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- 2021-05-13 发布
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2015年河北省保定市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)
1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=,n∈A},则A∩B的子集个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 16
2.已知p:α是第一象限角,q:α<,则p是q的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知i是虚数单位,则=( )
A. 1 B. i C. ﹣i D. ﹣1
4.sin15°﹣cos15°=( )
A. B. C. ﹣ D. ﹣
5.在边长为4的正方形ABCD内任取一点M,则∠AMB>90°的概率为( )
A. B. 1﹣ C. D. 1﹣
6.一简单组合体的三视图如图,则该组合体的表面积为( )
A. 38 B. 38﹣2 C. 38+2 D. 12﹣π
7.已知函数f(x+2)是R上的偶函数,当x>2时,f(x)=x2+1,则当x<2时,f(x)=( )
A. x2+1 B. x2﹣8x+5 C. x2+4x+5 D. x2﹣8x+17
8.设向量,满足||=||=|+|=1,则|﹣t|(t∈R)的最小值为( )
A. 2 B. C. 1 D.
9.执行如图的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是( )
A. x B. s C. s D. x
10.已知x,y满足,则使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为( )
A. (2,﹣2) B. (﹣4,0) C. (4,0) D. (7,3)
11.司机甲、乙加油习惯不同,甲每次加定量的油,乙每次加固定钱数的油,恰有两次甲、乙同时加同单价的油,但这两次的油价不同,则从这两次加油的均价角度分析( )
A. 甲合适 B. 乙合适
C. 油价先高后低甲合适 D. 油价先低后高甲合适
12.设等差数列{an}满足a1=1,an>0(n∈N*),其前n项和为Sn,若数列{}也为等差数列,则的最大值是( )
A. 310 B. 212 C. 180 D. 121
二、填空题(共4小题,每小题3分,满分12分)
13.双曲线2x2﹣y2=1的离心率为 .
14.已知公比为q的等比数列{an},满足a1+a2+a3=﹣8,a4+a5+a6=4,则= .
15.若直线y=kx与曲线y=x2+x所围成的封闭图形的面积为,则k= .
16.由5个元素的构成的集合M={4,3,﹣1,0,1},记M的所有非空子集为M1,M2,…,Mn,每一个Mi(i=1,2,…,31)中所有元素的积为mi(若集合中只有一个元素时,规定其积等于该元素本身),则m1+m2+…+m33= .
三、解答题(共8小题,满分0分)
17.已知函数f(x)=sinxcos(x﹣)+cos2x
(1)求函数f(x)的最大值;
(2)已知△ABC的面积为,且角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=,b+c=5,求a的值.
18.小明参加某项资格测试,现有10道题,其中6道客观题,4道主观题,小明需从10道题中任取3道题作答
(1)求小明至少取到1道主观题的概率
(2)若取的3道题中有2道客观题,1道主观题,设小明答对每道客观题的概率都是,答对每道主观题的概率都是,且各题答对与否相互独立,设X表示小明答对题的个数,求x的分布列和数学期望.
19.如图,已知矩形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点,将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM,连结BM
(1)求证:AD⊥BM;
(2)若点E是线段DB上的一动点,问点E在何位置时,三棱锥M﹣ADE的体积为;
(3)求二面角A﹣DM﹣C的正弦值.
20.已知椭圆+=1,(a>b>0)的短轴长为2,离心率为,过右焦点F的直线l交椭圆与P,Q两点
(1)求椭圆的方程
(2)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得(+)•(﹣)=0?若存在,求出m的取值范围,若不存在,说明理由.
21.已知函数f(x)=ex﹣ax+a,其中a∈R,e为自然对数的底数.
(1)讨论函数f(x)的单调性,并写出对应的单调区间;
(2)设b∈R,若函数f(x)≥b对任意x∈R都成立,求ab的最大值.
22.如图所示,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.
(Ⅰ)求证:AD∥EC;
(Ⅱ)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.
23.已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ(其中坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)
(1)写出曲线C的直角坐标方程
(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围.
24.设函数f(x)=|x﹣a|+1,a∈R
(1)当a=4时,解不等式f(x)<1+|2x+1|;
(2)若f(x)≤2的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证:m+2n≥3+2.
2015年河北省保定市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)
1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=,n∈A},则A∩B的子集个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 16
考点: 交集及其运算.
专题: 集合.
分析: 把A中元素代入B中计算确定出B,进而求出A与B的交集,找出交集的子集个数即可.
解答: 解:把x=1,2,3,4分别代入得:B={1,,,2},
∵A={1,2,3,4},
∴A∩B={1,2},
则A∩B的子集个数是22=4.
故选:C.
点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2.已知p:α是第一象限角,q:α<,则p是q的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题: 简易逻辑.
分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
解答: 解:若α=,满足在第一象限,但α<不成立,
若α=0,满足α<,但α在第一象限不成立,
故p是q的既不充分也不必要条件,
故选:D
点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据角与象限之间的关系是解决本题的关键.
