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- 2021-05-13 发布
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2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型
（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A={x|x<1}，B={x|3 1x }，则
A． { | 0}A B x x B． A B R
C． { | 1}A B x x D． A B
2．如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心
成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A． 1
4
B． π
8
C． 1
2 D． π
4
3．设有下面四个命题
1p ：若复数 z 满足 1
z
R ，则 z R ；
2p ：若复数 z 满足 2z R ，则 z R ；
3p ：若复数 1 2,z z 满足 1 2z z R ，则 1 2z z ；
4p ：若复数 z R ，则 z R .
其中的真命题为
A． 1 3,p p B． 1 4,p p C． 2 3,p p D． 2 4,p p
4．记 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和．若 4 5 24a a ， 6 48S ，则{ }na 的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8
5．函数 ( )f x 在 ( , ) 单调递减，且为奇函数．若 ( 11)f ，则满足 21 ( ) 1xf 的 x 的取值范围是
A．[ 2,2] B．[ 1,1] C．[0,4] D．[1,3]
6． 6
2
1(1 )(1 )xx
展开式中 2x 的系数为
A．15 B．20 C．30 D．35
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视
图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A．10 B．12 C．14 D．16
8．右面程序框图是为了求出满足 3n−2n>1000 的最小偶数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入
A．A>1 000 和 n=n+1
B．A>1 000 和 n=n+2
C．A 1 000 和 n=n+1
D．A 1 000 和 n=n+2
9．已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2π
3 )，则下面结论正确的是
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π
6
个单位长度，得到曲线 C2
B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π
12
个单位长度，得到曲线 C2
C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π
6
个单位长度，得到曲线 C2
D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π
12
个单位长度，得到曲线 C2
10．已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C
交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
11．设 xyz 为正数，且 2 3 5x y z ，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获
取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，
1，2，4，8，16，…，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推.求
满足如下条件的学科网&最小整数 N：N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是
A．440 B．330 C．220 D．110
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .
14．设 x，y 满足约束条件
2 1
2 1
0
x y
x y
x y
，则 3 2z x y 的最小值为 .
15．已知双曲线 C：
2 2
2 2 1x y
a b
（a>0，b>0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一
条渐近线交于 M、N 两点。若∠MAN=60°，则 C 的离心率为________。
16．如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。D、E、F 为圆 O 上的点，
△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折
痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单
位：cm3）的最大值为_______。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为
2
3sin
a
A
（1）求 sinBsinC;
（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长.
18.（12 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 90BAP CDP .
（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD；
（2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD ，求二面角 A-PB-C 的余弦值.
19．（12 分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单
位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2( , )N ．
（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件数，求
( 1)P X 及 X 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产
过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得
16
1
1 9.9716 i
i
x x
，
16 16
2 2 2 2
1 1
1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i
i i
s x x x x
，其中 ix 为抽取的第i 个
零件的尺寸， 1,2, ,16i ．
用样本平均数 x 作为 的估计值 ˆ ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ˆ ，利用估计值判断是否需对当天的生
产过程进行检查？剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 ) 之外的学科网数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01）．
附：若随机变量 Z 服从正态分布 2( , )N ，则 ( 3 3 ) 0.997 4P Z ，
160.997 4 0.959 2 ， 0.008 0.09 ．
20.（12 分）
已知椭圆 C：
2 2
2 2 =1x y
a b
（a>b>0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， 3
2
），P4（1， 3
2
）中恰有三点在椭
圆 C 上.
（1）求 C 的方程；
（2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.
21.（12 分）
已知函数 )f x （ ae2x+(a﹣2) ex﹣x.
（1）讨论 ( )f x 的单调性；
（2）若 ( )f x 有两个零点，求 a 的取值范围.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3cos ,
sin ,
x
y
（θ为参数），直线 l 的参数方程为
4 ,
1 ,
x a t ty t
（ 为参数）.
（1）若 a=−1，求 C 与 l 的交点坐标；
（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a.
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.
（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范围.
2017 年新课标 1 理数答案
1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A 11.D 12.A
13. 2 3 14. 5 15. 2 3
3 16. 4 15
17.解：（1）由题设得
21 sin2 3sin
aac B A
，即 1 sin2 3sin
ac B A
.
由正弦定理得 1 sinsin sin2 3sin
AC B A
.
故 2sin sin 3B C .
（2）由题设及（1）得 1cos cos sin sin ,2B C B C ，即 1cos( ) 2B C .
所以 2π
3B C ，故 π
3A .
由题设得
21 sin2 3sin
abc A A
，即 8bc .
由余弦定理得 2 2 9b c bc ，即 2( ) 3 9b c bc ，得 33b c .
故 ABC△ 的周长为3 33 .
18.解：（1）由已知 90BAP CDP ，得 AB⊥AP，CD⊥PD.
由于 AB∥CD，故 AB⊥PD，从而 AB⊥平面 PAD.
又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAD.
（2）在平面 PAD 内做 PF AD ，垂足为 F ，
由（1）可知， AB 平面 PAD ，故 AB PF ，可得 PF 平面 ABCD .
以 F 为坐标原点， FA
的方向为 x 轴正方向，| |AB
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 F xyz .
由（1）及已知可得 2( ,0,0)2A ， 2(0,0, )2P ， 2( ,1,0)2B ， 2( ,1,0)2C .
所以 2 2( ,1, )2 2PC ， ( 2,0,0)CB ， 2 2( ,0, )2 2PA ， (0,1,0)AB
.
设 ( , , )x y zn 是平面 PCB 的法向量，则
0
0
PC
CB
n
n
，即
2 2 02 2
2 0
x y z
x
，
可取 (0, 1, 2) n .
设 ( , , )x y zm 是平面 PAB 的法向量，则
0
0
PA
AB
m
m
，即
2 2 02 2
0
x z
y
，
可取 (1,0,1)n .
则 3cos , | || | 3
< > n mn m n m
，
所以二面角 A PB C 的余弦值为 3
3
.
19.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在 ( 3 , 3 ) 之内的概率为 0.9974，从而零件的尺寸在 ( 3 , 3 )
之外的概率为 0.0026，故 ~ (16,0.0026)X B .因此
( 1) 1 ( 0) 1 0.9974 0.0408P X P X .
X 的数学期望为 16 0.0026 0.0416EX .
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的概率只有 0.0026，一天内抽取的 16 个零件
中，出现尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件的概率只有 0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理
由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监
控生产过程的方法是合理的.
（ii）由 9.97, 0.212x s ，得 的估计值为 ˆ 9.97 ， 的估计值为 ˆ 0.212 ，由样本数据可以看出有一个
零件的尺寸在 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 ) 之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 ) 之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为 1 (16 9.97 9.22) 10.0215
，因此 的估计值为
10.02.
16
2 2 2
1
16 0.212 16 9.97 1591.134i
i
x
，剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 ) 之外的数据 9.22，剩下数据的样本方差为
2 21 (1591.134 9.22 15 10.02 ) 0.00815
，
因此 的估计值为 0.008 0.09 .
20.（12 分）解：
（1）由于 3P ， 4P 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 3P ， 4P 两点.
又由 2 2 2 2
1 1 1 3
4a b a b
知，C 不经过点 P1，所以点 P2 在 C 上.
因此
2
2 2
1 1
1 3 14
b
a b
，解得
2
2
4
1
a
b
.
故 C 的方程为
2
2 14
x y .
（2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2，
如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x=t，由题设知 0t ，且| | 2t ，可得 A，B 的坐标分别为（t，
24
2
t ），（t，
24
2
t ）.
则
2 2
1 2
4 2 4 2 12 2
t tk k t t
，得 2t ，不符合题设.
从而可设 l： y kx m （ 1m ）.将 y kx m 代入
2
2 14
x y 得
2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kmx m
由题设可知 2 2=16(4 1) 0k m .
设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2= 2
8
4 1
km
k
，x1x2=
2
2
4 4
4 1
m
k
.
而 1 2
1 2
1 2
1 1y yk k x x
1 2
1 2
1 1kx m kx m
x x
1 2 1 2
1 2
2 ( 1)( )kx x m x x
x x
.
由题设 1 2 1k k ，故 1 2 1 2(2 1) ( 1)( ) 0k x x m x x .
即
2
2 2
4 4 8(2 1) ( 1) 04 1 4 1
m kmk mk k
.
解得 1
2
mk .
当且仅当 1m 时， 0 ，欲使 l： 1
2
my x m ，即 11 ( 2)2
my x ，
所以 l 过定点（2， 1 ）
21.解：（1） ( )f x 的定义域为 ( , ) ， 2( ) 2 ( 2) 1 ( 1)(2 1)x x x xf x ae a e ae e ，
（ⅰ）若 0a ，则 ( ) 0f x ，所以 ( )f x 在 ( , ) 单调递减.
（ⅱ）若 0a ，则由 ( ) 0f x 得 lnx a .
当 ( , ln )x a 时， ( ) 0f x ；当 ( ln , )x a 时， ( ) 0f x ，所以 ( )f x 在 ( , ln )a 单调递减，在
( ln , )a 单调递增.
（2）（ⅰ）若 0a ，由（1）知， ( )f x 至多有一个零点.
（ⅱ）若 0a ，由（1）知，当 lnx a 时， ( )f x 取得最小值，最小值为 1( ln ) 1 lnf a aa
.
①当 1a 时，由于 ( ln ) 0f a ，故 ( )f x 只有一个零点；
②当 (1, )a 时，由于 11 ln 0aa
，即 ( ln ) 0f a ，故 ( )f x 没有零点；
③当 (0,1)a 时， 11 ln 0aa
，即 ( ln ) 0f a .
又 4 2 2( 2) e ( 2)e 2 2e 2 0f a a ，故 ( )f x 在 ( , ln )a 有一个零点.
设正整数 0n 满足 0
3ln( 1)n a
，则 0 0 0 0
0 0 0 0( ) e ( e 2) e 2 0n n n nf n a a n n n .
由于 3ln( 1) ln aa
，因此 ( )f x 在 ( ln , )a 有一个零点.
综上， a 的取值范围为 (0,1) .
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
解：（1）曲线C 的普通方程为
2
2 19
x y .
当 1a 时，直线l 的普通方程为 4 3 0x y .
由 2
2
4 3 0
19
x y
x y
解得 3
0
x
y
或
21
25
24
25
x
y
.
从而C 与l 的交点坐标为 (3,0) ， 21 24( , )25 25
.
（2）直线l 的普通方程为 4 4 0x y a ，故C 上的点 (3cos ,sin ) 到l 的距离为
| 3cos 4sin 4 |
17
ad .
当 4a 时， d 的最大值为 9
17
a .由题设得 9 17
17
a ，所以 8a ；
当 4a 时， d 的最大值为 1
17
a .由题设得 1 17
17
a ，所以 16a .
综上， 8a 或 16a .、
23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
解：（1）当 1a 时，不等式 ( ) ( )f x g x 等价于 2 | 1| | 1| 4 0x x x x .①
当 1x 时，①式化为 2 3 4 0x x ，无解；
当 1 1x 时，①式化为 2 2 0x x ，从而 1 1x ；
当 1x 时，①式化为 2 4 0x x ，从而 1 171 2x .
所以 ( ) ( )f x g x 的解集为 1 17{ | 1 }2x x .
（2）当 [ 1,1]x 时， ( ) 2g x .
所以 ( ) ( )f x g x 的解集包含[ 1,1] ，等价于当 [ 1,1]x 时 ( ) 2f x .
又 ( )f x 在[ 1,1] 的最小值必为 ( 1)f 与 (1)f 之一，所以 ( 1) 2f 且 (1) 2f ，得 1 1a .
所以 a 的取值范围为[ 1,1] .
