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  • 2021-05-13 发布

2017高考真题理科数学全国卷3

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理科数学 2017年高三2017年全国丙卷理科数学 ‎ 理科数学 考试时间:____分钟 题型 单选题 填空题 简答题 总分 得分 单选题 (本大题共12小题,每小题____分,共____分。) ‎ ‎1.已知集合A=,B=,则AB中元素的个数为(          )‎ A. 3‎ B. 2‎ C. 1‎ D. 0‎ ‎2.设复数z满足(1+i)z=2i,则∣z∣=(    )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. 2‎ ‎3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.‎ 根据该折线图,下列结论错误的是(    )‎ A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 ‎4.的展开式中的系数为(         )‎ A. ‎ B. ‎ C. 40‎ D. 80‎ ‎5.已知双曲线C: (a>0,b>0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,则C的方程为(        )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎6.设函数,则下列结论错误的是(       )‎ A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在(,)单调递减 ‎7.执行下面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为(        )‎ A. 5‎ B. 4‎ C. 3‎ D. 2‎ ‎8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(      )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎9.等差数列的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则前6项的和为(       )‎ A. ‎ B. ‎ C. 3‎ D. 8‎ ‎10.已知椭圆C:的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线相切,则C的离心率为(       )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎11.已知函数有唯一零点,则a=(        )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. 1‎ ‎12.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若,则的最大值为(         )‎ A. 3‎ B. 2‎ C. ‎ D. 2‎ 填空题 (本大题共4小题,每小题____分,共____分。) ‎ ‎13.若,满足约束条件,则的最小值为__________.‎ ‎14.设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3,则a4 = ___________.‎ ‎15.设函数,则满足的x的取值范围是_________.‎ ‎16.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:‎ ‎①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;‎ ‎②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°;‎ ‎④直线AB与a所成角的最大值为60°.‎ 其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号)‎ 简答题(综合题) (本大题共7小题,每小题____分,共____分。) ‎ ‎17.(12分)‎ 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,a=2,b=2.‎ ‎(1)求c;‎ ‎(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求△ABD的面积.‎ ‎18.(12分)‎ 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃‎ ‎)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.‎ ‎(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?‎ ‎19.(12分)‎ 如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.‎ ‎(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;‎ ‎(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D–AE–C的余弦值.‎ ‎20.(12分)‎ 已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.‎ ‎(1)证明:坐标原点O在圆M上;‎ ‎(2)设圆M过点,求直线l与圆M的方程.‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)若,求a的值;‎ ‎(2)设m为整数,且对于任意正整数n,,求m的最小值.‎ ‎22.选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎[选修44:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,M为l3与C的交点,求M的极径.‎ ‎23.选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎[选修45:不等式选讲](10分)‎ 已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥1的解集;‎ ‎(2)若不等式的解集非空,求m的取值范围.