3.已知i是虚数单位,则=( )
A. 1 B. i C. ﹣i D. ﹣1
考点: 复数代数形式的乘除运算.
专题: 数系的扩充和复数.
分析: 利用复数的运算法则即可得出.
解答: 解:==﹣1,
故选:D.
点评: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题.
4.sin15°﹣cos15°=( )
A. B. C. ﹣ D. ﹣
考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的化简求值.
专题: 三角函数的求值.
分析: 利用两角和差的正弦公式,进行化简即可.
解答: 解:sin15°﹣cos15°=sin(15°﹣45°)==﹣,
故选:C.
点评: 本题主要考查三角函数值的计算,利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键.
5.在边长为4的正方形ABCD内任取一点M,则∠AMB>90°的概率为( )
A. B. 1﹣ C. D. 1﹣
考点: 几何概型.
专题: 概率与统计.
分析: 画出满足条件的图形,结合图形分析,找出满足条件的点集对应的图形面积,及图形的总面积.
解答: 解:如图正方形的边长为4:
图中白色区域是以AB为直径的半圆
当P落在半圆内时,∠APB>90°;
当P落在半圆上时,∠APB=90°;
当P落在半圆外时,∠APB<90°;
故使∠AMB>90°的概率P===.
故选:A.
点评: 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N(A),再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据P=求解.
6.一简单组合体的三视图如图,则该组合体的表面积为( )
A. 38 B. 38﹣2 C. 38+2 D. 12﹣π
考点: 由三视图求面积、体积.
专题: 计算题;空间位置关系与距离.
分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是长方体的中间去掉一个圆柱的组合体,求出它的表面积即可.
解答: 解:根据几何体的三视图,得;
该几何体是长方体的中间去掉一个圆柱的组合体,
且长方体的长为4,宽为3,高为1,
圆柱的底面圆半径为1,高为1;
所以该组合体的表面积为
S长方体﹣2S底面圆+S圆柱侧面=2(4×3+4×1+3×1)﹣2×π×12+2×π×1×1=38.
故选:A.
点评: 本题考查了利用空间几何体的三视图求组合体的表面积的应用问题,是基础题目.
7.已知函数f(x+2)是R上的偶函数,当x>2时,f(x)=x2+1,则当x<2时,f(x)=( )
A. x2+1 B. x2﹣8x+5 C. x2+4x+5 D. x2﹣8x+17
考点: 函数奇偶性的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 先由函数f(x+2)是R上的偶函数,求出对称轴,然后将所求区间利用运算转化到已知区间上,代入到x>2时,求解函数的解析式.
解答: 解:∵函数f(x+2)是R上的偶函数,函数关于x=2对称,可得f(x)=f(4﹣x),
∵x>2时,f(x)=x2+1,
由x<2时,﹣x>2,4﹣x>6,可得∴f(4﹣x)=(4﹣x)2+1=x2﹣8x+17,
∵f(x)=f(4﹣x)=x2﹣8x+17.
故选:D.
点评: 本题考查了函数奇偶性的性质,以及将未知转化为已知的转化化归思想,是个中档题.
8.设向量,满足||=||=|+|=1,则|﹣t|(t∈R)的最小值为( )
A. 2 B. C. 1 D.
考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.
专题: 平面向量及应用.
分析: 由题意易得向量的夹角,进而由二次函数可得|﹣t|2的最小值,开方可得.
解答: 解:设向量,的夹角为θ,
∵||=||=|+|=1,
∴=1+1+2×1×1×cosθ=1,
解得cosθ=,∴θ=,
∴|﹣t|2=+t2
=t2+t+1=(t+)2+,
当t=时,上式取到最小值,
∴|﹣t|的最小值为
故选:D
点评: 本题考查平面向量的模长公式,涉及二次函数的最值,属基础题.
9.执行如图的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是( )
A. x B. s C. s D. x
考点: 程序框图.
专题: 算法和程序框图.
分析: 由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
解答:解:当k=9,S=1时,不满足输出条件,故S值应满足条件,执行循环体后:S=,k=8;
当k=8,S=时,不满足输出条件,故S值应满足条件,执行循环体后:S=,k=7;
当k=7,S=时,不满足输出条件,故S值应满足条件,执行循环体后:S=,k=6;
当k=6,S=1时,满足输出条件,故S值应不满足条件,
故判断框内可填入的条件是s,
故选:B
点评: 本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.
10.已知x,y满足,则使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为( )
A. (2,﹣2) B. (﹣4,0) C. (4,0) D. (7,3)
考点: 简单线性规划.
专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用.
分析: 由题意作出其平面区域,将z=y﹣x化为y=x+z,z相当于直线y=x+z的纵截距,由图象可得最优解.
解答: 解:由题意作出其平面区域,
将z=y﹣x化为y=x+z,z相当于直线y=x+z的纵截距,
则由平面区域可知,
使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为(4,0);
故选C.
