高考试题——文科数学广东卷解析版 15页

绝密★启用前 试卷类型：B ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（文科）‎ 本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。‎ 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。‎ ‎5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式：锥体体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高．‎ 线性回归方程中系数计算公式，，‎ 样本数据的标准差，，‎ 其中，表示样本均值．‎ 是正整数，则．‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设复数满足，其中为虚数单位，则 A． B． C． D．‎ ‎1．（A）．‎ ‎2．已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为 A．4 B．‎3 C．2 D．1‎ ‎2．（C）．的元素个数等价于圆与直线的交点个数，显然有2个交点 ‎3．已知向量．若为实数，∥，则 A． B． C．1 D．2‎ ‎3．（B）．，由∥，得，解得 ‎4．函数的定义域是 A． B． C． D．‎ ‎4．（C）．且，则的定义域是 ‎5．不等式的解集是 A． B． C． D．‎ ‎5．（D）．或，则不等式的解集为 ‎6．已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定．若为上的动点，点 的坐标为，则的最大值为 A．3 B．‎4 C． D．‎ ‎6．（B）．，即，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线 经过点时，取得最大值，‎ ‎7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 A．20 B．‎15 C．12 D．10‎ ‎7．（D）．正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有条 ‎8．设圆与圆外切，与直线相切，则的圆心轨迹为 A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 ‎8．（A）．依题意得，的圆心到点的距离与它到直线的距离相等，则的圆心轨迹为抛物线 正视图 图1‎ 侧视图 图2‎ ‎2‎ 俯视图 图3‎ ‎9．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A． B．‎ C． D．‎ ‎9．（C）．该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，菱形的面积，四棱锥的高为，‎ 则该几何体的体积 ‎10．设是上的任意实值函数，如下定义两个函数和：对任意，；‎ ‎，则下列等式恒成立的是 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎10．（B）．对A选项 ‎ ‎ ，故排除A 对B选项 ‎ ‎，故选B 对C选项 ‎ ‎，故排除C 对D选项 ‎ ‎，故排除D 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎（一）必做题（9 ~ 13题）[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎11．已知是递增的等比数列，若，，则此数列的公比 ．‎ ‎11．2．‎ ‎ 或 ‎∵是递增的等比数列，∴‎ ‎12．设函数．若，则 ．‎ ‎12．‎ ‎，即，‎ 则 ‎13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间（单位：小时）与当天投篮命中率之间的关系：[来源:学。科。网]‎ 时间 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 命中率 ‎0.4‎ ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎0.6‎ ‎0.4‎ 小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ．‎ ‎13．；‎ 小李这5天的平均投篮命中率 ‎，，‎ ‎∴线性回归方程，则当时，‎ ‎∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ‎[来源:学&科&网]‎ ‎（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）[来源:学科网]‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和 ，它们的交点坐标为___________．‎ ‎14．．‎ 表示椭圆，表示抛物线 或（舍去），‎ 又因为，所以它们的交点坐标为 图4‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形中，∥，‎ ‎，，分别为上的点，且，‎ ‎∥，则梯形与梯形的面积比为________．‎ ‎15．‎ 如图，延长，‎ ‎ ∵，∴‎ ‎ ∵，∴‎ ‎ ∴‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设，，，求的值．‎ ‎16．解：（1）‎ ‎（2），即 ‎，即 ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用表示编号为的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 成绩 ‎70‎ ‎76‎ ‎72‎ ‎70‎ ‎72‎ ‎（1）求第6位同学的成绩，及这6位同学成绩的标准差；‎ ‎（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．‎ ‎17．解：（1），解得 标准差 ‎（2）前5位同学中随机选出的2位同学记为，且 则基本事件有，，，，，，，，，共10种 ‎ 这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中 设A表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中”‎ 则A中的基本事件有、、、共4种，则 ‎18．（本小题满分13分）‎ 图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．分别为,,,的中点，分别为,,[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎,的中点．‎ ‎（1）证明：四点共面；‎ ‎（2）设为中点，延长到，使得．证明：平面．‎ 图5‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎18．证明：（1）连接 依题意得是圆柱底面圆的圆心 ‎∴是圆柱底面圆的直径 ‎∵分别为,,的中点 ‎∴‎ ‎∴∥‎ ‎∵，四边形是平行四边形 ‎∴∥‎ ‎∴∥‎ ‎∴四点共面 ‎（2）延长到，使得，连接 ‎∵‎ ‎∴，四边形是平行四边形 ‎∴∥‎ ‎∵，，‎ ‎∴面 ‎∴面，面 ‎∴‎ 易知四边形是正方形，且边长 ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 易知，四边形是平行四边形 ‎∴∥‎ ‎∴，‎ ‎∴平面．‎ ‎[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 设，讨论函数的单调性．‎ ‎19．解：函数的定义域为 令 ‎ ① 当时，，令，解得 则当或时，‎ 当时，‎ 则在，上单调递增，‎ 在上单调递减 ‎② 当时，，，则在上单调递增 ‎③ 当时，，令，解得 ‎∵，∴‎ ‎ 则当时，‎ 当时，‎ 则在上单调递增，在上单调递减[来源:Zxxk.Com]‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 设，数列满足，≥．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：对于一切正整数，≤．‎ ‎20．（1）解：∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎① 当时，，则是以1为首项，1为公差的等差数列 ‎∴，即 ‎② 当且时，‎ 当时，‎ ‎∴是以为首项，为公比的等比数列 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 综上所述 ‎（2）证明：① 当时，；‎ ‎② 当且时，‎ 要证，只需证，‎ 即证 即证 即证 即证 ‎∵‎ ‎，∴原不等式成立 ‎∴对于一切正整数，≤．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系上，直线：交轴于点．设是上一点，是线段的垂直平分线上一点，且满足．‎ ‎（1）当点在上运动时，求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知，设是上动点，求的最小值，并给出此时点的坐标；‎ ‎（3）过点且不平行于轴的直线与轨迹有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．‎ ‎21．解：（1）如图所示，连接，则 ‎∵，‎ ‎∴动点满足或在的负半轴上，设 ‎① 当时，，‎ ‎，化简得 ‎② 当在的负半轴上时，‎ 综上所述，点的轨迹的方程为或 ‎（2）由（1）知的轨迹是顶点为，焦点为原点的抛物线和的负半轴 ‎ ① 若是抛物线上的动点，过作于[来源:Zxxk.Com]‎ 由于是抛物线 的准线，根据抛物线的定义有 则 当三点共线时，有最小值 ‎ 求得此时的坐标为 ‎② 若是的负半轴上的动点 ‎ 显然有 综上所述，的最小值为3，此时点的坐标为 ‎（3）如图，设抛物线顶点，则直线的斜率 ‎∵点在抛物线内部，[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎∴过点且不平行于轴的直线必与抛物线有两个交点 则直线与轨迹的交点个数分以下四种情况讨论：‎ ‎① 当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点 ‎② 当时，直线与轨迹有且只有三个不同的交点 ‎③ 当时，直线与轨迹有且只有一个交点 ‎④ 当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点 综上所述，直线的斜率的取值范围是