绝密 ★ 启用前
试题类型：A
2016 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试题卷共 5 页，24 题(含选考题)。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指
定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域内均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上
的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题
区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合 }034{ 2 xxxA ， }032{ xxB ，则 BA
（A） )2
3,3( （B） )2
3,3( （C） )2
3,1( （D） )3,2
3(
（2）设 yixi 1)1( ，其中 yx, 是实数，则 yix
（A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 2
（3）已知等差数列 }{ na 前9 项的和为 27 ， 810 a ，则 100a
（A）100 （B）99 （C）98 （D）97
（4）某公司的班车在 30:7 ， 00:8 ， 30:8 发车，小明在 50:7 至 30:8 之间到达发车站乘
坐班车，且到达发车站的时候是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是
（A）
3
1 （B）
2
1 （C）
3
2 （D）
4
3
（5）已知方程 1
3 2
2
2
2
nm
y
nm
x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4 ，则 n 的
取值范围是
（A） )3,1( （B） )3,1( （C） )3,0( （D） )3,0(
（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中
两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是
3
28 ，则它的
表面积是
（A） 17 （B） 18 （C） 20 （D） 28
（7）函数 xexy 22 在 ]2,2[ 的图像大致为
（A） （B）
（C） （D）
（8）若 1 ba ， 10 c ，则
（A） cc ba （B） cc baab （C） cbca ab loglog （D） cc ba loglog
（9）执行右面的程序框图，如果输入的 0x ， 1y ， 1n ，则输出 yx, 的值满足
（A） xy 2 （B） xy 3 （C） xy 4 （D） xy 5
（10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于 BA, 两点，交C 的准线于 ED, 两点，已知 24AB , 52DE ，
则C 的焦点到准线的距离为
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
（11）平面 过正方体 1111 DCBAABCD 的顶点 A ， // 平面 11DCB ， 平面 ABCD
m ， 平面 nAABB 11 ，则 nm, 所成角的正弦值为
（A）
2
3 （B）
2
2 （C）
3
3 （D）
3
1
（12）已知函数 )2,0)(sin()( xxf ，
4
x 为 )(xf 的零点，
4
x 为
)(xfy 图像的对称轴，且 )(xf 在 )36
5,18( 单调，则 的最大值为
（A）11 （B）9 （C）7 （D）5
第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题
为选考题，考生根据要求作答。
1
y
x2 2O
1
y
x2 2O
1
y
x2 2O
1
y
x2 2O
二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分。
（13）设向量 a )1,(m ，b )2,1( ，且|a b ||2 a ||2 b 2| ，则 m ．
（14） 5)2( xx 的展开式中， 3x 的系数是 ．（用数字填写答案）
（15）设等比数列 }{ na 满足 1031 aa ， 542 aa ，则 naaa 21 的最大值为 ．
（16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，
用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时．生产一件产品 A 的利润为 2100 元，
生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产
产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分 12 分）
ABC 的内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ，已知 cAbBaC )coscos(cos2 ．
（Ⅰ）求C ；
（Ⅱ）若 7c ， ABC 的面积为
2
33 ，求 ABC 的周长．
（18）（本小题满分 12 分）
如图，在以 FEDCBA ,,,,, 为顶点的五面体中，面
ABEF 为正方形， 90,2 AFDFDAF ，且二面
角 EAFD 与二面角 FBEC 都是 60 ．
（Ⅰ）证明：平面 ABEF 平面 EFDC ；
（Ⅱ）求二面角 ABCE 的余弦值.
（19）（本小题满分 12 分）
某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购
买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机器
时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三
年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数．
0 8 9 10 11
20
40
频数
更换的易损零件数
A
B
C
D E
F
（Ⅰ）求 X 的分布列；
（Ⅱ）若要求 5.0)( nXP ，确定 n 的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 19n 与 20n 之中选其一，应选用哪个？
（20）（本小题满分 12 分）
设圆 015222 xyx 的圆心为 A ，直线l 过点 )0,1(B 且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 DC, 两点，过 B 作
AC 的平行线交 AD 于点 E ．
（Ⅰ）证明 EBEA 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；
（Ⅱ）设点 E 的轨迹为曲线 1C ，直线l 交 1C 于 NM , 两点，过 B 且与l 垂直的直线与圆 A 交于 QP, 两点，求
四边形 MPNQ 面积的取值范围．
（21）（本小题满分 12 分）
已知函数 2)1()2()( xaexxf x 有两个零点．
（Ⅰ）求 a 的取值范围；
（Ⅱ）设 21, xx 是 )(xf 的两个零点，证明： 221 xx ．
请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
（22）（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲
如图， OAB 是等腰三角形， 120AOB ．以 O 为圆心，
OA2
1 为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线 AB 与⊙O 相切；
（Ⅱ）点 DC, 在⊙O 上，且 DCBA ,,, 四点共圆，
证明： CDAB // ．
（23）（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为
,sin1
,cos
tay
tax t( 为参数， )0a ．在以坐标原点为极点，x 轴
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 cos4:2 C ．
（Ⅰ）说明 1C 是哪一种曲线，并将 1C 的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线 3C 的极坐标方程为 0 ，其中 0 满足 2tan 0 ，若曲线 1C 与 2C 的公共点都在 3C 上，求 a ．
（24）（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
A B
O
CD
已知函数 321)( xxxf ．
（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出 )(xfy 的图像；
（Ⅱ）求不等式 1)( xf 的解集．
2016 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）D（2）B（3）C（4）B（5）A（6）A
（7）D（8）C（9）C（10）B（11）A（12）B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分
(13) 2 (14)10
（15）64 （16） 216000
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分为 12 分）
解：（I）由已知及正弦定理得， 2cosC sin cos sin cos sin C ，
即 2cosCsin sin C ．
故 2sin CcosC sin C ．
可得 1cosC 2
，所以 C 3
．
（II）由已知， 1 3 3sin C2 2ab ．
又 C 3
，所以 6ab ．
由已知及余弦定理得， 2 2 2 cosC 7a b ab ．
故 2 2 13a b ，从而 2 25a b ．
x
y
O
1
1
所以 C 的周长为5 7 ．
（18）（本小题满分为 12 分）
解：（I）由已知可得 F DF ， F F ，所以 F 平面 FDC ．
又 F 平面 F ，故平面 F 平面 FDC ．
（II）过 D 作 DG F ，垂足为 G ，由（I）知 DG 平面 F ．
以 G 为坐标原点， GF
的方向为 x 轴正方向， GF
为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 G xyz ．
由（I）知 DF 为二面角 D F 的平面角，故 DF 60 ，则 DF 2 ， DG 3 ，可得 1,4,0 ，
3,4,0 ， 3,0,0 ， D 0,0, 3 ．
由已知， // F ，所以 // 平面 FDC ．
又平面 CD 平面 FDC DC ，故 //CD ， CD// F ．
由 // F ，可得 平面 FDC ，所以 C F 为二面角 C F 的平面角，
C F 60 ．从而可得 C 2,0, 3 ．
所以 C 1,0, 3 ， 0,4,0 ， C 3, 4, 3 ， 4,0,0 ．
设 , ,n x y z 是平面 C 的法向量，则
C 0
0
n
n
，即 3 0
4 0
x z
y
，
所以可取 3,0, 3n ．
设 m 是平面 CD 的法向量，则 C 0
0
m
m
，
同理可取 0, 3,4m ．则 2 19cos , 19
n mn m n m
．
故二面角 C 的余弦值为 2 19
19
．学科&网
（19）（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8，9，10，11 的概率分别为
0.2，0.4，0.2，0.2，从而
04.02.02.0)16( XP ；
16.04.02.02)17( XP ；
24.04.04.02.02.02)18( XP ；
24.02.04.022.02.02)19( XP ；
2.02.02.04.02.02)20( XP ；
08.02.02.02)21( XP ；
04.02.02.0)22( XP .
所以 X 的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P 04.0 16.0 24.0 24.0 2.0 08.0 04.0
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 44.0)18( XP ， 68.0)19( XP ，故 n 的最小值为 19.
（Ⅲ）记Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当 19n 时， 08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019 EY
404004.0)500320019( .学科&网
当 20n 时，
04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020 EY 4080 .
可知当 19n 时所需费用的期望值小于 20n 时所需费用的期望值，故应选 19n .
20.（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）因为 |||| ACAD ， ACEB // ，故 ADCACDEBD ，
所以 |||| EDEB ，故 |||||||||| ADEDEAEBEA .
又圆 A 的标准方程为 16)1( 22 yx ，从而 4|| AD ，所以 4|||| EBEA .
由题设得 )0,1(A ， )0,1(B ， 2|| AB ，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为：
134
22
yx （ 0y ）.
（Ⅱ）当l 与 x 轴不垂直时，设l 的方程为 )0)(1( kxky ， ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN .
由
134
)1(
22 yx
xky
得 01248)34( 2222 kxkxk .
则
34
8
2
2
21
k
kxx ，
34
124
2
2
21
k
kxx .
所以
34
)1(12||1|| 2
2
21
2
k
kxxkMN .
过点 )0,1(B 且与l 垂直的直线 m ： )1(1 xky ， A 到 m 的距离为
1
2
2 k
，所以
1
344)
1
2(42|| 2
2
2
2
2
k
k
k
PQ .故四边形 MPNQ 的面积
34
1112||||2
1
2
kPQMNS .学科&网
可得当l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为 )38,12[ .
当l 与 x 轴垂直时，其方程为 1x ， 3|| MN ， 8|| PQ ，四边形 MPNQ 的面积为 12.
综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为 )38,12[ .
