高考数学新题型 23页

‎　‎ 高考数学新题型选编（共70个题）‎ ‎1、（Ⅰ）已知函数：求函数的最小值;‎ ‎（Ⅱ）证明:；‎ ‎（Ⅲ）定理:若 均为正数,则有 成立 ‎(其中．请你构造一个函数，证明：‎ 当均为正数时，．‎ 解：（Ⅰ）令得…2分 当时，　 　故在上递减．‎ 当故在上递增．所以，当时，的最小值为.….4分 ‎（Ⅱ）由，有　即 故　．………………………………………5分 ‎（Ⅲ）证明:要证： ‎ 只要证：‎ ‎ 设…………………7分 则 令得…………………………………………………….8分 当时，‎ 故上递减，类似地可证递增 所以的最小值为………………10分 而 ‎=‎ ‎==‎ 由定理知: 故 故 ‎ 即: .…………………………..14分 ‎2、用类比推理的方法填表 ‎ 等差数列中 等比数列中 答案：‎ ‎3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：‎ ‎（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于 A．n B．n+1 C．n -1 D． 答案：D ‎4、若为的各位数字之和，如：，，则;记____‎ 答案：5‎ ‎5、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。‎ a a a a a a ‎（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；‎ ‎（2）若SA面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小；‎ ‎（3）求点D到面SEC的距离。‎ ‎（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）………………3分 证明：且AB、AD是面ABCD内的交线SA底面ABCD……………………5分 ‎（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，‎ 则GF//EA,GF=EA,AF//EG 而由SA面ABCD得SACD，‎ 又ADCD，CD面SAD，‎ 又SA=AD,F是中点， ‎ ‎ 面SCD,EG面SCD,面SCD 所以二面角E-SC-D的大小为90…………10分 ‎(3)作DHSC于H，‎ ‎ 面SEC面SCD,DH面SEC,‎ DH之长即为点D到面SEC的距离，12分 在RtSCD中，‎ 答：点D到面SEC的距离为………………………14分 ‎6、一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列，结果表明：①从A口输入时，从B口得；②当时，从A口输入，从B口得到的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇数。试问：‎ （1） 从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？‎ （2） 从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由。‎ 解（1） ‎ ‎ （2）先用累乖法得 得 ‎7、在△ABC中，，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：‎ 条件 方程 ‎①△ABC周长为10‎ ‎：‎ ‎②△ABC面积为10‎ ‎：‎ ‎③△ABC中，∠A=90°‎ ‎：‎ 则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为 （用代号、、填入）‎ 答案：‎ ‎8、已知两个函数和的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表. ‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ f（x）‎ ‎ 2‎ ‎3‎ ‎1‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ g（x）‎ ‎ 1‎ ‎3‎ ‎2‎ 填写下列的表格,其三个数依次为 x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ g (f（x）)‎ ‎ ‎ A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1‎ 答案：D ‎9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：‎ ‎ 当时，；‎ ‎ 当时，。‎ ‎ 则函数的最大值等于（ C ）‎ ‎ （“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A. B. 1 C. 6 D. 12‎ ‎10、已知，［x］表示不大于x的最大整数，如，，，则_____________；使成立的x的取值范围是_____________ 答案：2‎ ‎11、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线上”‎ 这个课题，我们可以分三步进行研究：‎ ‎ （I）首先选取如下函数：‎ ‎ ，，‎ ‎ 求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：‎ ‎ 与其反函数的交点坐标为（－1，－1）‎ ‎ 与其反函数的交点坐标为（0，0），（1，1）‎ ‎ 与其反函数的交点坐标为（），（－1，0），（0，－1）‎ ‎ （II）观察分析上述结果得到研究结论；‎ ‎ （III）对得到的结论进行证明。‎ ‎ 现在，请你完成（II）和（III）。