2015高考数学（理）（第三章 压轴函数与导数）一轮复习题 9页

压轴题目突破练——函数与导数 A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1． 与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是 (　　)‎ A．3x＋y＋2＝0 B．3x－y＋2＝0‎ C．x＋3y＋2＝0 D．x－3y－2＝0‎ 答案　A 解析　设切点的坐标为(x0，x＋3x－1)，‎ 则由切线与直线2x－6y＋1＝0垂直，‎ 可得切线的斜率为－3，‎ 又f′(x)＝3x2＋6x，故3x＋6x0＝－3，‎ 解得x0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，‎ 从而得切线的方程为3x＋y＋2＝0.‎ ‎2． 设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当ag(x)‎ B．f(x)g(x)＋f(a)‎ D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)‎ 答案　C 解析　∵f′(x)－g′(x)>0，∴(f(x)－g(x))′>0，‎ ‎∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，‎ ‎∴当af(a)－g(a)，‎ ‎∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．‎ ‎3． 三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是 (　　)‎ A．m<0 B．m<1‎ C．m≤0 D．m≤1‎ 答案　A 解析　f′(x)＝3mx2－1，依题可得m<0.‎ ‎4． 点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是(　　)‎ A.(1－ln 2) B.(1＋ln 2)‎ C. D.(1＋ln 2)‎ 答案　B 解析　将直线4x＋4y＋1＝0平移后得直线l：4x＋4y＋b＝0，使直线l与曲线切于点P(x0，y0)，‎ 由x2－y－2ln＝0得y′＝2x－，‎ ‎∴直线l的斜率k＝2x0－＝－1‎ ‎⇒x0＝或x0＝－1(舍去)，‎ ‎∴P，‎ 所求的最短距离即为点P到直线4x＋4y＋1＝0的距离d＝＝(1＋ln 2)．‎ ‎5． 函数f(x)在定义域内的图像如图所示，记f(x)的导函数为f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为 (　　)‎ A.∪[1,2)‎ B.∪ C.∪[2,3)‎ D.∪∪ 答案　C 解析　不等式f′(x)≤0的解集即为函数f(x)的单调递减区间，从图像中可以看出函数f(x)在和[2,3)上是单调递减的，所以不等式f′(x)≤0的解集为∪‎ ‎[2,3)，答案选C.‎ ‎二、填空题 ‎6． 设函数f(x)＝x3＋·x2＋tan θ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是________．‎ 答案　[，2]‎ 解析　∵f′(x)＝sin θ·x2＋cos θ·x，‎ ‎∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2sin.‎ ‎∵θ∈，∴θ＋∈，‎ ‎∴sin∈.∴f′(1)∈[，2]．‎ ‎7． (2012·江西)计算定积分ʃ(x2＋sin x)dx＝________.‎ 答案　 解析　∵′＝x2＋sin x，‎ ‎∴＝.‎ ‎8． 把一个周长为‎12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________．‎ 答案　2∶1‎ 解析　设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝，圆柱体积V＝π2x＝(x3－12x2＋36x)(00)，‎ f′(x)＝x－5＋＝.‎ 令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.‎ 当03时，f′(x)>0，‎ 故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；‎ 当20)．‎ ‎∴f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝‎6a.‎ 由已知，得‎6a＝12，∴a＝2，‎ ‎∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)．‎ ‎(2)方程f(x)＋＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0‎ 设h(x)＝2x3－10x2＋37，‎ 则h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)．‎ 当x∈时，h′(x)<0，h(x)是减函数；‎ 当x∈时，h′(x)>0，h(x)是增函数．‎ ‎∵h(3)＝1>0，h＝－<0，h(4)＝5>0，‎ ‎∴方程h(x)＝0在区间，内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，‎ ‎∴存在唯一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根．‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：25分钟)‎ ‎1． 已知函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是 (　　)‎ A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]‎ C．(－∞，－1)，(1,2) D．[2，＋∞)‎ 答案　C 解析　根据函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，可知其导数f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)(x－1)(x－2)，令f′(x)<0得x<－1或10在上恒成立，故此函数不是凸函数．‎ ‎3． 函数y＝x2(x>0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．‎ 答案　21‎ 解析　因为y′＝2x，所以过点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)．‎ 又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，‎ 所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，‎ 首项a1＝16，其公比q＝，‎ 所以a3＝4，a5＝1.‎ 所以a1＋a3＋a5＝21.‎ ‎4． 设函数f(x)＝，g(x)＝，对任意x1、x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是________．‎ 答案　[1，＋∞)‎ 解析　因为对任意x1、x2∈(0，＋∞)，‎ 不等式≤恒成立，所以≥max.‎ 因为g(x)＝，‎ 所以g′(x)＝(xe2－x)′＝e2－x＋xe2－x·(－1)＝e2－x(1－x)．‎ 当00；当x>1时，g′(x)<0，‎ 所以g(x)在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．‎ 所以当x＝1时，g(x)取到最大值，即g(x)max＝g(1)＝e；‎ 因为f(x)＝，当x∈(0，＋∞)时，‎ f(x)＝e2x＋≥2e，当且仅当e2x＝，‎ 即x＝时取等号，故f(x)min＝2e.‎ 所以max＝＝.所以≥.‎ 又因为k为正数，所以k≥1.‎ ‎5． (2012·辽宁)设f(x)＝ln x＋－1，证明：‎ ‎(1)当x>1时，f(x)<(x－1)；‎ ‎(2)当11时，g′(x)＝＋－<0.‎ 又g(1)＝0，所以有g(x)<0，即f(x)<(x－1)．‎ 方法二　当x>1时，21时，f(x)<(x－1)．‎ ‎(2)方法一　记h(x)＝f(x)－，‎ 由(1)得h′(x)＝＋－ ‎＝－<－ ‎＝.‎ 令G(x)＝(x＋5)3－216x，则当1