（21）（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ） '( ) ( 1) 2 ( 1) ( 1)( 2 )x xf x x e a x x e a ．
（i）设 0a ，则 ( ) ( 2) xf x x e ， ( )f x 只有一个零点．
（ii）设 0a ，则当 ( ,1)x 时， '( ) 0f x ；当 (1, )x 时， '( ) 0f x ．所以 ( )f x 在 ( ,1) 上单调递减，
在 (1, ) 上单调递增．
又 (1)f e ， (2)f a ，取b 满足 0b 且 ln 2
ab ，则
2 2 3( ) ( 2) ( 1) ( ) 02 2
af b b a b a b b ，
故 ( )f x 存在两个零点．
（iii）设 0a ，由 '( ) 0f x 得 1x 或 ln( 2 )x a ．
若
2
ea ，则 ln( 2 ) 1a ，故当 (1, )x 时， '( ) 0f x ，因此 ( )f x 在 (1, ) 上单调递增．又当 1x 时，
( ) 0f x ，所以 ( )f x 不存在两个零点．学科&网
若
2
ea ，则 ln( 2 ) 1a ，故当 (1,ln( 2 ))x a 时， '( ) 0f x ；当 (ln( 2 ), )x a 时， '( ) 0f x ．因此 ( )f x
在 (1,ln( 2 ))a 单调递减，在 (ln( 2 ), )a 单调递增．又当 1x 时， ( ) 0f x ，所以 ( )f x 不存在两个零点．
综上， a 的取值范围为 (0, ) ．
（Ⅱ）不妨设 1 2x x ，由（Ⅰ）知 1 2( ,1), (1, )x x ， 22 ( ,1)x ， ( )f x 在 ( ,1) 上单调递减，所以
1 2 2x x 等价于 1 2( ) (2 )f x f x ，即 2(2 ) 0f x ．
由于 22 2
2 2 2(2 ) ( 1)xf x x e a x ，而 2 2
2 2 2( ) ( 2) ( 1) 0xf x x e a x ，所以
2 22
2 2 2(2 ) ( 2)x xf x x e x e ．
设 2( ) ( 2)x xg x xe x e ，则 2'( ) ( 1)( )x xg x x e e ．
所以当 1x 时， '( ) 0g x ，而 (1) 0g ，故当 1x 时， ( ) 0g x ．
从而 2 2( ) (2 ) 0g x f x ，故 1 2 2x x ．
请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
解：（Ⅰ）设 E 是 AB 的中点，连结OE ，
因为 , 120OA OB AOB ，所以OE AB ， 60AOE ．
在 Rt AOE 中， 1
2OE AO ，即O 到直线 AB 的距离等于圆O 的半径，所以直线 AB 与⊙O 相切．
（Ⅱ）因为 2OA OD ，所以O 不是 , , ,A B C D 四点所在圆的圆心，设 'O 是 , , ,A B C D 四点所在圆的圆心，
作直线 'OO ．
由已知得O 在线段 AB 的垂直平分线上，又 'O 在线段 AB 的垂直平分线上，所以 'OO AB ．
同理可证， 'OO CD ．所以 //AB CD ．
（23）（本小题满分 10 分）
解：⑴ cos
1 sin
x a t
y a t
（ t 均为参数）
∴ 22 21x y a ①
∴ 1C 为以 0 1， 为圆心， a 为半径的圆．方程为 2 2 22 1 0x y y a
∵ 2 2 2 sinx y y ，
∴ 2 22 sin 1 0a 即为 1C 的极坐标方程
⑵ 2 4cosC ： 学科&网
两边同乘 得 2 2 2 24 cos cosx y x ，
2 2 4x y x
即 2 22 4x y ②
3C ：化为普通方程为 2y x
由题意： 1C 和 2C 的公共方程所在直线即为 3C
①—②得： 24 2 1 0x y a ，即为 3C
∴ 21 0a
∴ 1a
（24）（本小题满分 10 分）
解：⑴ 如图所示：
⑵
4 1
33 2 1 2
34 2
x x
f x x x
x x
， ≤
，
， ≥
1f x
当 1x ≤ ， 4 1x ，解得 5x 或 3x
1x ∴ ≤
当 31 2x ， 3 2 1x ，解得 1x 或 1
3x
11 3x ∴ 或 31 2x
当 3
2x≥ ， 4 1x ，解得 5x 或 3x
3 32 x ∴ ≤ 或 5x
综上， 1
3x 或1 3x 或 5x
1f x ∴ ，解集为 1 1 3 53
， ， ，
绝密★启用前 试卷类型：A
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．）
1、若集合 4 1 0x x x ， 4 1 0x x x ，则 （ ）
A． 1,4 B． 1, 4 C． 0 D．
2、若复数 3 2z i i （i 是虚数单位），则 z （ ）
A． 2 3i B． 2 3i C．3 2i D．3 2i
3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A． 21y x B． 1y x x
C． 12 2
x
xy D． xy x e
4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取 2 个球，所取
的 2 个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）
A． 5
21 B．10
21 C． 11
21 D．1
5、平行于直线 2 1 0x y 且与圆 2 2 5x y 相切的直线的方程是（ ）
A． 2 5 0x y 或 2 5 0x y B． 2 5 0x y 或 2 5 0x y
C． 2 5 0x y 或 2 5 0x y D． 2 5 0x y 或 2 5 0x y
6、若变量 x ， y 满足约束条件
4 5 8
1 3
0 2
x y
x
y
，则 3 2z x y 的最小值为（ ）
A． 4 B． 23
5 C．6 D． 31
5
7、已知双曲线C:
2 2
2 2 1x y
a b
的离心率 5
4e ，且其右焦点为 2F 5,0 ，则双曲线C 的方程为（ ）
A．
2 2
14 3
x y B．
2 2
19 16
x y C．
2 2
116 9
x y D．
2 2
13 4
x y
8、若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值（ ）
A．至多等于3 B．至多等于 4 C．等于5 D．大于5
二、填空题（本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．）
（一）必做题（11~13 题）
9、在 4
1x 的展开式中， x 的系数为 ．
10、在等差数列 na 中，若 3 4 5 6 7 25a a a a a ，则 2 8a a ．
11、设 C 的内角 ， ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 3a ， 1sin 2
，C 6
，则b ．
12、某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条
毕业留言．（用数字作答）
13、已知随机变量 服从二项分布 ,n p ，若 30 ， D 20 ，则 p ．
（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选作一题）
14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线 l 的极坐标方程为 2 sin 24
，点 的极坐标为
72 2, 4
，则点 到直线l 的距离为 ．
15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知 是圆的直径，
4 ， C 是圆的切线，切点为C ， C 1 ．过圆心作 C 的
平 行 线 ， 分 别 交 C 和 C 于 点 D 和 点 ， 则 D
．
三、解答题
16.（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xoy 中，已知向量 2 2( , ), (sin ,cos ), (0, )2 2 2m n x x x
(1) 若 m n
，求tan x 的值；
(2) 若 m
与 n
的夹角为
3
，求 x 的值.
17. （本小题满分 12 分）
某工厂 36 名工人年龄数据如下表
（1） 用分成抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列
出样本的年龄数据；
（2） 计算（1）中样本的均值 x 和方差 2s ；
（3） 36 名工人中年龄在 x s 和 x s 之间有多少人？所占百分比是多少（精确到 0.01％）？
18.（本小题满分 14 分）
如图 2，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直， 4, 6, 3PD PC AB BC ，点 E 是
CD 的中点，点 、F G 分别在线段 、AB BC 上，且 2 , 2AF FB CG GB .
(1) 证明： PE FG ；
(2) 求二面角 P AD C 的正切值；
(3) 求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.
19. （本小题满分 14 分）
设 1a ，函数 2( ) (1 ) xf x x e a
(1) 求 ( )f x 的单调区间；
(2) 证明 ( )f x 在( , ) 上仅有一个零点；
(3) 若曲线 ( )y f x 在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点 M（m,n）处的切线与直线 OP 平行，（O 是坐标原点），
证明： 3 2 1m a e .
20. （本小题满分 14 分）
已知过原点的动直线l 与圆 2 2
1 : 6 5 0C x y x 相交于不同的两点 A、B.
(1) 求圆 1C 的圆心坐标；
(2) 求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；
(3) 是否存在实数 k,使得直线 : ( 4)l y k x 与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，
说明理由.
21. （本小题满分 14 分）
数列{a }n 满足： *
1 2 1
22 ...... 3 ,
2n n
na a na n N
.
(1) 求 3a 的值；
(2) 求数列{a }n 的前 n 项和 nT ；
(3) 令 1
1 1
1 1 1, (1 ...... ) ( 2),2 3
n
n n
Tb a b a nn n
证 明 ： 数 列 { }nb 的 前 n 项 和 Sn 满 足
2 2 lnnS n
2015 广东高考数学（理）试题
（答案及评分标准仅供参考）
1、A 2、D 3、A 4、C 5、D 6、C 7、B 8、C
9、6 10、10 11、1 12、1560 13、 1
3
14、 5 22 15、8
16、
2005 年高考数学（广东卷）试题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上 用 2B 铅笔将答题卡试
卷类型（A）填涂在答题卡上 在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，并用 2B 铅笔将
相应的试室号、座位号信息点涂黑
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案，答案不能答在试卷上
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改
动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
参考公式：
如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件 A、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)
第Ⅰ卷（选择题，共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合 }03|{},2|||{ 2 xxxNxxM ，则 M∩N= （ ）
A．{3} B．{0} C．{0，2} D．{0，3}
2．若 ibiia )2( ，其中 a、b∈R，i 是虚数单位，则 22 ba = （ ）
A．0 B．2 C．
2
5 D．5
3．
9
3lim 23
x
x
x
= （ ）
A．
6
1 B．0 C．
6
1 D．
3
1
4．已知高为 3 的直棱柱 ABC—A′B′C′的底面是边长为 1 的正三
角形（如图 1 所示），则三棱锥 B′—ABC 的体积为（ ）
A．
4
1 B．
2
1
C．
6
3 D．
4
3
5．若焦点在 x 轴上的椭圆 12
22
m
yx 的离心率为
2
1 ，则 m=（ ）
A． 3 B．
2
3 C．
3
8 D．
3
2
6．函数 13)( 23 xxxf 是减函数的区间为 （ ）
A． ),2( B． )2,( C． )0,( D．（0，2）
7．给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面α、β的四个命题：
①若 不共面与则点 mlmAAlm ,,, ；
②若 m、l 是异面直线， nmnlnml 则且 ,,,//,// ；
B'
A'
A
C
B
C'
如图 1
③若 mlml //,//,//,// 则 ；
④若 .//,//,//,,, 则点 mlAmlml
其中为假命题的是 （ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为
X、Y，则 1log 2 YX 的概率为（ ）
A．
6
1 B．
36
5 C．
12
1 D．
2
1
9．在同一平面直角坐标系中，函数 )(xfy 和 )(xgy 的图象关于直线 xy 对称. 现将 )(xgy 的图象沿 x 轴
向左平移 2 个单位，再沿 y 轴向上平移 1 个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图 2 所示），则函数 )(xf
的表达式为（ ）
A．
20,22
01,22
)(
xx
xx
xf
B．
20,22
01,22
)(
xx
xx
xf
C．
42,12
21,22
)(
xx
xx
xf
D．
42,32
21,62
)(
xx
xx
xf
10．已知数列
121
1
2 ,2lim.,4,3),(2
1,2}{ xxnxxxxxx nnnnnn 则若满足 （ ）
A．
2
3 B．3 C．4 D．5
第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
11．函数
xe
xf
1
1)( 的定义域是 .
12．已知向量 ,//),6,(),3,2( baxba 且 则 x= .
13．已知 5)1cos( x 的展开式中 2x 的系数与 4)4
5( x 的展开式中 x3 的系数相等，则 cos =
.
14．设平面内有 n 条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用 )(nf 表示这 n
条直线交点的个数，则 )4(f = ；当 n>4 时，
)(nf = .（用 n 表示）
如图 2
3
2
1
1
-1
-2
x
O
y
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分 12 分）
化简 ),,)(23sin(32)23
16cos()23
16cos()( ZkRxxxkxkxf 并求函数 )(xf 的值域和
最小正周期.
16．（本小题满分 14 分）
如图 3 所示，在四面体 P—ABC 中，已知 PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB= 342 .F 是线段 PB 上一点，
3417
15CF ，点 E 在线段 AB 上，且 EF⊥PB.
（Ⅰ）证明：PB⊥平面 CEF；
（Ⅱ）求二面角 B—CE—F 的大小.
17．（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2 上异于坐标原点 O 的两不同动点 A、B 满足 AO⊥BO（如图 4 所示）.
（Ⅰ）求△AOB 的重心 G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方 程；
（Ⅱ）△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，
请说明理由.
18．（本小题满分 12 分）
箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为 s:t.现从箱中每次任意取出一个球，
若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不
超过 n 次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数.
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）求ξ的数学期望.
19．（本小题满分 14 分）
设 函 数 )7()7(),2()2(),()( xfxfxfxfxf 上满足在 ， 且 在 闭 区 间 [0 ， 7] 上 ， 只 有
.0)3()1( ff
（Ⅰ）试判断函数 )(xfy 的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程 0)( xf 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.
20．（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为 1，AB、AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐
标原点重合（如图 5 所示）.将矩形折叠，使 A 点落在线段 DC 上.
（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为 k，试写出折痕所在直线的方程；
（Ⅱ）求折痕的长的最大值.
如图 3
P
A
C
B
F
E
如图 4
B
A
x
O
y
(A)
C
D
B
x
O
y
2005 年高考数学（广东卷）试题及答案
参考答案
一、选择题
1B 2D 3A 4D 5B 6D 7C 8C 9A 10B
二、填空题
11.{x|x<0} 12.4 13.
2
2 14. 5, )1)(2(2
1 nn
三、解答题
15．解： ( ) cos(2 2 ) cos(2 2 ) 2 3sin( 2 )3 3 3f x k x k x x
2cos( 2 ) 2 3sin( 2 ) 4cos23 3x x x
函数 f(x)的值域为 4 ;
函数 f(x)的周期
2T ；
16．（I）证明：∵ 222 1006436 PCACPA
∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形，同理可证
△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形
故 PA⊥平面 ABC
又∵ 306102
1||||2
1 BCACS PBC
P
A
C
B
F
E
F
1
而 PBCSCFPB 3017
34153422
1||||2
1
故 CF⊥PB,又已知 EF⊥PB
∴PB⊥平面 CEF
（II）由（I）知 PB⊥CE, PA⊥平面 ABC
∴AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影，故 AB⊥CE
在平面 PAB 内，过 F 作 FF1 垂直 AB 交 AB 于 F1，则 FF1⊥平面 ABC，
EF1 是 EF 在平面 ABC 上的射影，∴EF⊥EC
故∠FEB 是二面角 B—CE—F 的平面角
3
5
6
10cottan
AP
ABPBAFEB
二面角 B—CE—F 的大小为
3
5arctan
17．解：（I）设△AOB 的重心为 G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则
3
3
21
21
yyy
xxx
…（1）
∵OA⊥OB ∴ 1 OBOA kk ,即 12121 yyxx ，……(2)
又点 A，B 在抛物线上，有 2
22
2
11 , xyxy ，代入（2）化简得 121 xx
∴
3
233
2)3(3
1]2)[(3
1)(3
1
3
22
21
2
21
2
2
2
1
21 xxxxxxxxyyy
所以重心为 G 的轨迹方程为
3
23 2 xy
（II） 2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1 2
1))((2
1||||2
1 yyyxyxxxyxyxOBOAS AOB
由（I）得 6 6 6 6 6
1 2 1 2
1 1 1 12 2 2 2 ( 1) 2 2 12 2 2 2AOBS x x x x
当且仅当 6
2
6
1 xx 即 121 xx 时，等号成立
所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值 1；
18．解：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,n
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 … n-1 n
p ts
s
2)( ts
st
3
2
)( ts
st
… 1
1
)(
n
n
ts
st
n
n
ts
t
)(
(II) 的数学希望为
n
n
n
n
ts
tn
ts
stn
ts
st
ts
st
ts
sE
)()(
)1(...
