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选修2-3：排列组合常见题型 可重复的排列（求幂法）‎ 重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。‎ 在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。‎ ‎【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？‎ ‎（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？‎ ‎（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？‎ ‎【解析】：（1）（2） （3）‎ 相邻问题（捆绑法） ‎ 相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.高☆考♂资♀源€网 ☆‎ ‎【例1】五人站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有 ‎ ‎【解析】：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种 练习：（2012辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 ‎ ‎(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！‎ ‎【解析】：C 相离问题（插空法 ）‎ 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.‎ ‎【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 ‎ ‎【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是 ‎【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法 ‎【解析】： ‎ ‎【例3】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？‎ ‎【解析】：把此问题当作一个排队模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯= 10‎ 种方法。‎ 第 11 页 共 11 页 说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒 模型可使问题容易解决.‎ ‎【例4】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？‎ ‎【解析】：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A=24种.‎ 练习1：(2014辽宁)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为(　　)‎ A.144 B.120 C.72 D.24‎ ‎【解析】：D 练习2： 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？‎ ‎【解析】：先排好8辆车有A种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9‎ 个空档中任选一个，将空车位置插入有C种方法，所以共有CA种方法. ‎ 练习3: 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工 程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6‎ 项工程的不同排法种数是 ‎ ‎【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有 ‎＝20种不同排法。‎ 元素分析法（位置分析法）‎ 某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。‎ ‎【例1】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？‎ ‎【解析】： 老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。.‎ 练习1： 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？‎ ‎【解析】 法一：（从元素分析） 法二：（从位置分析） ‎ 法三：‎ 第 11 页 共 11 页 练习2：（2010山东理）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）‎ ‎（A）36种 （B）42种 (C)48种 （D）54种 ‎【解析】：B 多排问题（单排法）‎ 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。高☆考♂资♀源€网 ☆‎ ‎【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）‎ ‎ A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种 ‎（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？‎ ‎【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种 ‎ ‎（2）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.‎ 定序问题（缩倍法）‎ 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.‎ ‎【例1】.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）高☆考♂资♀源€网 ☆‎ ‎【解析】 ： 种 ‎【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？‎ ‎【解析】 ：法一： 法二： ‎ 练习：．从1，2，3，…，9九个数字中选出三个不同的数字a，b，c，且a＜b＜c，作抛物线 y＝ax2＋bx＋c，则不同的抛物线共有 条（用数字作答）．‎ ‎【解析】 ： 种 第 11 页 共 11 页 标号排位问题（不配对问题） ‎ 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，‎ 依次即可完成.（常用树状图）‎ ‎【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个 方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）‎ A、6种 B、9种 C、11种 D、23种高☆考♂‎ ‎【解析】B 练习：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，‎ 则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) ‎ ‎（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种 ‎ ‎【解析】B ‎【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中 有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） ‎ ‎ A 10种 B 20种 C 30种 D 60种 ‎ ‎【解析】B 不同元素的分配问题（先分堆再分配） 注意平均分堆的算法。‎ ‎【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？高☆考♂资♀源€网 ‎ （1） 分成1本、2本、3本三组；‎ （2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；‎ （3） 分成每组都是2本的三个组；‎ （4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本；‎ （5） 分给5人每人至少1本。‎ ‎【解析】 ：（1） （2） （3） （4） （5）‎ 练习：将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种 ‎【解析】：‎ 第 11 页 共 11 页 ‎【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ） ‎ ‎ （A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 ‎ ‎【解析】：+ ＝150，选A 练习1：四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？‎ ‎【解析】：144‎ 练习2：5人到一个5层居民楼调查，每人随机选一层，且选每个楼层可能性相等，则恰好只有3个楼层有人调查，且没有被调查的2层不相邻的安排方法有多少种？‎ ‎【解析】（1）、先将5人分组，可分为3+1+1或2+2+1‎ ‎（2）、将3组排成一列，会产生4个空，对这4空选2个进行插空。‎ 即共有种排法。‎ 练习3：（2016合肥一模理10）某企业的4名职工参加职业技能考核,每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核,则恰有一个项目未被抽中的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】 ，选A 练习4：（2015合肥三模理8）某校计划高一年级四个班级开展研学旅行活动，初选了A,B,C,D四条不同路线，每个班级只能在这四条线路中选择一条，且同一线路最多只能有两个班级选择，则不同的选择方案有( )‎ A．240种 B．204种 C．188种 D．96种 ‎【解析】答案B。‎ 选4条线路时有种 , 选3条线路时有种, 选2条线路时有种.‎ 相同元素的分配问题（隔板法）‎ ‎【例1】： 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？‎ ‎【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆 至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，‎ 故共有不同的分配方案为种.高☆考♂资♀源€网 ☆‎ 考♂资♀源€网 ☆‎ ‎【例2】‎ 第 11 页 共 11 页 把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？‎ ‎【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17‎ 个球分成3份，转化为每份至少一球，运用隔板法，共有种放法。‎ 练习1：（2012合肥二模理9）50台完全相同的校车发放给10所学校，每校至少2台，则不同发放方案有____种。‎ ‎【解析】：‎ 练习2：如图为73方格，每个方格均为正方形，则图中共有多少个矩形?‎ ‎【解析】：‎ 练习3:（1）三元一次方程所有正整数解有多少个? ‎ ‎（2）三元一次方程所有非负整数解有多少个? ‎ ‎【解析】：（1） （2）‎ ‎【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个 中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？