高考数学理三视图及空间几何体的计算问题目二轮提高练习题目 6页

‎　三视图及空间几何体的计算问题 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如下图所示，则该几何体的俯视图为 ‎(　　)．‎ ‎2．如图，某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是 ‎(　　)．‎ ‎3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)．‎ A．2π＋2 ‎ B．4π＋2 C．2π＋ ‎ D．4π＋ ‎4．点A、B、C、D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝6，则该球的体积为(　　)．‎ A．32π B．48π C．64π D．16π ‎5．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥SABC的体积为(　　)．‎ A．3 B．‎2 C. D．1‎ 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎6．一个三棱锥的正(主)视图和侧(左)视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为________．‎ ‎7．已知某棱锥的三视图如下图所示，则该棱锥的体积为________．‎ ‎8．在三棱锥ABCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．‎ 三、解答题(本题共3小题，共35分)‎ ‎9．(11分)已知一四棱锥PABCD的三视图 ‎ 如右，求四棱锥PABCD的体积．‎ ‎10．(12分)半径为R的球有一个内接圆柱，这个圆柱的底面 ‎ 半径为何值时，它的侧面积最大？最大值是多少？‎ ‎11．(12分)如图，已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为a.求：‎ ‎(1)它的外接球的体积；‎ ‎(2)它的内切球的表面积．‎ 参考答案 ‎1． C　[如图，当俯视时，P与B，Q与C，R与D重合，故选C.]‎ ‎2．C　[因为体积为，而高为1，所以底面为一个直角三角形．故选C.]‎ ‎3．C　[由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为V＝π×12×2＋×()2×＝2π＋，故选C.]‎ ‎4．A　[如图所示，O1为三角形ABC的外心，过O做OE⊥AD，∴OO1⊥面ABC，‎ ‎∴AO1＝AB＝，∵OD＝OA，‎ ‎∴E为DA的中点，∵AD⊥面ABC，‎ ‎∴AD∥OO1，∴EO＝AO1＝，‎ ‎∴DO＝＝2，‎ ‎∴R＝DO＝2，‎ ‎∴V＝π(2)3＝32π.]‎ ‎5．C　[如图，由Rt△ASC≌Rt△BSC，得CB＝CA，SA＝SB.‎ 设AB的中点为M，则SM⊥AB，CM⊥AB，故AB⊥面SMC.‎ 故VSABC＝VASCM＋VBSCM ‎＝AB·S△SCM.‎ 在Rt△SAC与Rt△SMA中，‎ 可求SA＝2，‎ AC＝2，SM＝.‎ 由cos∠ASC＝cos∠MSC·cos∠ASM，‎ 得＝cos∠MSC·，可得cos∠MSC＝，‎ 故sin∠MSC＝＝，‎ ‎∴VSABC＝AB·S△SCM＝×××4××＝，故选C.]‎ ‎6．解析　该三棱锥俯视图为直角三角形，两直角边分别为1,2，其面积为×1×2＝1.‎ 答案　1‎ ‎7．解析　由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为直角梯形其面积为(2＋1)×2＝3，高为2，所以V＝×3×2＝2.‎ 答案　2‎ ‎8．解析　该三棱锥在一个长方体内，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有∴ 外接球的半径为＝，‎ ‎∴S＝4π×2＝43π.‎ ‎ 答案　43 π ‎9．解　由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，所以VPABCD＝S四边形ABCD·PC＝.‎ ‎10．解　取圆柱的一个轴截面ABCD，则⊙O为球的一个大圆．设圆柱的半径为r，高为h，侧面积为S.‎ 连接OB，作OH⊥AB交AB于H.‎ 在Rt△OBH中，有2＝R2－r2，即h＝2.‎ 所以S＝2πrh＝2πr·2＝4πr·，‎ 所以S2＝16π2r2(R2－r2)＝－16π2(r2)2＋16π2R2r2.‎ 因为这是一个关于r2的二次函数，‎ 所以，当r2＝－＝，‎ 即r＝R时，S有最大值，‎ 最大值为4π·R× ＝2πR2.‎ 故当这个圆柱的底面半径为R时，它的侧面积最大，最大值是2πR2.‎ ‎11．解　(1)设外接球的半径为R，球心为O，则OA＝OC＝OS，所以O为△SAC的外心，即△SAC的外接圆半径就是球的半径．‎ 因为AB＝BC＝a，所以AC＝a.‎ 所以△SAC为正三角形．‎ 由正弦定理得，2R＝＝＝a，‎ 因此R＝a，则V外接球＝πR3＝πa3.‎ ‎(2)设内切球的半径为r.‎ 作SE⊥底面于E，作SF⊥BC于F，连接EF.‎ 则有SF＝＝ ＝a，‎ 所以S△SBC＝BC·SF＝a×a＝a2，‎ 所以S棱锥全＝4S△SBC＋S底＝(＋1)a2.‎ 又SE＝＝ ＝a，‎ 所以V棱锥＝S底×h＝a2×a＝a3.‎ 所以r＝＝＝a，‎ 所以S球＝4πr2＝πa2.‎