辽宁省大连市高考数学一模试卷文科解析 25页

‎2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知复数z=1+2i，则=（　　）‎ A．1﹣2i B．5+4i C．1 D．2‎ ‎2．已知集合A={x|（x﹣3）（x+1）＜0}，B={x|x＞1}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|x＞3} B．{x|x＞1} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}‎ ‎3．设a，b均为实数，则“a＞b”是“a3＞b3”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．直线4x﹣3y=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长为（　　）‎ A．6 B．3 C． D．‎ ‎5．下列命题中错误的是（　　）‎ A．如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线 B．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γ C．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β D．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 ‎6．已知数列{an}满足an+1﹣an=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（　　）‎ A．9 B．15 C．18 D．30‎ ‎7．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（　　）‎ A．6 B．4 C．2 D．0‎ ‎8．函数f（x）=的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（　　）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎10．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]‎ 上有两个不等实根，则m的取值范围是（　　）‎ A．（1，） B．[0，2] C．[1，2） D．[1，]‎ ‎12．已知定义在R上的函数f（x）为增函数，当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B． C．（，1） D．（1，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，如果学号为1号到30号的同学平均成绩为90，则学号为31号到50号同学的平均成绩为　　．‎ ‎14．若函数f（x）=ex•sinx，则f'（0）=　　．‎ ‎15．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎16．我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；‎ ‎（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎18．某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：‎ 女性用户 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100）‎ 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎10‎ 男性用户 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100）‎ 频数 ‎45‎ ‎75‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；‎ ‎（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取2名用户，求2名用户评分小于90分的概率．‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP=2，AB=2，E为棱PD中点．‎ ‎（1）求证：PD⊥平面ABE；‎ ‎（2）求四棱锥P﹣ABCD外接球的体积．‎ ‎20．已知函数f（x）=ax﹣lnx．‎ ‎（1）过原点O作函数f（x）图象的切线，求切点的横坐标；‎ ‎（2）对∀x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎21．已知椭圆Q： +y2=1（a＞1），F1，F2分别是其左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与椭圆Q有且仅有两个交点．‎ ‎（1）求椭圆Q的方程；‎ ‎（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是[﹣，0），求|AB|的最小值．‎ ‎　‎ 四、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；‎ ‎（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．‎ ‎（1）求证：2a+b=2；‎ ‎（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．‎ ‎　‎ ‎2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知复数z=1+2i，则=（　　）‎ A．1﹣2i B．5+4i C．1 D．2‎ ‎【考点】复数的基本概念．‎ ‎【分析】由已知直接利用共轭复数的概念得答案．‎ ‎【解答】解：∵z=1+2i，∴=1﹣2i．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．已知集合A={x|（x﹣3）（x+1）＜0}，B={x|x＞1}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|x＞3} B．{x|x＞1} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．‎ ‎【解答】解：A={x|（x﹣3）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜3}），B={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x＜3}，‎ 故选：D ‎　‎ ‎3．设a，b均为实数，则“a＞b”是“a3＞b3”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】判断命题的真假：若a＞b则a3＞b3．是真命题，即a＞b⇒a3＞b3．若a3＞b3则a＞b．是真命题，即a3＞b3⇒a＞b．‎ ‎【解答】解：若a＞b则a3＞b3．是真命题，即a＞b⇒a3＞b3．‎ 若a3＞b3则a＞b．是真命题，即a3＞b3⇒a＞b．‎ 所以a＞b是a3＞b3的充要条件．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．