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- 2021-05-13 发布
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2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(文科B卷)
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设为虚数单位,则复数
A. B. C. D.
2.设集合,,则
A. B. C. D.
3.若向量,则
A. B. C. D.
4.下列函数为偶函数的是
A. B. C. D.
5.已知变量满足约束条件则的最小值为
A. B. C. D
6.在中,若,,,则
A. B. C. D.
7.某几何体的三视图如图1所示,它的体积为
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中,直线与圆相交
于、两点,则弦的长等于
A. B. C. D.
9.执行如图2所示的程序框图,若输入的值为6,则输出的值为
A. B. C. D.
10.对任意两个非零的平面向量,定义.若平面向量满足,
与的夹角,且和都在集合中,则
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共5小题.考生作答4小题.每小题5分,满分20分.
(一)必做题(11~13题)
11.函数的定义域为________________________.
12.若等比数列满足,则_______________.
13.由整数组成的一组数据其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据位_______________________.(从小到大排列)
(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)
在平面直角坐标系中中,曲线和曲线的
参数方程分别为(为参数,)和(为参数),则曲线和曲线的交点坐标为 .
15.(几何证明选讲选做题)
如图3,直线PB与圆相切与点B,D是弦AC上的点,,若,则AB= .
图3
O
A
B
C
P
D
·
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数,且.
(1) 求的值;
(2) 设,,求的值.
17.(本小题满分13分)
某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:
,,,,.
(1) 求图中a的值
(2) 根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数
之比如下表所示,求数学成绩在之外的人数.
分数段
x:y
1:1
2:1
3:4
4:5
18.(本小题满分13分)
如图5所示,在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF=AB,PH为PAD中AD边上的高.
(1) 证明:PH平面ABCD;
(2) 若PH=1,AD=,FC=1,求三棱锥E-BCF的体积;
(3) 证明:EF平面PAB.
19.(本小题满分14分)
设数列的前项和,数列的前项和为,满足.
(1) 求的值;
(2) 求数列的通项公式.
20. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,已知椭圆的左焦点为,且点在上.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设直线与椭圆和抛物线相切,求直线的方程.
21. (本小题满分14分)
设,集合,,.
(1) 求集合(用区间表示);
(2) 求函数在内的极值点.
2012广东高考数学答案
1-5 DAADC 6-10 BCBCD
11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15
16. 解:(1),解得
(2),即
,即
因为,所以,
所以
17. 解:(1)依题意得,,解得
(2)这100名学生语文成绩的平均分为:(分)
(3)数学成绩在的人数为:
数学成绩在的人数为:
数学成绩在的人数为:
数学成绩在的人数为:
所以数学成绩在之外的人数为:
18. 解:(1)证明:因为平面, 所以
因为为△中边上的高 所以
因为
所以平面
(2)连结,取中点,连结
因为是的中点, 所以
因为平面 所以平面
则
(3)证明:取中点,连结,
因为是的中点
所以
因为 所以
所以四边形是平行四边形 所以
因为 所以
因为平面, 所以
因为 所以平面
所以平面
19. 解:(1)当时,
因为,所以,求得
(2)当时,
所以 ①
所以 ②
②①得
所以,即
求得,,则
所以是以3为首项,2为公比的等比数列
所以
所以,
20. 解:(1)因为椭圆的左焦点为,所以,
点代入椭圆,得,即,
所以
所以椭圆的方程为.
(2)直线的斜率显然存在,设直线的方程为,
,消去并整理得
因为直线与椭圆相切,所以
整理得 ①
,消去并整理得
因为直线与抛物线相切,所以
整理得 ②
综合①②,解得或
所以直线的方程为或
21. 解:(1)令
① 当时,,方程的两个根分别为,
所以的解集为
因为,
所以
② 当时,,则恒成立,所以
综上所述,当时,;
当时,
(2),
令,得或
① 当时,由(1)知
因为,
所以,
所以随的变化情况如下表:
0
↗
极大值
↘
↗
所以的极大值点为,没有极小值点
② 当时,由(1)知
所以随的变化情况如下表:
0
0
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以的极大值点为,极小值点为
综上所述,当时,有一个极大值点,没有极小值点;
当时,有一个极大值点,一个极小值点