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- 2021-05-13 发布
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专题06 数列
1.【2006高考北京理第7题】设,则等于( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
【解析】依题意,为首项为2,公比为8的前n+4项求和,根据等比数列的求和公式可得D
2.【2008高考北京理第6题】已知数列对任意的满足,且,那么等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
考点:数列
3.【2010高考北京理第2题】在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m等于 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
【答案】C
【解析】
试题分析:a1=1,am=a1a2a3a4a5==q10=a1q10=a11,∴m=11.
考点:等比数列的通项公式.
4. 【2014高考北京理第5题】设是公比为的等比数列,则“”是“为递增数列”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
试题分析:对等比数列,若,则当时数列是递减数列;若数列是递增数列,则满足且,故当“”是”数列为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.
考点:等比数列的性质,充分条件与必要条件的判定,容易题.
5. 【2015高考北京,理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【答案】C
【解析】先分析四个答案支,A举一反例,而,A错误,B举同样反例,,而,B错误,下面针对C进行研究,是等差数列,若,则设公差为,则,数列各项均为正,由于,则,选C.
考点定位:本题考点为等差数列及作差比较法,以等差数列为载体,考查不等关系问题,重 点是对知识本质的考查.
6. 【2007高考北京理第10题】若数列的前项和,则此数列的通项公式为 ;数列中数值最小的项是第 项.
【答案】
【考点】数列的通项公式,与的关系
7. 【2008高考北京理第14题】某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第棵树种植在点处,其中,,当时,
表示非负实数的整数部分,例如,.
按此方案,第6棵树种植点的坐标应为 ;第2008棵树种植点的坐标应为 .
【答案】(1,2) (3, 402)
考点:数列的通项
8. 【2009高考北京理第14题】已知数列满足:则________;=_________.
【答案】1,0
【解析】
试题分析:依题意,得,. ∴应填1,0.
考点:周期数列等基础知识.
9. 【2011高考北京理第11题】在等比数列中,若,,则公比________;________.
【答案】
【解析】由是等比数列得,又 所以,是以为首项,以2为公比的等比数列,。
10. 【2012高考北京理第10题】已知等差数列为其前n项和。若,,则=_______。
【答案】,
【解析】
试题分析:因为,
所以,。
考点:等差数列的通项公式,前n项和.
11. 【2013高考北京理第10题】若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=__________;前n项和Sn=__________.
【答案】2 2n+1-2
考点:等比数列的通项公式,前n项和.
12. 【2014高考北京理第12题】若等差数列满足,则当 时,的前项和最大.
【答案】
【解析】
试题分析:由等差数列的性质,,,又因为,所以
所以,所以,,故数列的前8项最大.
考点:等差数列的性质,前项和的最值,容易题.
13.【2017高考北京理第10题】若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1,a4=b4=8,则=___________.
【答案】1
【解析】
试题分析:设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和,则,求得,那么.
【考点】等差数列和等比数列
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组)问题,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
14. 【2005高考北京理第19题】(本小题共12分)
设数列 记
(Ⅰ)求a2,a3;
(Ⅱ)判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;
(Ⅲ)求
【答案】
(II)
因为,所以
所以
猜想:是公比为的等比数列.
证明如下:
因为
所以是首项为,公比为的等比数列.
(III)
15. 【2006高考北京理第20题】(本小题共14分)
在数列中,若是正整数,且,则称为“绝对差数列”.
(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);
(Ⅱ)若“绝对差数列”中,,数列满足,,分别判断当时,与的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;
(Ⅲ)证明:任何 “绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
【答案】
即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3,0,3. 所以当时,的极限
不存在.
当时, ,所以
(Ⅲ)证明:根据定义,数列必在有限项后出现零项.证明如下
假设中没有零项,由于,所以对于任意的n,都有,从而
当时, ;
当 时,
即的值要么比至少小1,要么比至少小1.
令
则
由于是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 ,这与()
矛盾. 从而必有零项.
若第一次出现的零项为第项,记,则自第项开始,每三个相邻的项周期地取值 0,, , 即
所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.
16. 【2007高考北京理第15题】(本小题共13分)数列中,, (是常数,),且成公比不为的等比数列.
(I)求的值; (II)求的通项公式.
所以,
又,故 ,
当时,上式也成立,所以 .
【考点】等比数列的定义,等差数列的求和,叠加法求数列的通项.
17. 【2009高考北京理第20题】(本小题共13分)
已知数集具有性质;对任意的
,与两数中至少有一个属于.
(Ⅰ)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;
(Ⅱ)证明:,且;
(Ⅲ)证明:当时,成等比数列.
(Ⅱ)∵具有性质P,∴与中至少有一个属于A,
由于,∴,故.
从而,∴.
∵, ∴,故.
由A具有性质P可知.
又∵,
∴,
从而,
∴.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,有,即,
∵,∴,∴,
由A具有性质P可知.
由,得,且,∴,
∴,即是首项为1,公比为成等比数列..
18. 【2013高考北京理第20题】(本小题共13分)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1,an+2,…的最小值记为Bn,dn=An-Bn.
(1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,an+4=an),写出d1,d2,d3,d4的值;
(2)设d是非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3,…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列;
(3)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.
所以An=Bn+dn≤Bn.
又因为an≤An,an+1≥Bn,所以an≤an+1.
于是,An=an,Bn=an+1,
因此an+1-an=Bn-An=-dn=d,
即{an}是公差为d的等差数列.
(3)因为a1=2,d1=1,
所以A1=a1=2,B1=A1-d1=1.
故对任意n≥1,an≥B1=1.
假设{an}(n≥2)中存在大于2的项.
设m为满足am>2的最小正整数,
则m≥2,并且对任意1≤k<m,ak≤2.
又因为a1=2,所以Am-1=2,且Am=am>2.
于是,Bm=Am-dm>2-1=1,Bm-1=min{am,Bm}≥2.
故dm-1=Am-1-Bm-1≤2-2=0,与dm-1=1矛盾.
所以对于任意n≥1,有an≤2,即非负整数列{an}的各项只能为1或2.
因为对任意n≥1,an≤2=a1,
所以An=2.
故Bn=An-dn=2-1=1.
因此对于任意正整数n,存在m满足m>n,且am=1,即数列{an}有无穷多项为1.