直线4x﹣3y=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长为（　　）‎ A．6 B．3 C． D．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】利用弦长公式|AB|=2，即可得出．‎ ‎【解答】解：假设直线4x﹣3y=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦为AB．‎ 圆心到直线的距离d==1，‎ ‎∴弦长|AB|=2=2=6．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．下列命题中错误的是（　　）‎ A．如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线 B．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γ C．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β D．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由空间中直线与平面的位置关系逐一核对四个选项得答案．‎ ‎【解答】解：如果平面α外的直线a不平行于平面α，则a与α相交，则α内不存在与a平行的直线，故A正确；‎ 如图：α⊥γ，α∩γ=a，β⊥γ，β∩γ=b，α∩β=l，‎ 在γ内取一点P，过P作PA⊥a于A，作PB⊥b于B，由面面垂直的性质可得PA ‎⊥l，PB⊥l，‎ 则l⊥γ，故B正确；‎ 如果平面α⊥平面β，那么平面α内的直线与平面β有三种位置关系：平行、相交、异面，故C错误；‎ 一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交，故D正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．已知数列{an}满足an+1﹣an=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（　　）‎ A．9 B．15 C．18 D．30‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式可得an，Sn，对n分类讨论即可得出．‎ ‎【解答】解：∵an+1﹣an=2，a1=﹣5，∴数列{an}是公差为2的等差数列．‎ ‎∴an=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．‎ 数列{an}的前n项和Sn==n2﹣6n．‎ 令an=2n﹣7≥0，解得．‎ ‎∴n≤3时，|an|=﹣an．‎ n≥4时，|an|=an．‎ 则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（　　）‎ A．6 B．4 C．2 D．0‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+‎ y的最优解，然后求解z最大值即可．‎ ‎【解答】解：根据不等式，画出可行域，‎ 由，可得x=3，y=0‎ 平移直线2x+y=0，∴当直线z=2x+y过点A（3，0）时，z最大值为6．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．函数f（x）=的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．‎ ‎【分析】‎ 利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=的定义域为：x≠0，x∈R，当x＞0时，函数f′（x）=，可得函数的极值点为：x=1，当x∈（0，1）时，函数是减函数，x＞1时，函数是增函数，并且f（x）＞0，选项B、D满足题意．‎ 当x＜0时，函数f（x）=＜0，选项D不正确，选项B正确．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（　　）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，‎ 底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，‎ 所以四棱锥的体积．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由程序框图知，程序运行的功能是 用二分法求函数f（x）=x2﹣2在区间[1，2]上的零点，且精确到0.3；‎ 模拟运行过程，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是 用二分法求函数f（x）=x2﹣2在区间[1，2]上的零点，且精确到0.3；‎ 模拟如下；‎ m==时，f（1）•f（）=（﹣1）×＜0，‎ b=，|a﹣b|=≥d；‎ m==时，f（1）•f（）=（﹣1）×（﹣）＞0，‎ a=，|a﹣b|=＜d；‎ 程序运行终止，输出m=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（　　）‎ A．（1，） B．[0，2] C．[1，2） D．[1，]‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】把方程2sin（2x+）=m化为sin（2x+）=，画出函数f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时m的取值范围．‎ ‎【解答】解：方程2sin（2x+）=m可化为 sin（2x+）=，‎ 当x∈[0，]时，2x+∈[，]，‎ 画出函数y=f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象如图所示；‎ 根据方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，‎ 得≤＜1‎ ‎1≤m＜2‎ ‎∴m的取值范围是[1，2）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．已知定义在R上的函数f（x）为增函数，当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B． C．（，1） D．（1，+∞）‎ ‎【考点】函数单调性的性质．‎ ‎【分析】根据题意，分析可得若不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则有，解可得实数x1的取值范围，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，若f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1），则有f（x1）﹣f（x2）＞f（1）﹣f（0），‎ 又由x1+x2=1，则有f（x1）﹣f（1﹣x1）＞f（1）﹣f（0），‎ 又由函数f（x）为增函数，‎ 则不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立可以转化为，‎ 解可得：x1＞1，即实数x1的取值范围是（1，+∞）；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，如果学号为1号到30号的同学平均成绩为90，则学号为31号到50号同学的平均成绩为　95　．‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，得到关于x的方程，解出即可．‎ ‎【解答】解：设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，‎ 则92×50=90×30+20x，解得：x=95，‎ 故答案为：95．‎ ‎　‎ ‎14．若函数f（x）=ex•sinx，则f'（0）=　1　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】先求f（x）的导数，再求导数值．‎ ‎【解答】解：f（x）=ex•sinx，f′（x）=（ex）′sinx+ex．（sinx）′=ex•sinx+ex•cosx，∴f'（0）=0+1=1‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎15．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y=x平行，由此能求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵经过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，‎ 倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，‎ ‎∴根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y=x平行，‎ ‎∴=1，∴，‎ 解得e2=2，∴离心率e=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数　128　．‎ ‎【考点】数列的应用．‎ ‎【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．‎ ‎【解答】解：我们首先需要先求出三个数：‎ 第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；‎ 第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；‎ 第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；‎ 然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．‎ 最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．‎ 由于物数量在100至200之间，故当k=1时，105+23=128‎ 故答案为：128‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；‎ ‎（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）根据向量的坐标运用求解，函数f（x）解析式，化解即可求函数f（x）的最小值及此时x的值．‎ ‎（2）由f（A）=4，BC=3，余弦定理和△ABC的面积为建立方程组，求解b，c的长度可得△ABC的周长．‎ ‎【解答】解：（1）点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，‎ ‎=（，1），=（cosx，1﹣sinx）‎ ‎∵函数f（x）=•‎ ‎∴f（x）=3﹣cosx+1﹣sinx=4﹣2sin（x+）‎ ‎∴当x=，k∈Z时，f（x）取得最小值2；‎ ‎（2）∵f（A）=4，即4﹣2sin（A+）=4‎ 可得：A+=kπ，k∈Z．‎ ‎0＜A＜π ‎∴A=．‎ 又∵BC=3，‎ 由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccos，即9=（b+c）2﹣bc．‎ 又∵△ABC的面积为，即bcsinA=，‎ 可得bc=3，‎ 那么b+c=2‎ 故得△ABC的周长为：a+b+c=2+3．‎ ‎　‎ ‎18．某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：‎ 女性用户 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100）‎ 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎10‎ 男性用户 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100）‎ 频数 ‎45‎ ‎75‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；‎ ‎（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取2名用户，求2名用户评分小于90分的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】（Ⅰ）作出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．‎ ‎（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为A，B，C，D，评分不小于90分分的人数为2，记为a，b，从6人人任取2人，利用列举法能求出两名用户评分都小于90分的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：‎ 由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．‎ ‎（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，‎ 其中评分小于90分的人数为4，记为A，B，C，D，‎ 评分不小于90分分的人数为2，记为a，b，从6人人任取2人，‎ 基本事件空间为：‎ Ω={（AB），（AC），（AD），（Aa），（Ab），（BC），（BD），（Ba），（Bb），（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab）}，共有15个元素．‎ 其中把“两名用户评分都小于90分”记作M，‎ 则M={（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（CD）}，共有6个元素．‎ 所以两名用户评分都小于90分的概率为p=．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP=2，AB=2，E为棱PD中点．‎ ‎（1）求证：PD⊥平面ABE；‎ ‎（2）求四棱锥P﹣ABCD外接球的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）推导出PA⊥AB，AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而AB⊥PD，再由AE⊥PD，能证明PD⊥平面ABE．‎ ‎（II）四棱锥P﹣ABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O，由此能求出四棱锥P﹣ABCD外接球的体积．