)(
2
)(
10 1
1
3
2
2
…(1)
1
1
11
1
3
3
2
2
)()(
)1(
)(
)2(...
)(
2
)(
n
n
n
n
n
n
ts
nt
ts
stn
ts
stn
ts
st
ts
stEts
t …(2)
(1) －(2)得
n
n
n
n
n
n
ts
nt
ts
tn
tss
t
s
tE
)()(
)1(
)( 11
19.解: 由 )14()4()14()(
)4()(
)7()7(
)2()2( xfxfxfxf
xfxf
xfxf
xfxf
)10()( xfxf ,
又 (3) 0, (7) 0f f 而 ,
( 3) (7) 0f f
( 3) (3)f f ， ( 3) (3)f f
故函数 )(xfy 是非奇非偶函数;
(II)由 )14()4()14()(
)4()(
)7()7(
)2()2( xfxfxfxf
xfxf
xfxf
xfxf
)10()( xfxf
又 (3) (1) 0 (11) (13) ( 7) ( 9) 0f f f f f f
故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,
从而可知函数 )(xfy 在[0,2005]上有 402 个解,在[-2005.0]上有 400 个解,
所以函数 )(xfy 在[-2005,2005]上有 802 个解
20.解(I) （1）当 0k 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程
2
1y
（2）当 0k 时，将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1)
所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称，有 kakakkOG 11,1
故 G 点坐标为 )1,( kG
从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标（线段 OG 的中点）为 )2
1,2( kM
折痕所在的直线方程 )2(2
1 kxky ，即
22
2 kkkxy
由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：
k=0 时，
2
1y ； 0k 时
22
2 kkkxy
（II）(1)当 0k 时，折痕的长为 2;
(2) 当 0k 时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为 )0,2
1(),2
1,0(
22
k
kPkN
2
3
2
2
2
2
2
4
)1()2
1()2
1(
k
k
k
kkPNy
4
32222
/
16
8)1(42)1(3
k
kkkkky
令 0/ y 解得
2
2k ∴ 216
27
max PN
所以折痕的长度的最大值 2
2006 年高考数学广东卷（理科）
第一部分 选择题（共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、函数
23( ) lg(3 1)
1
xf x x
x
的定义域是
A. 1( , )3
B. 1( ,1)3
C. 1 1( , )3 3
D. 1( , )3
2、若复数 z 满足方程 2 2 0z ，则 3z
A. 2 2 B. 2 2 C. 2 2i D. 2 2i
3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. 3 ,y x x R B. sin ,y x x R C. ,y x x R D. x1( ) ,2y x R
4、如图 1 所示， D 是 ABC 的边 AB 上的中点，则向量 CD
A. 1
2BC BA B. 1
2BC BA
C. 1
2BC BA D. 1
2BC BA
5、给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是
A.4 B. 3 C. 2 D. 1
6、已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为
A
D
CB 图
1
A.5 B.4 C. 3 D. 2
7、函数 ( )y f x 的反函数 1( )y f x 的图像与 y 轴交于点 (0,2)P （如图 2 所示），
则方程 ( ) 0f x 在[1,4] 上的根是 x
A.4 B.3 C. 2 D.1
8、已知双曲线 2 23 9x y ，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的 距离与点 P 到右准线的
距离之比等于
A. 2 B. 2 2
3
C. 2 D. 4
9、在约束条件
0
0
2 4
x
y
y x s
y x
下，当 3 5x 时，目标函数 3 2z x y 的最大值的变
化范围是
A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]
10、对于任意的两个实数对 ( , )a b 和 ( , )c d ，规定： ( , ) ( , )a b c d ，
当且仅当 ,a c b d ；运算“ ”为：
( , ) ( , ) ( , )a b c d ac bd bc ad ；运算“ ”为：( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d ，设 ,p q R ，若(1,2) ( , ) (5,0)p q ，则
(1,2) ( , )p q
A. (4,0) B. (2,0) C. (0,2) D. (0, 4)
第二部分 非选择题（共 100 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.
11、 22
4 1lim( )4 2x x x
________.
12、棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.
13、在 112( )x x
的展开式中， 5x 的系数为________.
14、在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第
1 堆只有 1 层，就一个球；第 2,3,4,堆最底层 （第一层）分别按
图 4 所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的 小球自然垒放在下
一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 ( )f n 表示第 n 堆
的乒乓球总数，则 (3) _____f ； ( ) _____f n （答案用 n 表示）.
三解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
x
y
1
2
4
3
1( )y f x
O
图 2
图 4
…
x
y
x y s
2 4y x
图 3
O
15、(本题 14 分)已知函数 ( ) sin sin( ),2f x x x x R .
(I)求 ( )f x 的最小正周期；
(II)求 ( )f x 的的最大值和最小值；
(III)若 3( ) 4f ，求 sin 2 的值.
16、(本题 12 分)某运动员射击一次所得环数 X 的分布如下：
X 0 6 7 8 9 10
P 0 0.2 0.3 0.3 0.2
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 .
(I)求该运动员两次都命中 7 环的概率
(II)求 的分布列
(III) 求 的数学期望 E .
17、(本题 14 分)如图 5 所示，AF 、DE 分别世 O 、 1O 的直径，AD 与两圆所
在的平面均垂直， 8AD . BC 是 O 的直径， 6AB AC , //OE AD .
(I)求二面角 B AD F 的大小；
(II)求直线 BD 与 EF 所成的角.
18、(本题 14 分)设函数 3( ) 3 2f x x x 分别在 1 2x x、 处取得极小值、极大
值. xoy 平面上点 A B、 的坐标分别为 1 1( )x f x（ , ）、 2 2( )x f x（ , ），该平面上动点
P 满足 • 4PA PB ,点 Q 是点 P 关于直线 2( 4)y x 的对称点.求
(I)求点 A B、 的坐标；
(II)求动点 Q 的轨迹方程.
19、(本题 14 分)已知公比为 (0 1)q q 的无穷等比数列 na 各项的和为 9，无穷等比数列 2
na 各项的和为 81
5
.
(I)求数列 na 的首项 1a 和公比 q ；
(II)对给定的 ( 1,2,3, , )k k n ，设 ( )kT 是首项为 ka ，公差为 2 1ka 的等差数列，求 (2)T 的前 10 项之和；
图 5
A
B
C
F
D E
O
1O
(III)设 ib 为数列 ( )kT 的第i 项， 1 2n nS b b b ，求 nS ，并求正整数 ( 1)m m ，使得 lim n
mn
S
n
存在且不等于零.
（注：无穷等比数列各项的和即当 n 时该无穷等比数列前 n 项和的极限）
20、(本题 12 分) A 是定义在[2,4] 上且满足如下条件的函数 ( )x 组成的集合：①对任意的 [1,2]x ，都有 (2 ) (1,2)x ；
②存在常数 (0 1)L L ，使得对任意的 1 2, [1,2]x x ，都有 1 2 1 2| (2 ) (2 )| | |x x L x x .
(I)设 3(2 ) 1 , [2,4]x x x ，证明： ( )x A
(II)设 ( )x A ，如果存在 0 (1,2)x ，使得 0 0(2 )x x ，那么这样的 0x 是唯一的；
(III) 设 ( )x A ，任取 1 (1,2)x ，令 1 (2 )n nx x ， 1,2,n ，证明：给定正整数 k ，对任意的正整数 p ，成立不
等式
1
2 1| | | |1
k
k p k
Lx x x xL
参考答案
第一部分 选择题（50 分）
1、函数 )13lg(
1
3)(
2
x
x
xxf 的定义域是
A. ),3
1( B. )1,3
1( C. )3
1,3
1( D. )3
1,(
1、解：由 13
1
013
01
xx
x ，故选 B.
2、若复数 z 满足方程 022 z ，则 3z
A. 22 B. 22 C. i 22 D. i 22
2、由 izizz 22202 32 ，故选 D.
3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. Rxxy ,3 B. Rxxy ,sin C. Rxxy , D. Rxxy ,)2
1(
3、B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;
故选 A.
4、如图 1 所示，D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量 CD
A. BABC 2
1 B. BABC 2
1
C. BABC 2
1 D. BABC 2
1
4、 BABCBDCBCD 2
1 ，故选 A.
5、给出以下四个命题
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1
5、①②④正确，故选 B.
6、已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和 15，偶数项之和为 30，则其公差是
A.5 B.4 C. 3 D.2
6、 330255
15205
1
1
dda
da ，故选 C.
7、函数 )(xfy 的反函数 )(1 xfy 的图象与 y 轴交于点 )2,0(P (如图 2 所示)，则 方 程
0)( xf 的根是 x
A. 4 B. 3 C. 2 D.1
7、 0)( xf 的根是 x 2，故选 C
8、已知双曲线 93 22 yx ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于
A. 2 B.
3
32 C. 2 D.4
8、依题意可知 3293,3 22 baca ， 2
3
32
a
ce ，故选 C.
9、在约束条件
42
0
0
xy
syx
y
x
下，当 53 s 时，
目标函数 yxz 23 的最大值的变化范围是
A. ]15,6[ B. ]15,7[ C. ]8,6[ D. ]8,7[
9、由
42
4
42 sy
sx
xy
syx 交点为 )4,0(),,0(),42,4(),2,0( CsCssBA ，
（1） 当 43 s 时可行域是四边形 OABC，此时， 87 z
（2） 当 54 s 时可行域是△OAC 此时， 8max z
故选 D.
10 、 对 于 任 意 的 两 个 实 数 对 （ a,b ） 和 (c,d), 规 定 （ a,b ） ＝ (c,d) 当 且 仅 当 a ＝ c,b ＝ d; 运 算 “ ” 为 ：
),(),(),( adbcbdacdcba ，运算“ ”为： ),(),(),( dbcadcba ，设 Rqp , ，若
)0,5(),()2,1( qp 则 ),()2,1( qp
A. )0,4( B. )0,2( C. )2,0( D. )4,0(
10、由 )0,5(),()2,1( qp 得
2
1
02
52
q
p
qp
qp ,
所以 )0,2()2,1()2,1(),()2,1( qp ,故选 B.
第二部分 非选择题（100 分）
二、填空题
11、
)2
1
4
4(lim 22 xxx
11、
4
1
2
1lim)2
1
4
4(lim
222
xxx xx
12、若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
12、 2742
3333 2 RSRd
13、在
112
xx 的展开式中， 5x 的系数为
13、 85112)2()2( 11211
11
111111
111
rrxCxxCT rrrrrr
r
所以 5x 的系数为 1320)2()2( 3
11
311
11
11 CC rr
14、在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第
一堆只有一层，就一个乒乓球；第 2、3、4、…堆最底层（第一层）分 别 按
图 4 所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之 上 ，
第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 )(nf 表示第 n 堆的乒乓球总数，则
)3(f ； )(nf （答案用 n 表示） .
14、 )3(f 10，
6
)2)(1()( nnnnf
三、解答题
15、（本小题满分 14 分）
已知函数 Rxxxxf ),2sin(sin)(
（Ⅰ）求 )(xf 的最小正周期；
（Ⅱ）求 )(xf 的最大值和最小值；
（Ⅲ）若
4
3)( f ，求 2sin 的值.
