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- 2021-05-13 发布
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2017年静安区高考数学二模试卷含答案 2017.04
本试卷共有20道试题,满分150分.考试时间120分钟.
一、填空题(55分)本大题共有11题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格填对得5分,否则一律得零分.
1.已知集合,,则________.
2.若实数,满足约束条件则的最大值等于________.
3.已知展开式中的系数为84,则正实数的值为 .
4.盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为________.
5.设为R上的奇函数.当时, (为常数),则的值为________.
6.设分别为直线(为参数)和曲线:(为参数)的点,则的最小值为 .
7.各项均不为零的数列的前项和为. 对任意,
都是直线的法向量.若存在,则实数的取值范围是________.
8.已知正四棱锥的棱长都相等,侧棱、的中点分别为、,则截面与底面所成的二面角的余弦值是________.
9.设,若对于任意的,都有,则的取值范围是________.
10.若适合不等式的的最大值为3,则实数的值为_______.
11.已知,数列满足,对于任意都满足,且,若,则的值为_________.
二、选择题(20分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
12.已知则“”是“”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
13.已知复数满足(是虚数单位),则的虚部为( ).
A. B.-1 C.1 D.-[
14.当时,方程的根的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
15.曲线为:到两定点、距离乘积为常数的动点的轨迹.以下结论正确的个数为( ).
(1)曲线一定经过原点;
(2)曲线关于轴对称,但不关于轴对称;
(3)的面积不大于8;
(4)曲线在一个面积为60的矩形范围内.
A.0 B.1 C.2 D.3
三、解答题(本题满分75分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.
16.(本题满分12分,第1小题6分,第2小题6分)
如图,等腰,,点是的中点,绕所在的边逆时针旋转一周.
(1)求旋转一周所得旋转体的体积和表面积;
(2)设逆时针旋转至,旋转角为,且满足,求.
17.(本题满分14分,第1小题7分,第2小题7分)
设函数.
(1)求函数的最大值和最小正周期;
(2)设、、为的三个内角,若,,求.
18.(本题满分15分,第1小题6分,第2小题9分)
某化工厂从今年一月起,若不改善生产环境,按生产现状,每月收入为70万元,同时将受到环保部门的处罚,第一个月罚3万元,以后每月增加2万元.如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计),一方面可以改善环境,另一方面也可以大大降低原料成本.据测算,添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入是生产时间个月的二次函数(是常数),且前3个月的累计生产净收入可达309万,从第6个月开始,每个月的生产净收入都与第5个月相同.同时,该厂不但不受处罚,而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元.
(1)求前8个月的累计生产净收入的值;
(2)问经过多少个月,投资开始见效,即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入.
19.(本题满分16分,第1小题7分,第2小题9分)
设点、是平面上左、右两个不同的定点,,动点满足:
.
(1)求证:动点的轨迹为椭圆;
(2)抛物线满足:①顶点在椭圆的中心;②焦点与椭圆的右焦点重合.
设抛物线与椭圆的一个交点为.问:是否存在正实数,使得的边长为连续自然数.若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题7分,第3小题7分)
已知等差数列的前项和为,,为整数,且对任意都有.
(1)求的通项公式;
(2)设,(),求的前项和;
(3)在(2)的条件下,若数列满足.是否存在实数,使得数列是单调递增数列.若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
静安区2016学年度第二学期期中教学质量检测
高三数学试卷评分标准与答案
一、1.; 2.12; 3.2;
4.; 5. 6.;
7.; 8.; 9.
10.8; 11..
二、12.A; 13.C; 14.C; 15.B.
三、x
y
z
16.解:(1);﹒﹒﹒3分
﹒﹒3分
(2)如图建立空间直角坐标系,得
,,
由三角比定义,得﹒﹒﹒﹒1分
则,,﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
,得,, ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
所以,.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
16.解:(1)因为
﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分
, ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
所以,函数的最大值为,最小正周期. ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
(2)由,得,﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分
解得,或(舍去). ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
因此,. ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
18.解:(1)据题意,解得,﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
第5个月的净收入为万元,﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
所以,万元.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
(2)
即﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
要想投资开始见效,必须且只需
即﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
当时,
即不成立;﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
当时,即,﹒﹒﹒﹒2分
验算得,时,. ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
所以,经过9个月投资开始见效. ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
19.解:(1)若点构成三角形则
,﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
整理得,即.1分
若点不构成三角形,也满足.1分
所以动点的轨迹为椭圆.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
(2)动点的轨迹方程为. ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
抛物线的焦点坐标为与椭圆的右焦点重合.
假设存在实数,使得的边长为连续自然数.
因为,
不妨设|,. ﹒﹒﹒﹒﹒2分
由抛物线的定义可知,解得,﹒﹒﹒﹒﹒1分
设点的坐标为,
﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
整理得,解得或.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
所以存在实数,使得的边长为连续自然数.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
20.解:(1)设的公差为,由题意得,﹒ ﹒﹒﹒2分
﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
. ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
(2)当为偶数时,. ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
① 当为奇数时,
.
当时也符合上式. ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分
② 当为偶数时, ﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
(3)
由题意得,对任意都成立,
① 当为奇数时,,
当时,,﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分
② 当为偶数时,,
当2时,,.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分
综上:.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分