‎ 答案 单选题 ‎ ‎1.  B 2.  C 3.  A 4.  C 5.  B 6.  D 7.  D 8.  B 9.  A 10.  A 11.  C 12.  A ‎ 填空题 ‎ ‎13.  ‎ ‎14.  ‎ ‎15.  ‎ ‎16.  ‎ ‎②③.‎ 简答题 ‎ ‎17.  ‎ ‎(1)    (2) ‎ ‎18.  ‎ ‎(1)分布列略;(2) n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.‎ ‎19.  ‎ ‎(1)证明略;(2) .‎ ‎20.  ‎ ‎(1)证明略;(2)见解析 ‎21.  ‎ ‎(1)a=1;   (2) 3‎ ‎22.  ‎ ‎(1);(2)‎ ‎23.  ‎ ‎(1);(2)‎ 解析 单选题 ‎ ‎1.  ‎ 由题意可得:圆与直线相交于两点,,则中 有2个元素.故选B.‎ ‎2.  ‎ 由题意可得,由复数求模的法则可得,则.故选C.‎ ‎3.  ‎ 由折线图,每年7月到8月折线图呈下降趋势,月接待游客量减少,选项A说法错误.故选A.‎ ‎4.  ‎ 由展开式的通项公式可得:当时,展开式的系数为,‎ 当时,展开式的系数为,‎ 则的系数为80-40=40,故选C.‎ ‎5.  ‎ 双曲线C: (a>0,b>0)的渐近线方程为 ,‎ 椭圆中: ,椭圆,双曲线的焦点为 ,‎ 据此可得双曲线中的方程组: ,解得: ,‎ 则双曲线 的方程为 .‎ ‎6.  ‎ 当 时, ,函数在该区间内不单调.故选D.‎ ‎7.  ‎ 阅读程序框图,程序运行如下:‎ 首先初始化数值:,然后进入循环体:‎ 此时应满足,执行循环语句:;‎ 此时应满足,执行循环语句:;‎ 此时满足,可以跳出循环,则输入的正整数N的最小值为2.‎ 故选D.‎ ‎8.  ‎ 绘制圆柱的轴截面如图所示,由题意可得:,‎ 结合勾股定理,底面半径,‎ 由圆柱的体积公式,可得圆柱的体积是,故选B.‎ ‎9.  ‎ 设等差数列的公差为,且,,,又,所以,,故选A.‎ ‎10.  ‎ 以线段为直径的圆是,直线与圆相切,所以圆心到直线的距离,整理为,即,即 ,,故选A.‎ ‎11.  ‎ 函数的零点满足,‎ 设,则,‎ 当时,,当时,,函数 单调递减,‎ 当时,,函数 单调递增,‎ 当时,函数取得最小值,‎ 设 ,当时,函数取得最小值 ,‎ 若,函数与函数没有交点,‎ 当,时,此时函数与函数有一个交点,‎ 即,解得,故选C.‎ ‎12.  ‎ 如图,建立平面直角坐标系.‎ 设,‎ 易得圆的半径,即圆C的方程是,‎ ‎,若满足,‎ 则 ,,所以,‎ 设,即,点在圆上,‎ 所以圆心到直线的距离,即,解得,‎ 所以的最大值是3,即的最大值是3,故选A.‎ 填空题 ‎ ‎13.  ‎ 作出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示.‎ 目标函数即,易知直线在轴上的截距最大时,目标函数取得最小值,数形结合可得目标函数在点处取得最小值,为.‎ ‎14.  ‎ 由题意可得: ,解得: ,则 ‎15.  ‎ 由题意:  ,函数 在区间 三段区间内均单调递增,且 ,‎ 可知x的取值范围是: .‎ ‎16.  ‎ 由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由,即AC垂直底面,在底面内可以过点B,作,交底面圆C于D,如图,连结DE,则,所以,连接AD,等腰△ABD中,,当直线AB与a成60º时,∠ABD=60º,故,又在Rt△BDE中,BE=2,,过点B作BF//DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,所以△ABF为等边三角形,∠ABF=60º,即②正确,①错误,由最小角定理可知③正确,很明显,可以满足平面ABC⊥直线a,直线AB与a成的最大角为90º,④错误 简答题 ‎ ‎17.  ‎ ‎(1)由已知得   ,所以 .‎ 在 △ABC中,由余弦定理得  ,即 .‎ 解得: (舍去), .‎ ‎(2)有题设可得 故△ABD面积与△ACD面积的比值为 又△ABC的面积为 ‎18.  ‎ ‎(1)由题意知,所有可能取值为200,300,500,由表格数据知 ‎,,.‎ 因此的分布列为 ‎(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑.‎ 当时,‎ 若最高气温不低于25,则;‎ 若最高气温位于区间,则;‎ 若最高气温低于20,则;‎ 因此.‎ 当时,‎ 若最高气温不低于20,则;‎ 若最高气温低于20,则;‎ 因此.‎ 所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.‎ ‎19.  ‎ ‎(1)由题设可得,,从而.‎ 又是直角三角形,所以.‎ 取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.‎ 又由于是正三角形,故.‎ 所以为二面角的平面角.‎ 在中,.‎ 又,所以,‎ 故.‎ 所以平面ACD⊥平面ABC.‎ ‎(2)由题设及(1)知,两两垂直,以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.则.‎ 由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,即E为DB的中点,得.‎ 故.‎ 设是平面DAE的法向量,则即 可取.‎ 设是平面AEC的法向量,则同理可取.‎ 则.‎ 所以二面角D-AE-C的余弦值为.‎ ‎20.  ‎ ‎(1)设 由可得 又=4‎ 因此OA的斜率与OB的斜率之积为 所以OA⊥OB,‎ 故坐标原点O在圆M上.‎ ‎(2)由(1)可得.‎ 故圆心的坐标为,圆的半径.‎ 由于圆过点,因此,故,‎ 即,‎ 由(1)可得.‎ 所以,解得或.‎ 当时,直线的方程为,圆心的坐标为,圆的半径为,圆的方程为.‎ 当时,直线的方程为,圆心的坐标为,圆的半径为,圆 的方程为.‎ ‎21.  ‎ ‎(1)的定义域为.‎ ‎①若,因为,所以不满足题意;‎ ‎②若,由知,当时,;当时,,所以在单调递减,在单调递增,故x=a是在的唯一最小值点.‎ 由于,所以当且仅当a=1时,.故a=1.‎ ‎(2)由(1)知当时,.‎ 令得.从而 ‎.‎ 故.‎ 而,所以的最小值为.‎ ‎22.  ‎ ‎(1)消去参数得的普通方程;消去参数m得l2的普通方程.‎ 设,由题设得,消去k得.‎ 所以C的普通方程为.‎ ‎(2)C的极坐标方程为.‎ 联立得.‎ 故,从而.‎ 代入得,所以交点M的极径为.‎ ‎23.  ‎ ‎(1)‎ 当时,无解;‎ 当时,由得,,解得 当时,由解得.‎ 所以的解集为.‎ ‎(2)由得,而 且当时,.‎ 故m的取值范围为