()x－3x＝－f(x)，知f(x)为奇函数，因为y＝()x在R上是减函数，所以y＝－()x在R上是增函数，又y＝3x在R上是增函数，所以函数f(x)＝3x－()x在R上是增函数，故选B．‎ ‎3．若函数f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，则a的值为(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．±1 D．0‎ 解析：选C．因为f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，‎ 所以f(－x)＋f(x)＝0.‎ 即ln(－ax＋)＋ln(ax＋)＝0恒成立，‎ 所以ln[(1－a2)x2＋1]＝0，即(1－a2)x2＝0恒成立，‎ 所以1－a2＝0，即a＝±1.‎ ‎4．(2019·成都第一次诊断)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝－x3，则f＝(　　)‎ A．－ B． C．－ D． 解析：选B．由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f＝f＝－f＝＝.‎ ‎5．设f(x)是定义在实数集上的函数，且f(2－x)＝f(x)，若当x≥1时，f(x)＝ln x，则有(　　)‎ A．f0的x的集合为________．‎ 解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f＝0，‎ 所以f(x)>0时，x>或－0的x的集合为.‎ 答案： ‎7．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是________．‎ 解析：在f(x)－g(x)＝中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，‎ 由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，‎ 所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，‎ 因此得－f(x)－g(x)＝2x.‎ 联立方程组解得f(x)＝，g(x)＝－，‎ 于是f(1)＝－，g(0)＝－1，‎ g(－1)＝－，‎ 故f(1)>g(0)>g(－1)．‎ 答案：f(1)>g(0)>g(－1)‎ ‎8．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f.则f(6)＝________.‎ 解析：当x>0时，x＋>，所以f＝f，即f(x＋1)＝f(x)，所以f(6)＝f(5)＝f(4)＝…＝f(1)＝－f(－1)＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．设f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝.‎ ‎(1)求当x<0时，f(x)的解析式；‎ ‎(2)解不等式f(x)<－.‎ 解：(1)因为f(x)是奇函数，‎ 所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)，－x>0，‎ 又因为当x>0时，f(x)＝，‎ 所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－＝.‎ ‎(2)f(x)<－，当x>0时，即<－，‎ 所以<－，所以>，所以3x－1<8，‎ 解得x<2，所以x∈(0，2)．‎ 当x<0时，即<－，‎ 所以>－，‎ 所以3－x>32，所以x<－2，‎ 所以解集是(－∞，－2)∪(0，2)．‎ ‎10．已知函数f(x)＝是奇函数．‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)设x＜0，则－x＞0，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ 又f(x)为奇函数，‎ 所以f(－x)＝－f(x)，‎ 于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.‎ ‎(2)由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．‎ 结合f(x)的图象知 所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．‎ ‎1．(2019·成都第二次诊断检测)已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2，2]时，f(x)单调递减，且函数f(x＋2)为偶函数．则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(π)0在[－1，3]上的解集为(　　)‎ A．(1，3) B．(－1，1)‎ C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)‎ 解析：选C．f(x)的图象如图．‎ 当x∈[－1，0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1，0)；‎ 当x∈[0，1)时，由xf(x)>0，得x∈∅；‎ 当x∈[1，3]时，由xf(x)>0，得x∈(1，3)．‎ 故x∈(－1，0)∪(1，3)．‎ ‎4．已知函数f(x)＝asin x＋b＋4，若f(lg 3)＝3，则f＝________.‎ 解析：由f(lg 3)＝asin(lg 3)＋b＋4＝3得asin(lg 3)＋b＝－1，而f＝f(－lg 3)＝－asin(lg 3)－b＋4＝－[asin(lg 3)＋b]＋4＝1＋4＝5.‎ 答案：5‎ ‎5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.‎ ‎(1)求f(π)的值；‎ ‎(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．‎ 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，‎ 所以f(x)是以4为周期的周期函数．‎ 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)‎ ‎＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.‎ ‎(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，‎ 得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，‎ 即f(1＋x)＝f(1－x)．‎ 从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．‎ 又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．‎ 设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.‎ ‎6．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．‎ ‎(1)求f(1)的值．‎ ‎(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论．‎ ‎(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．‎ 解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，‎ 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，‎ 所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.‎ ‎(2)f(x)为偶函数．证明如下：‎ 令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，‎ 所以f(－1)＝f(1)＝0.‎ 令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，‎ 所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．‎ ‎(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，所以f(x－1)＜2，等价于f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ 所以0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.‎ 所以x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．‎