高☆考♂资♀源€网 ☆‎ ‎【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有种方法。‎ ‎2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有、、种方法。 3、由分步计数原理可得=720种 多面手问题（ 分类法---选定标准）‎ ‎【例1】： 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、‎ 日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日 语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？ ‎ ‎ 【解析】：☆考♂资♀源€网 ☆‎ 走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）‎ 第 11 页 共 11 页 ‎【例】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？‎ ‎ 【解析】 ： 插空法解题：考虑走3级台阶的次数：‎ ‎1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；高☆考♂资♀源€网 ☆‎ ‎2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）；‎ ‎3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：‎ ‎（a）两次三级台阶挨着：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有 种（b）两次三级不挨着：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有种 ‎ 4）有3次（不可能）高☆考♂资♀源€网 ☆‎ ‎5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种走法；‎ ‎6）有5次（不可能） ‎ ‎ 故总共有：1+6+15+15=37种。‎ 练习：欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有( )‎ ‎（A）34种 （B）55种 （C）89种 （D）144种 ‎ ‎【解析】：C 排数问题（注意数字“0”）高☆考♂资♀源€网 ☆‎ ‎【例1】（2016年四川高考）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ‎（A）24 （B）48 （C）60 （D）72‎ ‎【解析】：D 练习：（2013山东理）试用0,1,……,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 （　　）‎ A．243 B．252 C．261 D．279‎ ‎【解析】：252 选 B 练习：（2010四川10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）‎ A.72 B.96 C.108 D.144 o*‎ ‎【解析】：C 第 11 页 共 11 页 ‎【例2】从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？‎ ‎【解析】：将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种.‎ 涂色问题 ‎【例1】用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？‎ ‎②‎ ‎①‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎ ‎ ‎ 分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。‎ ‎【例2】（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。‎ ‎①‎ ‎②2‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎⑤‎ ‎⑥‎ 分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：‎ ‎（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有；‎ ‎（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有；‎ ‎（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有；‎ ‎（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有；‎ ‎（5）②与④同色、③与⑥同色，则有；‎ 所以根据加法原理得涂色方法总数为5=120‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎【例3】（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？‎ ‎ 分析：依题意至少要用3种颜色 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，故有种；‎ 当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有种；‎ 第 11 页 共 11 页 若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有种，‎ 故用四种颜色时共有2种。‎ 由加法原理可知满足题意的着色方法共有+2=24+224=72 ‎ 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。‎ ‎【例4】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？‎ 分析：可把问题分为三类：‎ 四格涂不同的颜色，方法种数为；‎ 有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为；‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为，‎ 因此，所求的涂法种数为 ‎【例5】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？‎ S C D A B ‎ ‎ 解：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，‎ 对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？‎ 解答略。‎ ‎【例6】用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色　，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？‎ 解：（1）使用四颜色共有种 ‎（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有种，‎ ‎（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有种 ‎　因此，所求的染色方法数为种 A B C D P ‎【例7】四棱锥，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？ ‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎ ‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ 解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：‎ （1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有种；‎ （2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有；‎ 故满足题意总的涂色方法总方法交总数为 最短线路问题：分解与合成 ‎【例1】如图所示是一个由边长为1个单位的12个正方形组成的棋盘，规定每次只能沿正方形的边运动，且只能走一个单位，则从走到的最短路径的走法有 种 A B ‎【解析】35.要想从走到的路径最短，只需走7个单位，并且这7个单位中，有3个横单位和4个竖单位；在这7各单位中，只要3个横单位确定，走法就确定；所以的最短路径的走法有种 练习：（2016新课标II理5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为【答案】B ‎（A）24 （B）18 （C）12 （D）9‎ ‎【解析】：选B.由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为，再从F处到G处最短路径的条数为，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为。‎ 环排问题 ‎【例1】5人A,B,C,D,E围桌而坐，有多少种坐法？‎ ‎【解析】。围桌与坐成一排不同点在于，坐成圆形无首尾之分，所以固定一人A，并从此位置把圆形展成直线，其余4人共有排法 一般地，n个不同元素作圆形排列，共有种排法。‎ 第 11 页 共 11 页 变式：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石图?‎ 解：.设6个不同钻石为，。与围桌而坐情，情形不同点在于：‎ 钻石圈可以翻转，与在本题中一样，‎ 部分合条件问题排除法 在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求．‎ ‎【例1】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有( )‎ A．70 个B．64 个 C．58 个D．52 个 ‎【解析】选 C．分析正方体8个顶点，从中每次取四点，理论上可构成个四面体，但6个表面和6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所 以四面体实际共有－12＝58个， ‎ ‎【例2】正六边形中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个．‎ ‎【解析】 从7个点中取3点的取法有种，但有三组三点共线不能构成三角形，故所求三角形有 ‎－3＝32个．‎ ‎“至多”“至少”问题（间接法或分类）‎ 例1、从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲、乙各一台，则不同的取法有多少种？‎ ‎【解析】不分条件有种，全是甲种，全是乙种，共有--=70种 练习1：【2015上海理8】在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．‎ ‎【解析】：‎ 练习2：（2009全国Ⅱ理）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）‎ ‎ A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种 ‎【解析】：=30，选C ‎ ‎ ‎ ‎ 第 11 页 共 11 页