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- 2021-05-13 发布
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2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)
数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、填空题(本大题共14小题,共56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4
分,否则一律得零分.
(1)【2014年上海,理1,4分】函数的最小正周期是 .
【答案】
【解析】原式=,.
(2)【2014年上海,理2,4分】若复数,其中是虚数单位,则 .
【答案】
【解析】原式=.
(3)【2014年上海,理3,4分】若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 .
【答案】
【解析】椭圆右焦点为,即抛物线焦点,所以准线方程.
(4)【2014年上海,理4,4分】设,若,则的取值范围为 .
【答案】
【解析】根据题意,,∴.
(5)【2014年上海,理5,4分】若实数,满足,则的最小值为 .
【答案】
【解析】.
(6)【2014年上海,理6,4分】若圆锥的侧面积是底面积的倍,则其母线与底面夹角的大小为 .(结果用反三角函数值表示)
【答案】
【解析】设圆锥母线长为,底面圆半径为,∵,∴,即,∴,即母线与底面夹角大小为.
(7)【2014年上海,理7,4分】已知曲线的极坐标方程为,则与极轴的交点到极点的距离是 .
【答案】
【解析】曲线的直角坐标方程为,与轴的交点为,到原点距离为.
(8)【2014年上海,理8,4分】设无穷等比数列的公比为,若,则 .
【答案】
【解析】,∵,∴.
(9)【2014年上海,理9,4分】若,则满足的的取值范围是 .
【答案】
【解析】,结合幂函数图像,如下图,可得的取值范围是.
(10)【2014年上海,理10,4分】为强化安全意识,某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练,则选择的天恰好为连续天的概率是 .(结果用最简分数表示)
【答案】
【解析】.
(11)【2014年上海,理11,4分】已知互异的复数满足,集合,则 .
【答案】
【解析】第一种情况:,∵,∴,与已知条件矛盾,不符;
第二种情况:,∴,∴,即.
(12)【2014年上海,理12,4分】设常数使方程在闭区间上恰有三个解,则 .
【答案】
【解析】化简得,根据下图,当且仅当时,恰有三个交点,
即.
(13)【2014年上海,理13,4分】某游戏的得分为,随机变量表示小白玩该游戏的得分.若,则小白得分的概率至少为 .
【答案】
【解析】设得分的概率为,∴,且,
∴,与前式相减得:,
∵,∴,即.
(14)【2014年上海,理14,4分】已知曲线,直线. 若对于点,存在上的点和上的使得,则的取值范围为 .
【答案】
【解析】根据题意,是中点,即,∵,∴.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)考生应在答题纸相应编号位置填涂,每题只有一个正确选项,选对得5分,否则一律得零分.
(15)【2014年上海,理15,5分】设,则“”是“且”的( )
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】充分性不成立,如,;必要性成立,故选B.
(16)【2014年上海,理16,5分】如图,四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱,是
一条侧棱, 是上底面上其余的八个点,则的
不同值的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8
【答案】A
【解析】根据向量数量积的几何意义,等于乘以在方向上的投影,而在方向上的投影是定值,也是定值,∴为定值,故选A.
(17)【2014年上海,理17,5分】已知与是直线(为常数)上两个不同的点,则关于和的方程组的解的情况是( )
(A)无论如何,总是无解 (B)无论如何,总有唯一解
(C)存在,使之恰有两解 (D)存在,使之有无穷多解
【答案】B
【解析】由已知条件,,,
∴有唯一解,故选B.
(18)【2014年上海,理18,5分】设 若是的最小值,则的取值范围为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】先分析的情况,是一个对称轴为的二次函数,当时,,不符合题意,排除AB选项;当时,根据图像,即符合题意,排除C选项,故选D.
三、解答题(本题共5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
(19)【2014年上海,理19,12分】底面边长为的正三棱锥,其表面展开图是三
角形,如图.求的各边长及此三棱锥的体积.
解:根据题意可得共线,∵,,
∴,∴,同理,∴是等
边三角形,是正四面体,所以边长为4;∴.
(20)【2014年上海,理20,14分】设常数,函数.
(1)若,求函数的反函数;
(2)根据的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由.
解:(1)∵,∴,∴,∴,
∴,. ……6分
(2)若为偶函数,则,∴,整理得,∴,此时为偶函,
若为奇函数,则,∴,整理得,∵,∴,此时
为奇函数,当时,此时既非奇函数也非偶函数. ……14分
(21)【2014年上海,理21,14分】如图,某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长米,长米. 设点在同一水平面上,从和看的仰角分别为和.
(1)设计中是铅垂方向. 若要求,问的长至多为多少(结
果精确到米)?
(2)施工完成后,与铅垂方向有偏差.现在实测得,,求的长(结果精确
到米).
解:(1)设的长为米,则,∵, ∴,∴,
∴,解得,∴的长至多为米. ……6分
(2)设,,则,
解得∴∴的长为米. ……14分
(22)【2014年上海,理22,16分】在平面直角坐标系中,对于直线和点,记. 若,则称点被直线分割. 若曲线与直线没有公共点,且曲线上存在点被直线分割,则称直线为曲线的一条分割线.
(1)求证:点被直线分割;
(2)若直线是曲线的分割线,求实数的取值范围;
(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为,设点的轨迹为曲线.求证:通过原点的直
线中,有且仅有一条直线是的分割线.
解:(1)将分别代入,得,
∴点被直线分割. ……3分
(2)联立,得,依题意,方程无解∴,∴或.……8分
(3)设,则,∴曲线的方程为 ① 当斜率不存在时,直线
,显然与方程①联立无解,又为上两点,且代入,有,
∴是一条分割线;当斜率存在时,设直线为,代入方程得:,
令,则,
,,
当时,,∴,即在之间存在实根,∴与曲线有公共点
当时,,即在之间存在实根,∴与曲线有公共点,
∴直线与曲线始终有公共点,∴不是分割线,
综上,所有通过原点的直线中,有且仅有一条直线是的分割线. ……16分
(23)【2014年上海,理23,18分】已知数列满足,,.
(1)若,求的取值范围;
(2)设是公比为的等比数列,. 若,,求的取值范围;
(3)若成等差数列,且,求正整数的最大值,以及取最大值时相应
数列的公差.
解:(1)依题意,,∴,又,∴,综上可得.……3分
(2)由已知得,又,∴,
当时,,,即,成立;
当时,,,即, ∴,
此不等式即,∵,∴,
对于不等式,令,得,解得,又当时,,
∴成立,∴,当时,
,,即,即,,
∵,
∴时,不等式恒成立,综上,的取值范围为. ……10分
(3)设公差为,显然,当时,是一组符合题意的解,
∴,则由已知得,∴,
当时,不等式即,∴,,
∴时,,解得,∴,
∴的最大值为,此时公差. ……18分