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- 2021-05-13 发布
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第五讲 基本不等式及其应用
一、知识梳理:
1、若,则 ,当且仅当时等号成立;
2、若, 则 , 当且仅当时等号成立;
3、若 , ,则
⑴如果P是定值,那么当且仅当时,S的值最小;
⑵如果S是定值,那么当且仅当时,P的值最大
4、若,则,当且仅当时等号成立
二、知识回顾:
1、若,则的最小值为 .
2、已知,且,则的最大值为.
3、已知,则下列不等式不正确的是( )
A. B.
C. D.
4、已知,则的最小值是( )
A.2 B. C.4 D.5
5、下列结论正确的是 ( )
A .当且时, B.时,
C.当时,的最小值为2 D.时,无最大值
6、已知,且ab>0,则下列不等式不正确的是( )
A. B.
C. D.
三、典型例题
例1、已知, (x+y)( + )≥9对任意x,y恒成立,则a的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
例2、三个同学对问题“关于的不等式+25+|-5|≥在[1,12]上恒成立,求实数的取值范围”提出各自的解题思路.
甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.
乙说:“把不等式变形为左边含变量的函数,右边仅含常数,求函数的最值”.
丙说:“把不等式两边看成关于的函数,作出函数图像”.
参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即的取值范围
是 .
例3、函数的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,求的最小值;
例4、某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,求的值.
四、巩固与评价
(一) 选择题
1、“”是“对任意的正数,”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2、若关于的不等式≤+4的解集是M,则对任意实常数,总有( )
A.2∈M,0∈M; B.2M,0M; C.2∈M,0M; D.2M,0∈M.
3、如果正数满足,那么( )
A.,且等号成立时的取值唯一
B.,且等号成立时的取值唯一
C.,且等号成立时的取值不唯一
D.,且等号成立时的取值不唯一
4、设若的最小值为( )
A . 8 B . 4 C. 1 D.
(二) 填空题
5、已知,,则的最小值 ;
6、①对任意;②“且”是“”的充要条件;③ 函数的最小值为。
其中真命题的为_________(将你认为是真命题的序号都填上);
7、设x,y为正数, 则(x+y)( + )的最小值为_________;
8、已知a,b为正实数,且的最小值为_________ 。
(三) 解答题
9、已知求证;
10、关于的方程有解,求实数的取值范围;
11、已知直线过点,且与轴、轴的正半轴分别交于两点,为坐标原点,求三角形面积的最小值;
12、围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙,需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元)。
(1)将y表示为x的函数;
(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。