15 解： )4sin(2cossin)2sin(sin)( xxxxxxf
（Ⅰ） )(xf 的最小正周期为 21
2 T ;
（Ⅱ） )(xf 的最大值为 2 和最小值 2 ；
（Ⅲ）因为
4
3)( f ，即
16
7cossin2�4
3cossin ,即
16
72sin
16、（本小题满分 12 分）
某运动员射击一次所得环数 X 的分布列如下：
X 0-6 7 8 9 10
Y 0 0.2 0.3 0.3 0.2
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 .
(Ⅰ)求该运动员两次都命中 7 环的概率；
(Ⅱ)求 分布列；
(Ⅲ) 求 的数学希望.
16 解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中 7 环的概率为 04.02.02.0)7( P ；
(Ⅱ) 的可能取值为 7、8、9、10
04.0)7( P 21.03.03.02.02)8( 2 P
39.03.03.03.023.02.02)9( 2 P
36.02.02.03.022.03.022.02.02)10( 2 P
分布列为
7 8 9 10
P 0.04 0.21 0.39 0.36
(Ⅲ) 的数学希望为 07.936.01039.0921.0804.07 E .
17、（本小题满分 14 分）
如图 5 所示，AF、DE 分别是⊙O、⊙O1 的直径.AD 与两圆所在的平面均垂 直 ，
AD＝8,BC 是⊙O 的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.
(Ⅰ)求二面角 B—AD—F 的大小；
(Ⅱ)求直线 BD 与 EF 所成的角.
17、解：(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD 是二面角 B—AD—F 的平面角，
依题意可知，ABCD 是正方形，所以∠BAD＝450.
即二面角 B—AD—F 的大小为 450；
(Ⅱ)以 O 为原点，BC、AF、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则 O（0，0，0），A（0， 23 ，
0），B（ 23 ，0，0）,D（0， 23 ，8），E（0，0，8），F（0， 23 ，0）
所以， )8,23,0(),8,23,23( FEBD
10
82
82100
64180
||||
,cos
FEBD
FEBDEFBD
设异面直线 BD 与 EF 所成角为 ，则
10
82|,cos|cos EFBD
直线 BD 与 EF 所成的角为
10
82arccos
18、（本小题满分 14 分）
设函数 23)( 3 xxxf 分别在 1x 、 2x 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点 A、B 的坐标分别为 ))(,( 11 xfx 、
))(,( 22 xfx ,该平面上动点 P 满足 4 PBPA ,点 Q 是点 P 关于直线 )4(2 xy 的对称点.求(Ⅰ)点 A、B 的坐标 ；
(Ⅱ)动点 Q 的轨迹方程
18 解: (Ⅰ)令 033)23()( 23 xxxxf 解得 11 xx 或
当 1x 时, 0)( xf , 当 11 x 时, 0)( xf ,当 1x 时, 0)( xf
所以,函数在 1x 处取得极小值,在 1x 取得极大值,故 1,1 21 xx , 4)1(,0)1( ff
所以, 点 A、B 的坐标为 )4,1(),0,1( BA .
(Ⅱ) 设 ),( nmp ， ),( yxQ ， 4414,1,1 22 nnmnmnmPBPA
2
1PQk ，所以
2
1
mx
ny ，又 PQ 的中点在 )4(2 xy 上，所以
4222
nxmy
消去 nm, 得 928 22 yx
19、（本小题满分 14 分）
已知公比为 )10( qq 的无穷等比数列 }{ na 各项的和为 9，无穷等比数列 }{ 2na 各项的和为
5
81 .
(Ⅰ)求数列 }{ na 的首项 1a 和公比 q ；
(Ⅱ)对给定的 ),,3,2,1( nkk ,设 )(kT 是首项为 ka ，公差为 12 ka 的等差数列.求数列 )(kT 的前 10 项之和；
(Ⅲ)设 ib 为数列 )(iT 的第 i 项， nn bbbS 21 ，求 nS ，并求正整数 )1( mm ，使得
m
Sn
n
lim 存在且不等于零.
(注：无穷等比数列各项的和即当 n 时该无穷数列前 n 项和的极限)
19 解: (Ⅰ)依题意可知,
3
2
3
5
81
1
91 1
2
12
1
q
a
q
a
q
a
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
1
3
23
n
na ,所以数列 )2(T 的的首项为 221 at ,公差 312 2 ad ,
15539102
121010 S ,即数列 )2(T 的前 10 项之和为 155.
(Ⅲ) ib = 121 ii aia = 112 iai i = 13
2123
1
ii
i
，
2
1
3
2271845
nnnS
n
n ， m
n
n n
S
lim =
n
lim
m
n
mm n
nn
n
n
n 2
1
3
2271845
当 m=2 时， m
n
n n
S
lim =－
2
1 ，当 m>2 时， m
n
n n
S
lim =0，所以 m=2
20、（本小题满分 12 分）
A 是由定义在 ]4,2[ 上且满足如下条件的函数 )(x 组成的集合：①对任意 ]2,1[x ，都有 )2,1()2( x ； ②存在
常数 )10( LL ，使得对任意的 ]2,1[, 21 xx ，都有 |||)2()2(| 2121 xxLxx
（Ⅰ）设 ]4,2[,1)( 3 xxx ，证明： Ax )(
(Ⅱ)设 Ax )( ,如果存在 )2,1(0 x ,使得 )2( 00 xx ,那么这样的 0x 是唯一的;
(Ⅲ)设 Ax )( ,任取 )2,1(lx ,令 ,,2,1),2(1 nxx nn 证明:给定正整数 k,对任意的正整数 p,成立不等式
||1|| 12
1
xxL
Lxx
k
klk
解：对任意 ]2,1[x , ]2,1[,21)2( 3 xxx , 3 3 )2( x 3 5 , 2531 33 ,所以 )2,1()2( x
对任意的 ]2,1[, 21 xx ，
2
3
2
3
21
3 2
1
2121
112121
2|||)2()2(|
xxxx
xxxx
，
3 3
2
3
21
3 2
1 112121 xxxx ，所以 0<
2
3
2
3
21
3 2
1 112121
2
xxxx
3
2 ,令
2
3
2
3
21
3 2
1 112121
2
xxxx
= L ， 10 L ， |||)2()2(| 2121 xxLxx
所以 Ax )(
反证法:设存在两个 0000 ),2,1(, xxxx 使得 )2( 00 xx , )2( 00 xx 则
由 |||)2()2(| /
00
/
00 xxLxx ，得 |||| /
00
/
00 xxLxx ，所以 1L ，矛盾，故结论成立。
121223 )2()2( xxLxxxx ，所以 12
1
1 xxLxx n
nn
||1|| 12
1
1211 xxL
Lxxxxxxxx
k
kkpkpkpkpkkpk
kkpkpkpkpk xxxxxx 1211 12
3
12
2 xxLxxL pkpk +…
12
1 xxLk
12
1
1 xxL
LK
2007 年广东卷数学（理科）
参考公式：锥体的体积公式 1
3V Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高．
如果事件 A B， 互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B ．
如果事件 A B， 相互独立，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B ．
用最小二乘法求线性回归方程系数公式， 1
2 2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x nx
， ˆa y bx .
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分
1．已知函数 1( )
1
f x
x
的定义域 M ， ( ) ln(1 )g x x 的定义域为 N ，则 M N =（ ） A．{ | 1}x x
B．{ | 1}x x C．{ | 1 1}x x D．
2．若复数 (1 )(2 )bi i 是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b （ ）
A．2 B． 1
2 C． 1
2
D． 2
3．若函数 2 1( ) sin ( )2f x x x R ，则 ( )f x 是（ ）
A．最小正周期为 π
2
的奇函数 B．最小正周期为 π 的奇函数
C．最小正周期为 2π的偶函数 D．最小正周期为 π 的偶函数
4．客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以 80km/h 的速度匀速行驶
1 小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程 s 与时间t 之间关系的图象中，
正确的是（ ）
60
80
100
120
140
160
s(km)
60
80
100
120
140
160
s(km)
60
80
100
120
140
160
s(km)
60
80
100
120
140
160
s(km)
5．已知数列{ }na 的前 n 项和 2 9nS n n ，第 k 项满足5 8ka ，则 k （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．图 1 是某县参加 2007 年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为 1 2 10A A A， ， ，
（如 2A 表示身高（单位：cm）在 150155， 内的学生人数）．
图 2 是统计图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在 160～180cm（含 160cm，不含
180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）
Ａ． 6i Ｂ． 7i Ｃ． 8i Ｄ． 9i
7．图 3 是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给 A B C D， ， ， 四 个
维修点某种配件各 50 件．在使用前发现需将 A B C D， ， ， 四个维修 点的这批配件分别调
整为 40 ，45 ，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那 么要完成上述调整，
最少的调动件次（ n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件 次为 n ）为（ ）
Ａ．15 Ｂ．16 Ｃ．17 Ｄ．18
8．设 S 是至少含有两个元素的集合，在 S 上定义了一个二元运算“*” （ 即 对 任 意 的
a b S， ，对于有序元素对（ a b， ），在 S 中有唯一确定的元素 *a b 与之对应）．若对任意的 a b S， ，有
( )* *a b a b ，则对任意的 a b S， ，下列等式中不恒成立的是（ ）
A． ( )* *a b a a B．[ ( )] ( )* * * *a b a a b a
C． ( )* *b b b b D． ( ) [ ( )]* * * *a b b a b b
二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分．其中 13~15 题是选做题，考生只能选做二题，三题全答
的，只计算前两题得分．
9．甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有 4 个红球，2 个白球，
乙袋装有 1 个红球，5 个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率
为 ．（答案用分数表示）
A D
CB
图 3
1 2 3
t(h)
1 2 3
t(h)
1 2 3
t(h)
1 2 3
t(h)
A． B． C． D．0 0 0 00
图 1 图 2
开始
输入 1 2 10A A A， ， ，
0
4
s
i
is s A
s输出
结束
1i i
否
是
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
145 150155160165170175180185190195
人数/人
身高/cm
10．若向量 ，a b 满足 1 a b ， a 与 b 的夹角为120 ，则 a a + a b = ．
11．在平面直角坐标系 xOy 中，有一定点 (21)A ， ，若线段OA的垂直平分线过抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点，则
该抛物线的准线方程是 ．
12．如果一个凸多面体是 n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的 直线共有 条，这些
直线中共有 ( )f n 对异面直线，则 (4)f ； ( )f n ．（答 案用数字或 n 的解析
式表示）
13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数 方程为 3
3
x t
y t
（参
数t R ），圆C 的参数方程为 2cos
2sin 2
x
y
（参数 0 2 ， ），则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线
l 的距离为 ．
14 ．（ 不 等 式 选 讲 选 做 题 ） 设 函 数 ( ) 2 1 3f x x x ， 则 ( 2)f
；若 ( ) 5f x ≤ ，则 x 的取值范围是 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图 5 所示，圆O 的直径 6AB ，C 为圆 周 上 一 点 ，
3BC ．过C 作圆的切线l ，过 A 作l 的垂线 AD ， AD 分别与直线l 、 圆 交 于 点
D E， ，则 DAC ∠ ，线段 AE 的长为 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．
16．（12 分）已知 ABC△ 顶点的直角坐标分别为 (3 4)A ， ， (0 0)B ， ， ( 0)C c， ．
（1）若 5c ，求sin A∠ 的值；
（2）若 A∠ 是钝角，求 c 的取值范围．
17．（12 分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x （吨）与相应的生产能耗 y （吨