‎ 解：（II）原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y＝x上 2分 ‎ （III）证明：设点（a，b）是的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线y＝x对称，则点（b，a）也是的图象与其反函数图象的交点，且有 ‎ ‎ ‎ 若a＝b时，交点显然在直线上 ‎ 若a2时，W1>W2，此时，把a单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a=2时，W1=W2，此时，两种清洗方式效果相同；当a<2时，W10)上变化，求x2+2y的最大值；‎ ‎（3）由能否确定一个函数关系式，如能，求解析式；如不能，再加什么条件就可使之间建立函数关系，并求出解析式。‎ 解：（1） （4分）‎ ‎（2）根据得 （5分）‎ ‎ （7分）‎ ‎ （10分）‎ ‎（2）不能 （11分）‎ ‎ 如再加条件就可使之间建立函数关系 （12分）‎ 解析式 （14分）‎ ‎（不唯一，也可其它答案）‎ ‎32、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的。已知一个铁钉受击次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实事中提炼出一个不等式组是 。‎ ‎33、已知，记，（其中），例如：‎ ‎ 。设，且满足，则有序数组 是 。 ‎ ‎34、（12′=9′+3′）（理）设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式 对任意恒成立的的集合。（1）求；（2）试写出一个解集为的不等式。‎ ‎（文）设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式对任意恒成立的的集合。（1）求；（2）试写出一个解集为的不等式。‎ 解：（理）（1）∵幂函数在上是增函数，∴，即，‎ ‎ 又不等式对任意恒成立，∴，即，‎ ‎ ∴ 。‎ ‎ （2）一个解集为的不等式可以是 。‎ ‎ （文）（1）∵幂函数在上是增函数，∴，即，‎ ‎ 又不等式对任意恒成立，∴，即，‎ ‎ ∴ 。‎ ‎ （2）一个解集为的不等式可以是 。‎ ‎35、（理）已知为正常数。‎ ‎ （1）可以证明：定理“若、，则（当且仅当时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；‎ ‎ （2）若在上恒成立，且函数的最大值大于，求实数的取值范围，并由此猜测的单调性（无需证明）；‎ ‎ （3）对满足（2）的条件的一个常数，设时，取得最大值。试构造一个定义在上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。‎ 解：（1）若、、，则（当且仅当时取等号）。‎ ‎ （2）在上恒成立，即在上恒成立，‎ ‎∵，∴，即，‎ 又∵‎ ‎∴，即时，‎ ‎，‎ 又∵，∴。 综上，得 。‎ ‎ 易知，是奇函数，∵时，函数有最大值，∴时，函数有最小值。‎ 故猜测：时，单调递减；时，单调递增。‎ ‎（3）依题意，只需构造以为周期的周期函数即可。‎ ‎ 如对，，此时，‎ ‎ 即 。‎ ‎（文）已知函数，，‎ ‎（Ⅰ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是的最小值；‎ ‎（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。‎ 解：（Ⅰ）当时，，‎ 若，，则在上单调递减，不符题意。‎ 故，要使在上单调递增，必须满足 ，∴ 。‎ ‎（Ⅱ）若，，则无最大值，故，∴为二次函数，‎ 要使有最大值，必须满足，即且，‎ 此时，时，有最大值。‎ 又取最小值时，，依题意，有，则，‎ ‎∵且，∴，得，此时或。‎ ‎∴满足条件的实数对是。‎ ‎（Ⅲ）当实数对是时，‎ 依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。‎ 如对，，‎ 此时，，‎ 故。‎ ‎36、有穷数列{an}，Sn为其前n项和，定义为数列{an}的“凯森和”， ‎ ‎ 如果有99项的数列a1、a2、a3、…、a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列 ‎ 1、a1、a2、a3、a4、…a99的“凯森和”= 991 。‎ ‎37、先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：‎ ‎ 已知，，求证，‎ ‎ 证明：构造函数 ‎ ‎ ‎ 因为对一切xÎR，恒有≥0，所以≤0,‎ ‎ 从而得，‎ ‎ （1）若，，请写出上述结论的推广式；‎ ‎ （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。‎ 解：（1）若，，‎ 求证： (4¢)‎ ‎（2）证明：构造函数 (6¢)‎ ‎ (9¢)‎ ‎ (11¢)‎ ‎ 因为对一切xÎR，都有≥0，所以△=≤0,‎ ‎ 从而证得：. (14¢)‎ ‎38、已知两个向量， .‎ ‎（1）若t=1且，求实数x的值；‎ ‎（2）对tÎR写出函数具备的性质.‎ 解：（1）由已知得 ……2分 ‎ ……4分 解得，或 ……6分 ‎（2） ……8分 具备的性质：‎ ‎①偶函数；‎ ‎②当即时，取得最小值（写出值域为也可）；‎ ‎③单调性：在上递减，上递增；由对称性，在上递增，在递减 ……14分 说明：写出一个性质得3分，写出两个性质得5分，写出三个性质得6分，包括写出函数的零点（，）等皆可。写出函数的定义域不得分，写错扣1分 ‎39、对于集合N={1, 2, 3,…, n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn= n .2n–1 。(不必给出证明)‎ ‎40、若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆有。