‎ ‎【解答】证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，‎ ‎∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，‎ ‎∴AB⊥AD，PA∩AD，‎ 又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，‎ ‎∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，‎ ‎∴PD⊥平面ABE．‎ 解：（II）四棱锥P﹣ABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O，‎ 由已知BD===4，‎ 设C为BD中点，∴AM=2，OM=AP=1，‎ ‎∴OA===3，‎ ‎∴四棱锥P﹣ABCD外接球的体积是=36π．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=ax﹣lnx．‎ ‎（1）过原点O作函数f（x）图象的切线，求切点的横坐标；‎ ‎（2）对∀x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）通过设切点坐标，进而可写出切线方程，代入原点计算即得结论；‎ ‎（2）通过转化可知a（x2﹣x）≥lnx对∀x∈[1，+∞）恒成立，分别设y1‎ ‎=a（x2﹣x），y2=lnx，利用x∈[1，+∞）可知a＞0．再记g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，通过举反例可知当0＜a＜1时不满足题意．进而转化为函数的最值问题，利用当x＞1时lnx＜x﹣1恒成立放缩即得结论．‎ ‎【解答】解：（1）设切点为M（x0，f（x0）），直线的切线方程为y﹣f（x0）=k（x﹣x0），‎ ‎∵f′（x）=a﹣，∴k=f′（x0）=a﹣，‎ 即直线的切线方程为y﹣ax0+lnx0=（a﹣）（x﹣x0），‎ 又切线过原点O，所以﹣ax0+lnx0=﹣ax0+1，‎ 由lnx0=1，解得x0=e，所以切点的横坐标为e．‎ ‎（2）∵不等式ax﹣lnx≥a（2x﹣x2）恒成立，‎ ‎∴等价于a（x2﹣x）≥lnx对∀x∈[1，+∞）恒成立．‎ 设y1=a（x2﹣x），y2=lnx，由于x∈[1，+∞），且当a≤0时y1≤y2，故a＞0．‎ 记g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，‎ 则当0＜a＜1时，g（3）=6a﹣ln3≥0不恒成立，同理x取其他值不恒成立．‎ 当x=1时，g（x）≥0恒成立；‎ 当x＞1时，则a≥恒成立，等价于问题转化为求h（x）=当x＞1时的最大值．‎ 又当x＞1时，lnx＜x﹣1＜x（x﹣1），即h（x）=＜1（x＞1），‎ 综上所述：a≥1．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆Q： +y2=1（a＞1），F1，F2分别是其左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与椭圆Q有且仅有两个交点．‎ ‎（1）求椭圆Q的方程；‎ ‎（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是[﹣，0），求|AB|的最小值．‎ ‎【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由题意可知c=b=1，由此能求出椭圆的方程．‎ ‎（2）设直线l方程为y=k（x+1），（k≠0），代入，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，由此利用中点坐标公式、韦达定理、线段垂直平分线方程、弦长公式，结合已知条件能求出|AB|的最小值．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（1）∵椭圆Q： +y2=1（a＞1），F1，F2分别是其左、右焦点，‎ 以线段F1F2为直径的圆与椭圆Q有且仅有两个交点，‎ ‎∴由题意可知c=b=1，‎ ‎∴a=，故椭圆的方程为．‎ ‎（2）设直线l方程为y=k（x+1），（k≠0），‎ 代入，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），‎ ‎∴，．‎ ‎∴=﹣，，‎ ‎∴AB的垂直平分线方程为y﹣y0=﹣，‎ 令y=0，得，‎ ‎∵，∴﹣，∴0＜k2．‎ ‎|AB|=|x2﹣x1|=•‎ ‎=2 []，‎ ‎|AB|的最小值|AB|min=．‎ ‎　‎ 四、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；‎ ‎（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．‎ ‎（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，‎ 可得直角坐标方程：．‎ 直线l的参数方程为（t为参数），‎ 消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．‎ ‎（2），直角坐标为（2，2），，‎ ‎∴M到l的距离≤，‎ 从而最大值为．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．‎ ‎（1）求证：2a+b=2；‎ ‎（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；‎ ‎（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．‎ ‎【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，‎ ‎∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，‎ ‎∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，‎ ‎∴a+=1，2a+b=2；‎ 法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，‎ 显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（x）的最小值为f（）=a+，‎ ‎∴a+=1，2a+b=2．‎ ‎（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，‎ ‎=+=（+）（2a+b ）•=（1+4++），‎ 当a=b=时，取得最小值，‎ ‎∴≥t，即实数t的最大值为；‎ 方法二：∵a+2b≥tab恒成立，‎ ‎∴≥t恒成立，‎ t≤=+恒成立，‎ ‎+=+≥=，‎ ‎∴≥t，即实数t的最大值为；‎ 方法三：∵a+2b≥tab恒成立，‎ ‎∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，‎ ‎∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，‎ ‎∴（3+2t）2﹣326≤0，‎ ‎∴≤t≤，实数t的最大值为．‎ ‎　‎ ‎2017年4月15日