标准煤）的几组对照数据．
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ˆ ˆy bx a ；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨
甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 66.5 ）
18．（14 分）在平面直角坐标系 xOy ，已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆C 与直线 y x 相切于坐标原点O ．椭
圆
2 2
2 19
x y
a
与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C 的方程；
（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点
图 5
A B
C
D
E
O l
图 4
Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（14 分）如图 6 所示，等腰 ABC△ 的底边 6 6AB ，高 3CD ，点 E 是线段 BD 上异于点 B D， 的动点，
点 F 在 BC 边上，且 EF AB⊥ ，现沿 EF 将 BEF△ 折起到 PEF△ 的位置，使 PE AE⊥ ，记 BE x ， ( )V x 表
示四棱锥 P ACFE 的体积．
（1）求 ( )V x 的表达式；（2）当 x 为何值时， ( )V x 取得最大值？
（3）当 ( )V x 取得最大值时，求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值．
20．（14 分）已知 a 是实数，函数 2( ) 2 2 3f x ax x a ，如果函数 ( )y f x 在区间 11 ，上有零点，求 a 取值
范围．
21．（14 分）
已知函数 2( ) 1f x x x ， ， 是方程 ( ) 0f x 的两个根（ ）， ( )f x 是 ( )f x 的导数，设 1 1a ，
1
( ) ( 1 2 )( )
n
n n
n
f aa a nf a ，， ．
（1）求 ， 的值；（2）证明：对任意的正整数 n ，都有 na ；
（3）记 ln ( 1 2 )n
n
n
ab na
，， ，求数列 nb 的前 n 项和 nS ．
2007 年（广东卷）数学（理科 B）参考答案
一．选择题 CDDC BBCA
1． 1 0 1 11 0
x xx
故选（C）
2． (1 )(2 ) (2 ) (2 1)bi i b b i 为纯虚数 2b ，故选（D）
3． 2 21 1 1( ) sin (1 2sin ) cos22 2 2f x x x x 故选（D）
4．
60 (0 1)
60(1 1.5)
80( 1.5) 60(1.5 2.5)
t t
s t
t t
，故选（C）
5． 1 82( 5) 6n n na s s n a ，k=8，（或 5＜2k－10＜8）故选（B）
图6
F
P
A
C
B
E
D
6．计算 4 5 6 7A A A A ，由算法框图知， 8i 故选（B）
7． A D 11 件， B C 4 件， B A 1 件，共 16 件，故选（C）
8． ( )a b a b 当 a b 时 ( )b b b b ，又[ ( )] ( ) ( )a b a a b b a b a ；
( ) [ ( )] ( )a b b a b a b a b ，故选（A）
二．填空题
9． 4 1 1( ) ( ) ( ) 6 6 9P AB P A P B
10． 2 cos120 1
2
a a ba a a b =
11．线段OA的垂直平分线方程为 1 52( 1) ( ,0)2 4y x F 准线方程 5
4x
12． 2
1
( 1)
2n
n nC
；12； 2
1
( 1)( 2)
2n
n n nn C
13．参数方程化普通方程得直线方程为 6 0x y ，圆的方程为 2 2( 2) 4x y
因此圆心为 (0,2) ，圆心到直线的距离为 2 6
2
2 2d
14． 4 1( 2) 2 3 6f ； 2 1( ) 5 2 1 1xf x x x
三．解答题
16．（1）当 5c 时， 5 2 55, 5, 2 5 cos sin5 5AB BC AC A A
（2） 2( 3) 16,AC c BC c , A 为钝角 2 2 2AB AC AB 2 225 ( 3) 16c c
25
3c
17．（1）（略）
（2） 9 7,2 2x y ，
4
1
66.5i i
i
x y
，
4
2
1
86i
i
x
，
4
1
4 22
1
4 66.5 63 0.786 814
i i
i
i
i
x y xy
b
x x
0.35a y bx ，故现线性回归方程为 0.7 0.35y x
（3）当 100x 时， 70.35y ，90 70.35 19.65 ，故预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨
标准煤。
18．（1）显然圆心C 的坐标为 ( 2,2) ，故圆的方程为 2 2( 2) ( 2) 8x y
（2）由题意知，椭圆的长轴长为 2 10a ，椭圆的右焦点 (4,0)F ，若圆C 上存在点Q ,使得 4FQ OF ，则Q 点
圆C 与圆 2 2:( 4) 16F x y 的交点，由
2 2
2 22 2
3( 2) ( 2) 8
8 0( 4) 16
y xx y
x y xx y
0
0
x
y
或
4
5
12
5
x
y
，所以 4 12( , )5 5Q ，此时 4FQ 满足题意，故
圆C 上存在点 4 12( , )5 5Q 符合题目要求。
19．（1） , ,EF AB PE EF 又 ,PE AE AE EF E ， PE 平面 ACFE 且 PE x ，
3 6
63 6
ACD BEF EF x x ，四棱锥 P ACFE 的底面积为
2 26 69 6 (108 )12 12s x x ， 1( ) 3V x s PE 2 31 6 6(108 ) (108 )3 12 36x x x x (0 3 6)x
（2） ' 26( ) (36 )12V x x ， (0,6)x 时 ' ( ) 0V x ， (6,3 6)x 时 ' ( ) 0V x ， ( )V x 在 (0,6) 上增，在 (6,3 6)
上减，故 ( )V x 在 6x 时，取最大值为12 6
（3）过 F 作 FG AC 交 AB 于G ，则 PFG 是直线 AC 与 PF 所成角且 FGB 是等腰三角形，由（2）知
6, 42, 6, 6 2, 42EF FG FB EG EB PG PF
在
22 2 42 42 72 1cos 2 84 7
PF FG PGPFG PFG PF FG
，所以异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值为 1
7
20．（1）当 0a 时， 3( ) 2 3 0 [ 1,1]2f x x x
（2）当 0a 时， 2( ) 2 2 3f x ax x a
① ( ) 0f x 在[ 1,1] 上有惟一解，则 ( 1) (1) ( 1)( 5) 0 1 5f f a a a
② ( ) 0f x 在[ 1,1] 上有两解，则
11 12 3 74 8 ( 3) 0 2 2( 1) (1) 0
a
a a a
f f
或 5a ，
综上，所求 a 的取值范围为 3 7( , ] [1, )2 2
21．（1） 1 5
2
， 1 5
2
（2） ( ) 2 1f x x ， 2( ) 1n n nf a a a ， ( ) 2 1n nf a a ，
2 2
1
( ) 1 1
( ) 2 1 2 1
n n n n
n n n
n n n
f a a a aa a af a a a
，易证 0na
①当 1n 时， 1 1
1 5 3 51 02 2a a
②假设 n k 时命题成立，即 ka ，则当 1n k 时
2 2 2 2 2
1
1 1 2 2 ( ) 02 1 2 1 2 1 2 1
k k k k k k
k
k k k k
a a a a a aa a a a a
2 2( 1 0 1 ) 1ka 所以 1n k 时命题也成立
由①②可知 na
（3）由（2）知
2
2
1
2 2
1
( )
2 1 ( )
( ) ( )
2 1
k
k k k
kk k
k
a
a a a
aa a
a
， ln n
n
a
a
是公比为 2，首项为 3 5 1 5ln 4ln 23 5
的
等比数列，其前 n 项的和为 1 54(2 1)ln 2
n
绝密 ★ 启用前 试卷类型 B
2008 年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷）
数学（理科）
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题
卡上．用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码
粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的
答案无效．
4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错
涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：如果事件 A B， 互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B ．
已知 n 是正整数，则 1 2 2 1( )( )n n n n n na b a b a a b ab b ．
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1．已知 0 2a ，复数 z 的实部为 a ，虚部为 1，则 z 的取值范围是（ ）
A． (15)， B． (13)， C． (1 5)， D． (1 3)，
2．记等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 1
1
2a ， 4 20S ，则 6S （ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
3．某校共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如表 1．已知在全校学生中随
机抽取 1 名，抽到二年级女生的概率是 0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取
64 名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）
A．24 B．18 C．16 D．12 表 1
4．若变量 x y， 满足
2 40
2 50
0
0
x y
x y
x
y
，
，
，
，
≤
≤
≥
≥
则 3 2z x y 的最大值是（ ）
A．90 B．80 C．70 D．40
5．将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 A B C， ， 分别是 GHI△ 三边的中点）得到几何体如图 2，则该几何体按
图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
E
F
D
I
AH G
B C
E
F
D
A
B C侧视
图 1 图 2
B
E
A．
B
E
B．
B
E
C．
B
E
D．
6．已知命题 :p 所有有理数都是实数，命题 :q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． ( )p q B． p q C． ( ) ( )p q D． ( ) ( )p q
7．设 aR ，若函数 3axy e x ， xR 有大于零的极值点，则（ ）
A． 3a B． 3a C． 1
3a D． 1
3a
8．在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O E， 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F ．若
AC
a ， BD
b ，则 AF （ ）
A． 1 1
4 2
a b B． 2 1
3 3
a b C． 1 1
2 4
a b D． 1 2
3 3
a b
一年级 二年级 三年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．
（一）必做题（9~12 题）
9．阅读图 3 的程序框图，若输入 4m ， 6n ，则输出
a ，i ．
（注：框图中的赋值符号“ ”也可以写成“ ”或“: ”）
10．已知 2 6(1 )kx （ k 是正整数）的展开式中， 8x 的系数小于
120，则 k ．
11．经过圆 2 22 0x x y 的圆心C ，且与直线 0x y 垂直 的 直 线 方 程
是 ．
12．已知函数 ( ) (sin cos )sinf x x x x ， xR ，则 ( )f x 的 最 小 正 周 期
是 ．
二、选做题（13—15 题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 1 2C C， 的极坐标方 程 分 别 为
cos 3 ， π4cos 0 0 2
，≥ ≤ ，则曲线 1C 与 2C 交 点 的 极 坐 标
为 ．
14．（不等式选讲选做题）已知 aR ，若关于 x 的方程 2 1 04x x a a 有实根，则 a 的取值范围
是 ．
15．（几何证明选讲选做题）已知 PA 是圆O 的切线，切点为 A ， 2PA ． AC 是圆O 的直径， PC 与圆O 交于
点 B ， 1PB ，则圆O 的半径 R ．
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分 13 分）
已知函数 ( ) sin( )( 0 0 π)f x A x A ， ， xR 的最大值是 1，其图像经过点 π 1
3 2M
， ．
（1）求 ( )f x 的解析式；
（2）已知 π0 2
， ， ，且 3( ) 5f ， 12( ) 13f ，求 ( )f 的值．
17．（本小题满分 13 分）
随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件．已
知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元．设 1 件产品的利
润（单位：万元）为 ．
（1）求 的分布列；
（2）求 1 件产品的平均利润（即 的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1% ，一等品率提高为 70% ．如果此时要求 1 件产品的平
均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多是多少？
开始
1i
n 整除 a?