类似地，对于双曲线有= 。‎ ‎41、已知 ‎（1）, 求的最小值 ‎（2）P、Q关于点（1，2）对称，若点P在曲线C上移动时，点Q的轨迹是函数的图象，求曲线C的轨迹方程。‎ ‎（3）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从可抽象出的性质，试分别写出一个具体的函数，抽象出下列相应的性质 由 可抽象出 由 可抽象出 ‎(1) …………3’‎ 等号当x=2时成立， …………………………4’‎ ‎(2)设P(x,y)则Q(2-x,4-y)………………………………………………5’‎ 由4－y=lg(2－x)可得：y=4－lg(2－x)………………………………８’‎ ‎(3) h(x)=_______y=2x等_______, ９’ φ(x)=____y=lgx等__11’‎ ‎42、已知函数的最大值为正实数，集合 ‎，集合。‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）定义与的差集：且。‎ 设，，均为整数，且。为取自的概率，为取自 的概率，写出与的二组值，使，。‎ ‎（3）若函数中，， 是（2）中较大的一组，试写出在区间[,n]上的最大值函数的表达式。 ‎ 答案：（1）∵，配方得，由得最大值。……………………………………………………………3分 ‎ ∴，。…………………………6分 ‎ （2）要使，。可以使①中有3个元素，中有2个元素， 中有1个元素。则。…………………………………………………9分 ‎②中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。则…………………………………………………………………………12分 ‎（3）由（2）知…………………………13分 ‎ ………………………………………………18分 ‎43、在数学拓展课上，老师规定了一种运算:a*b= ,例如：1*2=1，3*2=2，则函数的值域为。‎ ‎44、已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N）‎ ‎ 顺次为一次函数图象上的点，‎ ‎ 点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N）‎ ‎ 顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），‎ ‎ 对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成以 ‎ Bn为顶点的等腰三角形。‎ ‎⑴求{yn}的通项公式，且证明{yn}是等差数列；‎ ‎⑵试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列{xn}的通项公式；‎ ‎ ⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在， 请说明理由。‎ 解：（1）(nÎN),yn+1-yn=,∴{yn}为等差数列 (4¢)‎ ‎ （2）xn+1-xn=2为常数 (6¢) ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…，x2n都是公差为2的等差数列，‎ ‎ ∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a，x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，‎ ‎ ∴xn= (10¢)‎ ‎ （3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2=2()Þxn+1-xn=2()‎ ‎ 当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).‎ ‎ Þ2(1-a)=2() Þa=(n为奇数，0＜a＜1) (*)‎ ‎ 取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，则(*)无解； (14¢)‎ ‎ 当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.‎ ‎ ∴2a=2()Þa=(n为偶数，0＜a＜1) (*¢)，取n=2，得a=,‎ ‎ 若n≥4，则(*¢)无解.‎ ‎ 综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、. (18¢)‎ ‎45、⑴证明：当a＞1时，不等式成立。‎ ‎⑵要使上述不等式成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。‎ ‎ ⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。‎ 解：（1）证：,∵a＞1，∴＞0，‎ ‎ ∴原不等式成立 (6¢)‎ ‎ （2）∵a-1与a5-1同号对任何a＞0且a¹1恒成立，∴上述不等式的条件可放宽 ‎ 为a＞0且a¹1 (9¢)‎ ‎ （3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a＞0且a¹1，m＞n＞0，则有(12¢)‎ ‎ 证：左式-右式= (14¢)‎ ‎ 若a＞1，则由m＞n＞0Þam-n＞0,am+n＞0Þ不等式成立；‎ ‎ 若0＜a＜1，则由m＞n＞0Þ0＜am-n＜1, 0＜am+n＜1Þ不等式成立.(16¢)‎ ‎46、为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：‎ ‎ ‎ ‎ 明文 密文 密文 明文，‎ ‎ 现在加密密钥为y=loga(x+2)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，‎ ‎ 再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密 ‎ 后得到明文为 14 。