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  • 2021-05-13 发布

北京专用高考数学总复习专题06数列分项练习理

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专题06 数列 ‎1.【2006高考北京理第7题】设,则等于( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意,为首项为2,公比为8的前n+4项求和,根据等比数列的求和公式可得D ‎2.【2008高考北京理第6题】已知数列对任意的满足,且,那么等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 考点:数列 ‎3.【2010高考北京理第2题】在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a‎1a2a3a4a5,则m等于 (  )‎ A.9 B.‎10 C.11 D.12‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】‎ 试题分析:a1=1,am=a‎1a2a3a4a5==q10=a1q10=a11,∴m=11. ‎ 考点:等比数列的通项公式.‎ ‎4. 【2014高考北京理第5题】设是公比为的等比数列,则“”是“为递增数列”的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:对等比数列,若,则当时数列是递减数列;若数列是递增数列,则满足且,故当“”是”数列为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.‎ 考点:等比数列的性质,充分条件与必要条件的判定,容易题.‎ ‎5. 【2015高考北京,理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是( )‎ A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 ‎【答案】C ‎【解析】先分析四个答案支,A举一反例,而,A错误,B举同样反例,,而,B错误,下面针对C进行研究,是等差数列,若,则设公差为,则,数列各项均为正,由于,则,选C.‎ 考点定位:本题考点为等差数列及作差比较法,以等差数列为载体,考查不等关系问题,重 点是对知识本质的考查.‎ ‎6. 【2007高考北京理第10题】若数列的前项和,则此数列的通项公式为 ;数列中数值最小的项是第 项.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】数列的通项公式,与的关系 ‎7. 【2008高考北京理第14题】某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第棵树种植在点处,其中,,当时,‎ 表示非负实数的整数部分,例如,.‎ 按此方案,第6棵树种植点的坐标应为 ;第2008棵树种植点的坐标应为 .‎ ‎【答案】(1,2) (3, 402)‎ 考点:数列的通项 ‎8. 【2009高考北京理第14题】已知数列满足:则________;=_________.‎ ‎【答案】1,0‎ ‎【解析】‎ 试题分析:依题意,得,. ∴应填1,0.‎ 考点:周期数列等基础知识.‎ ‎9. 【2011高考北京理第11题】在等比数列中,若,,则公比________;________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由是等比数列得,又 所以,是以为首项,以2为公比的等比数列,。‎ ‎10. 【2012高考北京理第10题】已知等差数列为其前n项和。若,,则=_______。‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因为,‎ 所以,。‎ 考点:等差数列的通项公式,前n项和.‎ ‎11. 【2013高考北京理第10题】若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=__________;前n项和Sn=__________.‎ ‎【答案】2 2n+1-2‎ 考点:等比数列的通项公式,前n项和.‎ ‎12. 【2014高考北京理第12题】若等差数列满足,则当 时,的前项和最大.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由等差数列的性质,,,又因为,所以 所以,所以,,故数列的前8项最大.‎ 考点:等差数列的性质,前项和的最值,容易题.‎ ‎13.【2017高考北京理第10题】若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1,a4=b4=8,则=___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析:设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和,则,求得,那么.‎ ‎【考点】等差数列和等比数列 ‎【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组)问题,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.‎ ‎14. 【2005高考北京理第19题】(本小题共12分)‎ 设数列 记 ‎(Ⅰ)求a2,a3;‎ ‎(Ⅱ)判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;‎ ‎(Ⅲ)求 ‎【答案】‎ ‎(II)‎ 因为,所以 所以 猜想:是公比为的等比数列.‎ 证明如下:‎ 因为 所以是首项为,公比为的等比数列.‎ ‎(III)‎ ‎15. 【2006高考北京理第20题】(本小题共14分)‎ 在数列中,若是正整数,且,则称为“绝对差数列”.‎ ‎(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);‎ ‎(Ⅱ)若“绝对差数列”中,,数列满足,,分别判断当时,与的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;‎ ‎(Ⅲ)证明:任何 “绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.‎ ‎【答案】‎ 即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3,0,3. 所以当时,的极限 ‎ 不存在. ‎ 当时, ,所以 (Ⅲ)证明:根据定义,数列必在有限项后出现零项.证明如下 假设中没有零项,由于,所以对于任意的n,都有,从而 当时, ; 当 时, 即的值要么比至少小1,要么比至少小1. 令 则 由于是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 ,这与() 矛盾. 从而必有零项. 若第一次出现的零项为第项,记,则自第项开始,每三个相邻的项周期地取值 0,, , 即 ‎ 所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.‎ ‎16. 【2007高考北京理第15题】(本小题共13分)数列中,, (是常数,),且成公比不为的等比数列.‎ ‎(I)求的值; (II)求的通项公式.‎ 所以,‎ 又,故 ,‎ 当时,上式也成立,所以 .‎ ‎【考点】等比数列的定义,等差数列的求和,叠加法求数列的通项.‎ ‎17. 【2009高考北京理第20题】(本小题共13分)‎ 已知数集具有性质;对任意的 ‎,与两数中至少有一个属于.‎ ‎(Ⅰ)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;‎ ‎(Ⅱ)证明:,且;‎ ‎(Ⅲ)证明:当时,成等比数列. ‎ ‎(Ⅱ)∵具有性质P,∴与中至少有一个属于A,‎ 由于,∴,故. ‎ 从而,∴. ‎ ‎∵, ∴,故.‎ 由A具有性质P可知.‎ 又∵,‎ ‎∴, ‎ 从而,‎ ‎∴. ‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,有,即,‎ ‎ ∵,∴,∴,‎ 由A具有性质P可知. ‎ 由,得,且,∴,‎ ‎∴,即是首项为1,公比为成等比数列..‎ ‎18. 【2013高考北京理第20题】(本小题共13分)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1,an+2,…的最小值记为Bn,dn=An-Bn.‎ ‎(1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,an+4=an),写出d1,d2,d3,d4的值;‎ ‎(2)设d是非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3,…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列;‎ ‎(3)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.‎ 所以An=Bn+dn≤Bn.‎ 又因为an≤An,an+1≥Bn,所以an≤an+1.‎ 于是,An=an,Bn=an+1,‎ 因此an+1-an=Bn-An=-dn=d,‎ 即{an}是公差为d的等差数列.‎ ‎(3)因为a1=2,d1=1,‎ 所以A1=a1=2,B1=A1-d1=1.‎ 故对任意n≥1,an≥B1=1.‎ 假设{an}(n≥2)中存在大于2的项.‎ 设m为满足am>2的最小正整数,‎ 则m≥2,并且对任意1≤k<m,ak≤2.‎ 又因为a1=2,所以Am-1=2,且Am=am>2.‎ 于是,Bm=Am-dm>2-1=1,Bm-1=min{am,Bm}≥2.‎ 故dm-1=Am-1-Bm-1≤2-2=0,与dm-1=1矛盾.‎ 所以对于任意n≥1,有an≤2,即非负整数列{an}的各项只能为1或2.‎ 因为对任意n≥1,an≤2=a1,‎ 所以An=2.‎ 故Bn=An-dn=2-1=1.‎ 因此对于任意正整数n,存在m满足m>n,且am=1,即数列{an}有无穷多项为1.‎