是
输入 m n，
结束
a m i
输出 a i，
图 3
否
A
y
xO B
G
F
F1
图 4
18．（本小题满分 14 分）
设 0b ， 椭 圆 方 程 为
2 2
2 2 12
x y
b b
， 抛 物 线 方 程 为
2 8( )x y b ．如图 4 所示，过点 (0 2)F b ， 作 x 轴的平行线，与 抛物线在第一象
限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点 1F ．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设 A B， 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 P ，使得 ABP△ 为直角三角形？
若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
19．（本小题满分 14 分）
设 k R ，函数
1 11( )
1 1
xxf x
x x
，
， ≥
， ( ) ( )F x f x kx ， xR ，试讨论函数 ( )F x 的单调性．
20．（本小题满分 14 分）
如图 5 所示，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形，其中 BD 是圆的直径，
60ABD ， 45BDC ，PD 垂直底面 ABCD ， 2 2PD R ，E F， 分别是 PB CD， 上的点，且 PE DF
EB FC
，
过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于G ．
（1）求 BD 与平面 ABP 所成角 的正弦值；
（2）证明： EFG△ 是直角三角形；
（3）当 1
2
PE
EB
时，求 EFG△ 的面积．
21．（本小题满分 12 分）
设 p q， 为 实 数 ， ， 是 方 程 2 0x px q 的 两 个 实 根 ， 数 列 { }nx 满 足 1x p ， 2
2x p q ，
1 2n n nx px qx （ 3 4n ，，…）．
（1）证明： p ， q ；
（2）求数列{ }nx 的通项公式；
（3）若 1p ， 1
4q ，求{ }nx 的前 n 项和 nS ．
绝密★启用前 试卷类型 B
2008 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)参考答案
一、选择题：C D C C A D B B
F
C
P
GE
A
B
图 5
D
1．C【解析】 12 az ，而 20 a ，即 511 2 a ， 51 z
2．D【解析】 20624 dS ， 3d ，故 481536 dS
3 ． C 【 解 析 】 依 题 意 我 们 知 道 二 年 级 的 女 生 有 380 人 ， 那 么 三 年 级 的 学 生 的 人 数 应 该 是
5003703803773732000 ，即总体中各个年级的人数比例为 2:3:3 ，故在分层抽样中应在三年级抽取
的学生人数为 168
264
4．C 5．A
6．D【解析】不难判断命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，从而上述叙述中只有 ( ) ( )p q 为真命题
7．B【解析】 '( ) 3 axf x ae ，若函数在 x R 上有大于零的极值点，即 '( ) 3 0axf x ae 有正根。当有
'( ) 3 0axf x ae 成立时，显然有 0a ，此时 1 3ln( )x a a
，由 0x 我们马上就能得到参数 a 的范围为
3a 。
8．B
二、填空题：
9．【解析】要结束程序的运算，就必须通过 n 整除 a 的条件运算，而同时 m 也整除 a ，那么 a 的最小值应为 m 和 n
的最小公倍数 12，即此时有 3i 。
10．【解析】 2 6(1 )kx 按二项式定理展开的通项为 2 2
1 6 6( )r r r r r
rT C kx C k x ，我们知道 8x 的系数为 4 4 4
6 15C k k ，
即 415 120k ，也即 4 8k ，而 k 是正整数，故 k 只能取 1。
11．【解析】易知点 C 为 ( 1,0) ，而直线与 0x y 垂直，我们设待求的直线的方程为 y x b ，将点 C 的坐标
代入马上就能求出参数b 的值为 1b ，故待求的直线的方程为 1 0x y 。
12 ．【 解 析 】 2 1 cos 2 1 2 1( ) sin sin cos sin 2 cos(2 )2 2 2 4 2
xf x x x x x x ， 故 函 数 的 最 小 正 周 期
2
2T 。
二、选做题（13—15 题，考生只能从中选做两题）
13．【解析】由 cos 3( 0,0 )4cos 2
解得
2 3
6
，即两曲线的交点为 (2 3, )6
。
14． 10, 4
15 ．【 解 析 】 依 题 意 ， 我 们 知 道 PBA PAC , 由 相 似 三 角 形 的 性 质 我 们 有
2
PA PB
R AB
, 即
2 22 2 1 32 2 1
PA ABR PB
。
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．解：（1）依题意有 1A ，则 ( ) sin( )f x x ，将点 1( , )3 2M 代入得 1sin( )3 2
，而 0 ，
A
y
xO B
G
F
F1
图 4
5
3 6
，
2
，故 ( ) sin( ) cos2f x x x ；
（2）依题意有 3 12cos ,cos5 13
，而 , (0, )2
，
2 23 4 12 5sin 1 ( ) ,sin 1 ( )5 5 13 13
，
3 12 4 5 56( ) cos( ) cos cos sin sin 5 13 5 13 65f 。
17．解：（1） 的所有可能取值有 6，2，1，-2； 126( 6) 0.63200P ， 50( 2) 0.25200P
20( 1) 0.1200P ， 4( 2) 0.02200P
故 的分布列为：
6 2 1 -2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
（2） 6 0.63 2 0.25 1 0.1 ( 2) 0.02 4.34E
（3）设技术革新后的三等品率为 x ，则此时 1 件产品的平均利润为
( ) 6 0.7 2 (1 0.7 0.01 ) ( 2) 0.01 4.76 (0 0.29)E x x x x
依题意， ( ) 4.73E x ，即 4.76 4.73x ，解得 0.03x
所以三等品率最多为3%
18．解：（1）由 2 8( )x y b 得 21
8y x b ，
当 2y b 得 4x ，G 点的坐标为 (4, 2)b ，
1' 4y x ， 4'| 1xy ，
过点 G 的切线方程为 ( 2) 4y b x 即 2y x b ，
令 0y 得 2x b ， 1F 点的坐标为 (2 ,0)b ，
由椭圆方程得 1F 点的坐标为 ( ,0)b ， 2 b b 即 1b ，
即椭圆和抛物线的方程分别为
2
2 12
x y 和 2 8( 1)x y ；
（2）过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,
以 PAB 为直角的 Rt ABP 只有一个，同理以 PBA 为直角的 Rt ABP 只有一个。
若以 APB 为直角，设 P 点坐标为 21( , 1)8x x ， A 、 B 两点的坐标分别为 ( 2,0) 和 ( 2,0) ，
2 2 2 4 21 1 52 ( 1) 1 08 64 4PA PB x x x x
。
关于 2x 的二次方程有一大于零的解， x 有两解，即以 APB 为直角的 Rt ABP 有两个，
因此抛物线上存在四个点使得 ABP 为直角三角形。
19．解：
1 , 1,1( ) ( )
1 , 1,
kx xxF x f x kx
x kx x
， 2
1 , 1,(1 )'( ) 1 , 1,
2 1
k xxF x
k x
x
对于 1( ) ( 1)1F x kx xx
，
当 0k 时，函数 ( )F x 在 ( ,1) 上是增函数；
当 0k 时，函数 ( )F x 在 1( ,1 )
k
上是减函数，在 1(1 ,1)
k
上是增函数；
对于 1( ) ( 1)
2 1
F x k x
x
，
当 0k 时，函数 ( )F x 在 1, 上是减函数；
当 0k 时，函数 ( )F x 在
2
11,1 4k
上是减函数，在
2
11 ,4k
上是增函数。
20．解：（1）在 Rt BAD 中，
60ABD ， , 3AB R AD R
而 PD 垂直底面 ABCD， 2 2 2 2(2 2 ) ( 3 ) 11PA PD AD R R R
2 2 2 2(2 2 ) (2 ) 2 3PB PD BD R R R ,
在 PAB 中， 2 2 2PA AB PB ,即 PAB 为以 PAB 为直角的直角三角形。
设点 D 到面 PAB 的距离为 H ,
由 P ABD D PABV V 有 PA AB H AB AD PD ,
即 3 2 2 2 66
1111
AD PD R RH RPA R
，
66sin 11
H
BD
;
(2) / / , PE PGEG BC EB GC
,而 PE DF
EB FC
,
即 , / /PG DF GF PDGC DC
, GF BC ， GF EG , EFG 是直角三角形；
（3） 1
2
PE
EB
时 1
3
EG PE
BC PB
, 2
3
GF CF
PD CD
,
即 1 1 2 2 2 4 22 cos 45 , 2 23 3 3 3 3 3EG BC R R GF PD R R ,
EFG 的面积 21 1 2 4 2 4
2 2 3 3 9EFGS EG GF R R R
21．解：（1）由求根公式，不妨设 ，得
2 24 4,2 2
p p q p p q
F
C
P
GE
A
B
图 5
D
2 24 4
2 2
p p q p p q p ，
2 24 4
2 2
p p q p p q q
（2）设 1 1 2( ) n n n nx sx t x sx ，则 1 2( ) n n nx s t x stx ，由 1 2n n nx px qx
得，
s t p
st q
，消去t ，得 2 0 s ps q ，s 是方程 2 0x px q 的根，
由题意可知， 1 2, s s
①当 时，此时方程组
s t p
st q
的解记为 1 2
1 2
s s
t t
或
1 1 2( ), n n n nx x x x 1 1 2( ), n n n nx x x x
即 1 1n nx t x 、 2 1n nx t x 分别是公比为 1 s 、 2 s 的等比数列，
由等比数列性质可得 2
1 2 1( )
n
n nx x x x , 2
1 2 1( )
n
n nx x x x ,
两式相减，得 2 2
1 2 1 2 1( ) ( ) ( )
n n
nx x x x x
2
2 1, x p q x p ， 2 2
2 x ， 1 x
2 2 2
2 1( ) n n nx x ， 2 2 2
2 1( ) n n nx x
1( ) n n
nx ，即 1
n n
nx
，
1 1
n n
nx
②当 时，即方程 2 0x px q 有重根， 2 4 0 p q ，
即 2( ) 4 0 s t st ，得 2( ) 0, s t s t ，不妨设 s t ，由①可知
2
1 2 1( )
n
n nx x x x ， ， 2
1 2 1( )
n n
n nx x x x
即 1 n
n nx x ，等式两边同时除以 n ，得 1
1 1
n n
n n
x x
，即 1
1 1
n n
n n
x x
数列{ }n
n
x
是以 1 为公差的等差数列， 1 2( 1) 1 1 1 n
n
x x n n n
n n
nx n
综上所述，
1 1
,( )
,( )
n n
n
n n
x
n
（3）把 1p ， 1
4q 代入 2 0x px q ，得 2 1 04
x x ，解得 1
2
1 1( ) ( )2 2
n n
nx n
2 3 2 31 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) ... ( )2 2 2 2 2 2 2 2
n n
nS n
2 31 1 1 1 11 ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) ... ( )2 2 2 2 2
n nn
11 1 1 11 ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( 3)( )2 2 2 2
n n n nn n
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 学科网
数学（理科）解析 学科网
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。 学科网
1.巳知全集U R ，集合 { 2 1 2}M x x 和 { 2 1, 1,2, }N x x k k 的关系的韦恩（Venn ）图如图 1
所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 学科网 学科网
2.设 z 是复数， ( )a z 表示满足 1nz 的最小
正整数 n ，则对虚数单位i ， ( )a i 学科网 学科网
3.若函数 ( )y f x 是函数 xy a （ 0a 且 1a ）的反函数，其图像经过点 ( , )a a ，则 ( )f x 学科网 学科网
学科网
4. 已 知 等 比 数 列 { }na 满 足 0, 1,2,na n ， 且 2
5 2 5 2 ( 3)n
na a n ， 则 当 1n 时 ，
2 1 2 3 2 2 1log log log na a a 学科网 学科网
5.给定下列四个命题： 学科网 学科网
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 学科网 学科网
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 学科网 学科网
③垂直于同一直线的两条直线相互平行； 学科网 学科网
科网 6.一质点受到平面上的三个力 1F ， 2F ， 3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知 1 2,F F 成 60角，且 1F ， 2F
的大小分别为２和４，则 3F 的大小为 学科网 学科网
7.2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、
司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共
有 学科网 学科网
.A 36 种 .B 12 种 .C 18 种 .D 48 种 学科网
2
8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为甲 和乙
（如图 2 所示）．那么对于图中给定的 0t 和 1t ，下列判断中一定正确的 是 学科网 学科网
.A 在 1t 时刻，甲车在乙车前面 学科网 学科网
.B 1t 时刻后，甲车在乙车后面 学科网 学科网
.C 在 0t 时刻，两车的位置相同 学科网 学科网
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分。 学科网
（一）必做题（９～１２题） 学科网 学科网
9.随机抽取某产品 n 件，测得其长度分别为 1 2, , na a a ，则图 3 所示 的程序框图
输出的 s ， s 表示的样本的数字特征是 。（注：框图 中的赋值符
号“=”也可以写成“←”“=”） 学科网
学科网
10.若平面向量 a
，b
满足 1a b ， a b 平行于 x 轴， (2, 1)b ，则 a 。 学科网
学
11.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 3
2
，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为 12，
则椭圆G 的方程为 。 学科网
12.已知离散型随机变量 X 的分布列如右表．若 0EX ， 1DX ，则
a ，b 。 学科网
学科网
学科网
学科网
（二）选做题（13 ~ 15 题，考生只能从中选做两
题） 学科网
13. （ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 若 直 线
1
1 2: 2
x tl y kt
（t 为参数）与直线 2 : 1 2
x sl y s
（ s 为参数）垂直，则 k 。 学科网
学科网
14.（不等式选讲选做题）不等式 1 12
x
x
的实数解为 。 学科网
15. (几何证明选讲选做题）如图 4，点 , ,A B C 是圆 O 上的点， 且
4, 45AB ACB ，则圆O 的面积等于 。
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.已知向量 (sin , 2) (1,cos )a b 与 互相垂直，其中 (0, )2
。
（1）求sin cos 和 的值；
（2）若 10sin( ) ,010 2
，求 cos 的值。
17.根据空气质量指数 API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:
对某城市一年
（365 天）的空
气质量进行监
测 ， 获 得 API
数据按照区间
[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]
进行分组，得
到频率分布直方图如图 5
（1）求直方图中 x 的值；
（2）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数；
（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的 概率。(结
果用分数表示．已知
7 7 3 2 75 78125,2 128,1825 365 1825
故一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数 219365 219365n （天）
【考点描述】概率与统计。
18.如图６，已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为２，点Ｅ是正方形
1 1BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱 1 1 1,C D AA 的中点。设点 1 1,E G 分别是 点Ｅ、
Ｇ在平面 1 1DCC D 内的正投影。
（１）求以Ｅ为顶点，以四边形 FGAE 在平面 1 1DCC D 内的正投影为底面 边界的
棱锥的体积；
（２）证明：直线 1 1FG FEE 平面 ；
（３）求异面直线 1 1E G EA与 所成角的正弦值。
19.已知曲线 2:C y x 与直线 : 2 0l x y 交于两点 ( , )A AA x y 和 ( , )B BB x y ，且 A Bx x ．记曲线C 在点 A 和点
B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域（含边界）为 D 。设点 ( , )P s t 是 L 上的任一点，且点 P 与点 A 和点
B 均不重合。
（１）若点Q 是线段 AB 的中点，试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程；
（２）若曲线 2 2 2 51: 2 4 025G x ax y y a 与 D 有公共点，试求 a 的最小值。
得 极 小 值
1( 0)m m 。设 ( )( ) g xf x x
。
（１）若曲线 ( )y f x 上的点 P 到点 (0,2)Q 的距离的最小值为 2 ，求 m 的值；
（２） ( )k k R 如何取值时，函数 ( )y f x kx 存在零点，并求出零点。
21.已知曲线 2 2: 2 0( 1,2, )nC x nx y n 。从点 ( 1,0)P 向曲线 nC 引斜率为 ( 0)n nk k 的切线 nl ，切点为
( , )n n nP x y 。
（１）求数列{ } { }n nx y与 的通项公式；
（２）证明： 1 3 5 2 1
1 2 sin1
n n
n
n n
x xx x x x x y
。
绝密 ★ 启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）
数学（理科）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.若集合A={ x -2＜ x ＜1}，B={ x 0＜ x ＜2}则集合A ∩ B=
A. { x -1＜ x ＜1} B. { x -2＜ x ＜1}
C. { x -2＜ x ＜2} D. { x 0＜ x ＜1}
2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=
A．4 B. 2+ i C. 2+2 i D.3
3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则
A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
A．f（x）与g（x）均为奇函数 B. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
4. 4.已知{ }na 为等比数列，Sn是它的前n项和。若 2 3 12a a a ， 且 4a 与2 7a 的等差中项为
5
4 ，则 5S =
A．35 B.33 C.31 D.29
5. “
1
4m
”是“一元二次方程 2 0x x m ”有实数解“的
A．充分非必要条件 B.充分必要条件
C．必要非充分条件 D.非充分必要条件
6.如图1，△ ABC为三角形， AA // BB //CC , CC ⊥平面ABC 且3 AA =
3
2 BB =CC =AB,则多面体△ABC
- A B C 的正视图（也称主视图）是
A B C D w_w w.k*s_5 u.c o_m
7已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且p(2 ≤X ≤4)=0.6826，则p（X>4）=
A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.1585
8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、
绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯商量的颜色各不相同
。记这这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的
时间间隔均为5妙。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是
A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
（一）必做题（9-13题）w_w w.k*s_5 u.c o_m
9. 函数 ( )f x =lg( x -2)的定义域是 .