‎ ‎47、规定a△b=，a, b，若1△k=3，则函数f(x)=k△x的值域为 (1,+¥ ) ‎ ‎48、同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；‎ ‎ 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语 ‎ 言描述为：若有限数列 满足，则 ‎ ‎ （结论用数学式子表示）.‎ 和 ‎49、已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；‎ ‎（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ ‎ ‎[解]（1）. …… 4分 ‎ （2）， …… 8分 ‎ ，‎ ‎ 当时，. …… 12分 ‎ （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. …… 14分 研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.…… 16分 研究的结论可以是：由，‎ ‎ 依次类推可得 ‎ ‎ 当时，的取值范围为等. …… 18分 ‎50、定义一种运算“*”，对于，满足以下运算性质：‎ ‎① ；② 。则的数值为_____3004_____。‎ ‎51、已知命题：平面上一矩形的对角线与边和 ‎ 所成角分别为，则。若把它推广到空 ‎ 间长方体中，试写出相应的命题形式：____________________‎ ‎ _____________________________________________________。‎ 长方体中，对角线与棱所成的角分别为，则，。或是：长方体中，对角线与平面所成的角分别为，则，。或是：长方体中，对角面与平面所成的二面角分别为，则。‎ ‎52、如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差． (1)设数列是公方差为的等方差数列，求和的关系式； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列； (3) 设数列是首项为，公方差为的等方差数列，若将这种顺 序的排列作为某种密码，求这种密码的个数．‎ ‎(1)解：由等方差数列的定义可知：………………5分 ‎(2)证法一：∵是等差数列，设公差为，则 又是等方差数列，∴………………………………7分 ∴ 即， …………………………………10分 ∴，即是常数列．…………………………………………………11分 证法二：∵是等差数列，设公差为，则…… 又是等方差数列，设公方差为，则………………7分 代入得，…… 同理有，…… 两式相减得：即，…………………………………10分 ∴，即是常数列．………………………………………………11分 证法三：（接证法二、）‎ 由、得出：若，则是常数列 …………………8分 若， 则 是常数, ∴，矛盾…………10分 ‎∴ 是常数列． …………………11分 (3)依题意， ，‎ ‎， ∴，或， ……………………………13分 即该密码的第一个数确定的方法数是，其余每个数都有“正”或“负”两种 确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是种， 故，这种密码共种．…………………………………………………16分 ‎53、已知函数，当点在的图像上移动时，‎ 点在函数的图像上移动．‎ ‎（1） 若点P坐标为（），点Q也在的图像上，求的值；‎ ‎（2） 求函数的解析式；‎ ‎（3） 当时，试探求一个函数使得在限定定义域为 时有最小值而没有最大值．‎ 解：（1）当点坐标为（），点的坐标为，…………2分 ∵点也在的图像上，∴，即．……5分 ‎（根据函数的单调性求得，请相应给分） （2）设在的图像上 则，即 ……………………………………8分 而在的图像上，∴ 代入得，为所求．…………………………………11分 ‎（3）；或 等． …………………15分 如：当时，‎ ‎∵在单调递减， ∴ 故 ， 即有最小值，但没有最大值．………………………18分 ‎（其他答案请相应给分）‎ ‎（参考思路）在探求时，要考虑以下因素：①在上必须有意义（否则不能参加与的和运算）；②由于和都是以为底的对数，所以构造的函数可以是以为底的对数，这样与和进行的运算转化为真数的乘积运算；③以为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；④为方便起见，可以考虑通过乘积消去；⑤乘积的结果可以是的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线的左侧（否则真数会有最小值，对数就有最大值了），考虑到该二次函数的图像与轴已有了一个公共点，故对称轴又应该是 轴或在轴的右侧（否则该二次函数的值在上的值不能恒为正数），即若抛物线与轴的另一个公共点是，则，且抛物线开口向下．‎ ‎54、如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数时，输出结果记为，且计算装置运算原理如下：‎ ① 若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则；②若Ⅰ输入固定的正整数，‎ Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1，‎ Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。‎ ‎ 试求：‎ ‎ （1）的表达式；（2）的表达式；‎ ‎ （3）若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数，则输出结果能否为2005？