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- 2021-05-13 发布
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2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数 学(理工农医类)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
(1)设集合等于
(A) (B) (C) (D)
(2)设,则
(A)y3>y1>y2 (B)y2>y1>y3 (C)y1>y2>y3 (D)y1>y3>y2
(3)“”是“”的
(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件
(4)已知α,β是平面,m,n是直线.下列命题中不正确的是
(A)若m∥n,m⊥α,则n⊥α (B)若m∥α,α∩β=n,则m∥n
(C)若m⊥α,m⊥β,则α∥β (D)若m⊥α,,则α⊥β
(5)极坐标方程表示的曲线是
(A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线
(6)若且的最小值是
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
(7)如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为
(A) (B) (C) (D)
(8)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有
(A)24种 (B)18种 (C)12种 (D)6种
(9)若数列的通项公式是,则
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等于
(A) (B) (C) (D)
(10)某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为1,2,…,k,规定:同意按“1”,不同意(含弃权)按“0”,令
, 其中i=1,2,…,k,且j=1,2,…,k,则同时同意第1,2号同学当选的人数为
(A)
(B)
(C) (D)
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.
(11)函数中, 是偶函数.
(12)以双曲线右顶点为顶点,左焦点为焦点的抛物线的方程是
(13)如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .
(14)将长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形,要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周长应为 .
三、解答题:本大题共6小题,共84分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分13分)
- 10 -
已知函数
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)若,求的最大值、最小值.
(16)(本小题满分13分)
已知数列是等差数列,且
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令求数列前n项和的公式.
(17)(本小题满分15分)
如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3,侧棱AA1=D是CB延长线上一点,且BD=BC.
(Ⅰ)求证:直线BC1//平面AB1D;
(Ⅱ)求二面角B1—AD—B的大小;
(Ⅲ)求三棱锥C1—ABB1的体积.
(18)(本小题满分15分)
如图,椭圆的长轴A1A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中心为M(0,r)(
(Ⅰ)写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率;
(Ⅱ)直线交椭圆于两点直线交椭圆于两点求证:;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C,D,G,H,设CH交x轴于点P,GD交x轴于点Q.
求证:|OP|=|OQ|. (证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形)
(19)(本小题满分14分)
- 10 -
有三个新兴城镇,分别位于A,B,C三点处,且AB=AC=a,BC=2b.今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的P点处,(建立坐标系如图)
(Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和为最小,
点P应位于何处?
(Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小,
点P应位于何处?
(20)(本小题满分14分)
设是定义在区间上的函数,且满足条件:
(i)
(ii)对任意的
(Ⅰ)证明:对任意的
(Ⅱ)证明:对任意的
(Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数,且使得
若存在,请举一例:若不存在,请说明理由.
- 10 -
2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学(理工农医类)答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分,满分50分.
(1)A
(2)D
(3)A
(4)B
(5)D
(6)B
(7)C
(8)B
(9)C
(10)C
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
(11)
(12)
(13)
(14)
三、解答题:本大题共6小题,共84分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)满分13
(Ⅰ)解析:因为
所以的最小正周期
- 10 -
(Ⅱ)解析:因为所以
当时,取得最大值;当时,取得最小值-1. 所以在上的最大值为1,最小值为-
(16)满分13分.
(Ⅰ)解析:设数列公差为,则 又
所以(Ⅱ)解:令则由得
①
②
当时,①式减去②式,得
所以
当时, 综上可得当时,
当时,
(17) 满分15分.
(Ⅰ)证明:CD//C1B1,又BD=BC=B1C1, ∴ 四边形BDB1C1是平行四边形, ∴BC1//DB1.
又DB1平面AB1D,BC1平面AB1D,∴直线BC1//平面AB1D.
(Ⅱ)解析:过B作BE⊥AD于E,连结EB1,
∵B1B⊥平面ABD,∴B1E⊥AD ,
∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角,
∵BD=BC=AB,
∴E是AD的中点,
在Rt△B1BE中,
- 10 -
∴∠B1EB=60°。即二面角B1—AD—B的大小为60°
(Ⅲ)解法一:过A作AF⊥BC于F,∵B1B⊥平面ABC,∴平面ABC⊥平面BB1C1C,
∴AF⊥平面BB1C1C,且AF=
即三棱锥C1—ABB1的体积为
解法二:在三棱柱ABC—A1B1C1中,
即三棱锥C1—ABB1的体积为
(18)满分15分.
(Ⅰ)解析:椭圆方程为焦点坐标为
离心率
(Ⅱ)证明:将直线CD的方程代入椭圆方程,得
整理得根据韦达定理,得
所以 ①
将直线GH的方程代入椭圆方程,同理可得,
由①,②得所以结论成立.
(Ⅲ)证明:设点P(p,0),点Q(q,0),由C、P、H共线,
得解得,
由D、Q、G共线,同理可得
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变形得
即
所以
(19).满分14分.
(Ⅰ)解析:由题设可知,记设P的坐标为(0,),则P至三镇距离的平方和为 所以,当时,函数取得最小值. 答:点P的坐标是
(Ⅱ)解法一:P至三镇的最远距离为
由解得记于是
当即时,在[上是增函数,而上是减函数. 由此可知,当时,函数取得最小值. 当即时,函数在[上,当时,取得最小值,而上为减函数,且 可见, 当时, 函数取得最小值. 答当时,点P的坐标为当时,点P的坐标为(0,0),其中
解法二:P至三镇的最远距离为 由解得
记于是
- 10 -
当的图象如图,因此,当时,函数取得最小值.
当即的图象如图,因此,当时,函数取得最小值.
答:当时,点P的坐标为当,点P的坐标为(0,0),其中
解法三:因为在△ABC中,AB=AC=所以△ABC的外心M在射线AO上,其坐标为,
且AM=BM=CM. 当P在射线MA上,记P为P1;当P在射线MA的反向延长线上,记P为P2,
若(如图1),则点M在线段AO上,
这时P到A、B、C三点的最远距离为
P1C和P2A,且P1C≥MC,P2A≥MA,所以点P与外心M
重合时,P到三镇的最远距离最小.
若(如图2),则点M在线段AO外,这时
P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A,
且P1C≥OC,P2A≥OC,所以点P与BC边中点O重合时,
P到三镇的最远距离最小为.
答:当时,点P的位置在△ABC的外心
;当时,点P的位置在原点O.
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(20)满分14分.
(Ⅰ)证明:由题设条件可知,当时,有
即
(Ⅱ)证法一:对任意的
当不妨设则
所以,
综上可知,对任意的都有
证法二:由(Ⅰ)可得,当
所以,当因此,对任意的
当时,当时,有
且
所以
综上可知,对任意的都有
(Ⅲ)答:满足所述条件的函数不存在.
理由如下,假设存在函数满足条件,则由
得 又所以①
又因为为奇数,所以由条件
得 ② ①与②矛盾,所以假设不成立,即这样的函数不存在.
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