10.若向量 a
r
=（1,1,x）, b
r
=(1,2,1), c
r
=(1,1,1),满足条件 ( ) (2 )c a b
r r r
=-2,则 x = .
11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b= 3 , A+C=2B,则sinC= .
12.已知圆心在x轴上，半径为 2 的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是 w_w w.k*s_5 u.c o_m
13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居
民的月均用水量分别为x1…xn(单位：吨)，根据图2所示的程序框图，若n=2,且x1，x2 分别为1,2，则输出地结果s为 .
w_w w.k*s_5 u.c o_m
14、（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=
2
3
a
，
∠OAP=30°，则CP＝______. w_w w.k*s_5 u.c o_m
15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ= 2sin 与 cos 1p 的
交点的极坐标为______。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16、（本小题满分14分）
已知函数 ( ) sin(3 )( 0, ( , ),0f x A x A x 在 12x
时取得最大值4
(1) 求f(x)的最小正周期；
(2) 求f(x)的解析式；
(3) 若f(
2
3 α +12
)=
12
5 ,求sinα w_w w.k*s_5 u.c o_m
17.(本小题满分12分)
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：
克）重量的分组区间为（490, 495 ，（495, 500 ，……（510, 515 ，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示。
（1） 根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量。
（2） 在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列。
（3） 从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率。
18.（本小题满分14分）w_w w.k*s_5 u.c o_m
如图5， ¼ABC 是半径为a的半圆，AC为直径，点E为 »AC 的中点，点B和点C为线段AD的三等分点。平面AEC外一点F
满足FB=FD= 5 a，FE= 6 a
图5
（1） 证明：EB⊥FD；
（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得BQ=
2
3 FE,FR=
2
3 FB,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。
19.（本小题满分12分）
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位
的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两
餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿
童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？
w_w w.k*s_5 u.c o_m
20．（本小题满分为14分）
一直双曲线
2
2 12
x y
的左、右顶点分别为A1,A2，点 1 1( , )p x y ， 1 1( , )Q x y 是双曲线上不同的两个动点
（1） 求直线A与A2Q交点的轨迹E的方程式；
（2） 若点H(O, h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且 1 2l l
,求h的值。
21．（本小题满分14分）
设A( 1 1,x y ),B( 2 2,x y )是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为w_w w.k*s_5 u.c o_m
P(A,B)= 2 1x x + 2 1y y .
对于平面 xOy 上给定的不同的两点A( 1 1,x y ),B( 2 2,x y )
(1) 若点C（x, y）是平面 xOy 上的点，试证明P ( , )A C +P ( , )C B P ( , )A B ;
(2) 在平面 xOy 上是否存在点C(x, y),同时满足
1. ①P ( , )A C +P ( , )C B = P ( , )A B ②P ( , )A C = P ( , )C B
若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明。
2011 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）A
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
参考公式：柱体体积公式 V=Sh,其中 S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．
线性回归方程
^ ^ ^
y b x a 中系数计算公式
^ ^ ^
1
2
1
( )( )
,
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b a y b
x x
，其中 ,x y 表示样本均值．
n 是正整数，则 -1 -2 -2 -1- ( - )( )n n n n n na b a b a a b ab b
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．
1． ziziz 为虚数单位，则，其中满足设复数 2)1(
A． i1 B． i1 C． i22 D． i22
2． xyyxyxByxyxyxA 为实数，且，为实数，且已知集合 ,),(1,),( 22 ，
的元素个数为则 BA
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
3． )2(// baccabacba ，则且满足，，若向量
A． 4 B． 3 C． 2 D． 0
4． 则下列结论恒成立的是上的偶函数和奇函数，分别是和设函数 Rxgxf )()(
A． 是偶函数)()( xgxf B． 是奇函数)()( xgxf
C． 是偶函数)()( xgxf D． 是奇函数)()( xgxf
5． 为给定。若由不等式组上的区域已知平面直角坐标系 ),(
2
2
20
yxM
yx
y
x
DxOy
的最大值为，则的坐标为上的动点，点 OAOMzAD )1,2(
A． 24 B． 23 C． 4 D． 3
6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要
再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．
若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
A． 1
2 B． 3
5 C． 2
3 D． 3
4
7．如图 1-3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，
侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为
A． 6 3 B．9 3 C．12 3 D．18 3
8．设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果 ,a b S ，有 ab S ，则称 S 关于数的乘法是封闭的．若 ,T V 是 Z 的两个
不相交的非空子集, T V Z ,且 , ,a b c T ,有 abc T ； , ,x y z V ,有 xyz V ,则下列结论恒成立的是
A． ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B． ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的
C． ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D． ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的
二、填空题：本大题共 7 小题．考生作答 6 小题．每小题 5 分，满分 30分．
（一）必做题（9～13 题）
9．不等式 1 3 0x x 的解集是 ．
10． 7)2( xxx 的展开式中 4x 的系数是 ．（用数字作答）
11．等差数列 na 的前 9 项和等于前 4 项和，若 0,1 41 aaa k ，则 k ．
12．函数 13)( 23 xxxf 在 x 处取得极小值．
13．某数学老师身高 176cm，他爷爷，父亲，儿子的身高分别是 173cm,170cm 和 182cm，因儿子的身高与父亲的身
高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是 cm．
（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为
sin
cos5
y
x （0≤ ＜）和
ty
tx 2
4
5
（t∈R），它们的交点坐标为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图 4，过圆 o 外一点 P 分别做
圆的切线和割线交圆于 A,B 两点，且 PB=7，C 是圆上一点使
得 BC=5， ,BAPBAC 则 AB= ．
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分 12 分）
已知函数 1( ) 2sin( ),3 6f x x x R ．
（1）求 5( )4f 的值；
（2）设 , [0, ]2
， 10(3 )2 13f ， 6(3 2 ) 5f ，求 cos( ) 的值．
（纯 word 版 2011 年高考数学广东卷首发于数学驿站：www．maths168．com）
17．（本小题满分 13 分）
为了解甲，乙两厂的产品质量，采取分层抽样的方法从甲，乙两厂的产品中分别抽取 14 件和 5 件，测量产品中微
量元素 yx, 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：
编号 1 2 3 4 5
x 169 178 166 175 180
y 75 80 77 70 81
（1） 已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数量；
（2） 当产品中微量元素 yx, 满足 175x 且 75y 时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的
优等品的数量；
（3） 从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随即抽取 2 件，求抽出的 2 件产品中优等品数 的分布列及其均值（即
数学期望）．
18．（本小题满分 13 分）
如图 5，在锥体 P-ABCD 中，ABCD 是边长为 1 的菱形，且 60DAB ， 2PA PD ，PB=2，E，F 分别是 BC，
PC 的中点．
(1) 证明：AD⊥平面 DEF；
(2) 求二面角 P-AD-B 的余弦值．
19．（本小题满分 14 分）
设圆 C 与两圆 2 2( 5) 4x y ， 2 2( 5) 4x y 中的一个内切，另一个外切．
（1） 求 C 的圆心轨迹 L 的方程；
（2） 已知点 M（
5
53 ，
5
54 ），F（ 5 ，0），且 P 为 L 上的动点，求 FPMP 的最大值及此时点 P 的
坐标．
20．（本小题满分 14 分）
设 b>0,数列 }{ na 满足 ba 1 , 1
1
( 2)2 2
n
n
n
nbaa na n
．
（1）求数列 }{ na 的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数 n ,
1
1 12
n
n n
ba
．
21．（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 xOy 上，给定抛物线 21: 4L y x ，实数 ,p q 满足 2 4 0p q ， 1 2,x x 是方程 2 0x px q 的
两根，记 1 2( , ) max{| |,| |}p q x x ．
（1） 过 点 2
0 0 0
1( , )( 0)4A p p p 作 L 的 切 线 交 y 轴 于 点 B ． 证 明 ： 对 线 段 AB 上 的 任 一 点 ( , )Q p q ， 有
0| |( , ) 2
pp q ；
（2） 设 ( , )M a b 是定点，其中 ,a b 满足 2 4 0, 0a b a ．过 ( , )M a b 作 L 的两条切线 1 2,l l ，切点分别为
2 2
1 1 2 2
1 1( , ), `( , )4 4E p p E p p ， 1 2,l l 与 y 轴分别交于 , `F F ．线段 EF 上异于两端点的点集记为 X，
证明： 1
1 2
| |( , ) | | | | ( , ) 2
pM a b X p p a b ；
（3） 设 21 5{( , ) | 1, ( 1) }4 4D x y y x y x ，当点 ( , )p q 取遍 D 时，求 ( , )p q 的最小值（记为 min ）和
最大值（记为 max ）．
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