‎ 若能，求出相应的；若不能，则请说明理由。‎ 解：（1）‎ ‎ （2）‎ ‎ （3） ，∵，‎ ‎ ∴输出结果不可能为。‎ ‎55、对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。‎ ‎ 对自然数，规定为的阶差分数列，其中。‎ ‎ （1）已知数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？‎ ‎ （2）若数列首项，且满足，求数列的通项公式。‎ ‎ （3）对（2）中数列，是否存在等差数列，使得对一切自然都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。‎ ‎ 解：（1），∴是首项为4，公差为2的等差数列。‎ ‎ ‎ ‎∴是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。‎ ‎ （2），即，即，∴‎ ‎ ∵，∴，，，猜想：‎ ‎ 证明：ⅰ）当时，；‎ ‎ ⅱ）假设时，‎ ‎ 时， 结论也成立 ‎ ∴由ⅰ）、ⅱ）可知，‎ ‎ （3），即 ‎ ‎ ∵‎ ‎ ∴存在等差数列，，使得对一切自然 都成立。‎ ‎56、对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f (x)与g (x)，如果对任意x∈[m，n]均有| f (x) – g (x) |≤1，则称f (x)与g (x)在[m，n]上是接近的，否则称f (x)与g (x)在[m，n]上是非接近的，现有两个函数f 1(x) = loga(x – 3a)与f 2 (x) = loga(a > 0，a≠1)，给定区间[a + 2，a + 3]．‎ ‎ （1）若f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上都有意义，求a的取值范围；‎ ‎ （2）讨论f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是否是接近的？‎ 解：（1）要使f 1 (x)与f 2 (x)有意义，则有 ‎ ‎ ‎ 要使f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上有意义，‎ 等价于真数的最小值大于0‎ 即 ‎ （2）f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的 ‎| f 1 (x) – f 2 (x)|≤1‎ ‎≤1‎ ‎|loga[(x – 3a)(x – a)]|≤1‎ a≤(x – 2a)2 – a2≤‎ 对于任意x∈[a + 2，a + 3]恒成立 设h(x) = (x – 2a)2 – a2，x∈[a + 2，a + 3]‎ 且其对称轴x = 2a < 2在区间[a + 2，a + 3]的左边 当时 f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的 当< a < 1时，f 1 (x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是非接近的．‎ ‎57、已知是定义在－∞，＋∞上的函数，∈－∞，＋∞，请给出能使命题：“若＋1＞0，则＋＞＋”成立的一个充分条件：‎ ‎ ．‎ 已知是定义在－∞，＋∞上的函数，∈－∞，＋∞，请给出能使命题：“若＋1＞0，则＋＞＋”成立的一个充分条件：_______.‎ 答案： 函数在－∞，＋∞上单调递增（或＝＋（＞0）等） ．‎ ‎58、歌德巴赫（Goldbach．C．德．1690—1764）曾研究过“所有形如（，为正整数）的分数之和”问题．为了便于表述，引入记号：‎ ‎＝＋＋┅‎ ‎＋＋┅‎ 写出你对此问题的研究结论： ＝1 （用数学符号表示）．‎ ‎59、集合P＝1，3，5，7，9，┅，2－1，┅∈N，若∈P，∈P时，‎ ‎ ∈P，则运算 可能是（ D ）‎ ‎（A）加法； （B）除法； （C）减法； （D）乘法．‎ ‎60、，，┅，，，，┅，分别表示实数，，┅，中的最小者和最大者．‎ ‎（1）作出函数＝｜＋3｜＋2｜－1｜（∈R）的图像；‎ ‎（2）在求函数＝｜＋3｜＋2｜－1｜（∈R）的最小值时，有如下结论：‎ ‎＝，＝4．请说明此结论成立的理由；‎ ‎（3）仿照（2）中的结论，讨论当，，┅，为实数时，‎ 函数＝＋＋┅＋∈R，＜＜┅＜∈R的最值．‎ 解：（1）图略；‎ ‎（2）当∈（－∞，－3）时，是减函数，‎ 当∈－3，1）时，是减函数，‎ 当∈1，＋∞）时，是增函数，‎ ‎∴＝，＝4．‎ ‎（3）当＋＋┅＋＜0时，＝，，┅，；‎ 当＋＋┅＋＞0时，＝，，┅，；‎ 当＋＋┅＋＝0时，＝，，‎ ‎＝，．‎ ‎61、在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上 和 。‎ 答案：设两数为x、y，即4x＋9y=60，又= ≥，等于当且仅当，且4x＋9y=60，即x=6且y ‎=4时成立，故应分别有6、4。‎ ‎62、我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为斜坐标系．平面上任意一点P的斜坐标定义为：若（其中、分别为斜坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，x、y∈R），则点P的斜坐标为（x, y）.在平面斜坐标系xoy中，若，已知点M的斜坐标为 (1, 2)，则点M到原点O的距离为 . ‎ ‎63、定义运算符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n记作，，其中ai为数列中的第i项.‎ ‎①若，则T4= ；105；‎ ‎②若 . ‎ ‎64、如图2,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点.‎ ‎ （1）求二面角B1-MN-B的正切值；‎ ‎（2）证明：PB⊥平面B1MN；‎ ‎（3）画出该正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形连成一个长方形”的条件.‎ 符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种情况之一.‎ 答案：‎ ‎65、为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，温州市卫生部门对本地区9月份至11月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为 90 万只．‎ 月份 养鸡场（个数）‎ ‎9‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎50‎ ‎11‎ ‎100‎ ‎66、将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.请仿照直角三角形以下性质：‎ ‎（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；‎ ‎（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；‎ ‎（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1.‎ ‎ 写出直角三棱锥相应性质（至少一条）： .‎ 答案：(1) 斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一；‎ ‎（2）三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方；‎ ‎（3）斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于1. ‎ ‎67、定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有 成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件。若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为 。‎ ‎68、已知函数y=f(x)满足f(a-tanθ)=cotθ-1，（其中，a、θ∈R均为常数）‎ ‎（1）求函数y=f(x)的解析式；‎ ‎（2）利用函数y=f(x)构造一个数列{xn}，方法如下：‎ 对于给定的定义域中的x1，令x2= f(x1)，x3= f(x2)，…，xn= f(xn-1)，…‎ 在上述构造过程中，如果xi(i=1,2,3,…)在定义域中，构造数列的过程继续下去；如果xi不在定义域中，则构造数列的过程停止.‎ ① 如果可以用上述方法构造出一个常数列{xn}，求a的取值范围；‎ ② 如果取定义域中的任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求a实数的值.‎ ‎②‎ ‎①‎ 解：（1）令 则 ‎ ‎ ①×②，并整理，得 y=，‎ ‎ ∴y=f(x) =， （x≠a）. ………………………………4分 ‎（2）①根据题意，只需当x≠a时，方程f(x) =x有解，‎ 亦即方程 x2+(1-a)x+1-a=0 有不等于的解.‎ ‎ 将x=a代入方程左边，得左边为1，故方程不可能有解x=a.‎ ‎ 由 △=(1-a)2-4(1-a)≥0，得 a≤-3或a≥1，‎ 即实数a的取值范围是. …………………………9分 ‎②根据题意，=a在R中无解，‎ 亦即当x≠a时，方程(1+a)x=a2+a-1无实数解.‎ 由于x=a不是方程(1+a)x=a2+a-1的解，‎ 所以对于任意x∈R，方程(1+a)x=a2+a-1无实数解，‎ ‎∴ a= -1即为所求a的值. ……………………………………14分 ‎69、已知x>0，由不等式≥2·=2，=≥=3,‎ ‎…，启发我们可以得出推广结论：≥n+1 (n∈N*)，则a=_________ nn ______．‎ ‎70、已知存在实数（其中）使得函数是奇函数，且在上是增函数。‎ ‎（1）试用观察法猜出两组与的值，并验证其符合题意；‎ ‎（2）求出所有符合题意的与的值。‎ 解：（1）猜想：或；--------------------------------4分 由知，而为奇函数且在上是增函数。-------------------------------------------------------------------------6分 由知，而为奇函数且在上是增函数。-------------------------------------------------------------------------------------------8分 ‎（2）由为奇函数，有 所以，又，‎ 解得。-----------------------------------------------------------------------------10分 当时，为奇函数，由于在上是增函数，所以，由，又在上是增函数，故有，且或，故。----------------------------------------------------------------------------12分 当时，为奇函数，由于在上是增函数，所以，由，又在上是增函数，故有，且或2，故 ------------------------------------------------------------14分 所以所有符合题意的与的值为：‎ 或--------------------------------------16分