点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.
11.司机甲、乙加油习惯不同,甲每次加定量的油,乙每次加固定钱数的油,恰有两次甲、乙同时加同单价的油,但这两次的油价不同,则从这两次加油的均价角度分析( )
A. 甲合适 B. 乙合适
C. 油价先高后低甲合适 D. 油价先低后高甲合适
考点: 函数的最值及其几何意义.
专题: 计算题;应用题;函数的性质及应用.
分析: 设司机甲每次加油x,司机乙每次加油化费为y;两次加油的单价分别为a,b;从而可得司机甲两次加油的均价为;司机乙两次加油的均价为;作差比较大小即可.
解答: 解:设司机甲每次加油x,司机乙每次加油化费为y;
两次加油的单价分别为a,b;
则司机甲两次加油的均价为=;
司机乙两次加油的均价为=;
且﹣=≥0,
又∵a≠b,
∴﹣>0,
即>,
故这两次加油的均价,司机乙的较低,
故乙更合适,
故选B.
点评: 本题考查了函数在实际问题中的应用,属于中档题.
12.设等差数列{an}满足a1=1,an>0(n∈N*),其前n项和为Sn,若数列{}也为等差数列,则的最大值是( )
A. 310 B. 212 C. 180 D. 121
考点: 数列的函数特性;等差关系的确定.
专题: 等差数列与等比数列.
分析: 等差数列{an}满足a1=1,an>0(n∈N*),设公差为d,则an=1+(n﹣1)d,其前n项和为Sn=,由于数列{}也为等差数列,可得=+,解出d,可得=,利用数列的单调性即可得出.
解答: 解:∵等差数列{an}满足a1=1,an>0(n∈N*),设公差为d,则an=1+(n﹣1)d,
其前n项和为Sn=,
∴=,
=1,=,=,
∵数列{}也为等差数列,
∴=+,
∴=1+,
解得d=2.
∴Sn+10=(n+10)2,
=(2n﹣1)2,
∴==,
由于为单调递减数列,
∴≤=112=121,
故选:D.
点评: 本题考查了等差数列的通项公式公式及其前n项和公式、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
二、填空题(共4小题,每小题3分,满分12分)
13.双曲线2x2﹣y2=1的离心率为 .
考点: 双曲线的简单性质.
专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: 直接利用双曲线方程求出a、c,然后求解离心率.
解答: 解:由双曲线2x2﹣y2=1可知:a=,b=1,∴c==,
双曲线的离心率为:.
故答案为:.
点评: 本题考查双曲线方程的应用,离心率的求法,考查计算能力.
14.已知公比为q的等比数列{an},满足a1+a2+a3=﹣8,a4+a5+a6=4,则= ﹣ .
考点: 等比数列的通项公式.
专题: 等差数列与等比数列.
分析: 由题意和等差数列的求和公式可得(1﹣q3)=﹣8,q3(1﹣q3)=4,整体求解可得.
解答: 解:由题意可得a1+a2+a3=(1﹣q3)=﹣8,①
a4+a5+a6=[(1﹣q6)﹣(1﹣q3)]=q3(1﹣q3)=4,②
由①②可得q3=,代入①可得(1+)=﹣8,
∴=﹣,
故答案为:﹣
点评: 本题考查等比数列的通项公式和求和公式,涉及整体代入的思想,属基础题.
15.若直线y=kx与曲线y=x2+x所围成的封闭图形的面积为,则k= 1+或1﹣ .
考点: 定积分.
专题: 导数的概念及应用.
分析: 先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分下限和积分上限,从而利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义建立等式,即可求出k的值
解答: 解:函数的导数为f′(x)=2x+1,则f′(0)=1,
将y=kx代入y=x2+x得x=0或x=k﹣1,
若k>1,则对应的面积S=(kx﹣x2﹣x)dx=[(k﹣1)x2﹣3]|
=[(k﹣1)3﹣(k﹣1)3]=(k﹣1)3=,
即(k﹣1)3=,即k﹣1==,即k=+1,
若k<1,则对应的面积S=(kx﹣x2﹣x)dx=[(k﹣1)x2﹣3]|
=﹣[(k﹣1)3﹣(k﹣1)3]=﹣(k﹣1)3=,
即(k﹣1)3=﹣,即k﹣1=﹣=﹣,即k=1﹣,
综上k=1+或k=1﹣,
故答案为:1+或1﹣
点评: 本题主要考查了学生会求出原函数的能力,以及考查了数形结合的思想,同时会利用定积分求图形面积的能力,属于中档题
16.由5个元素的构成的集合M={4,3,﹣1,0,1},记M的所有非空子集为M1,M2,…,Mn,每一个Mi(i=1,2,…,31)中所有元素的积为mi(若集合中只有一个元素时,规定其积等于该元素本身),则m1+m2+…+m33= ﹣1 .
考点: 集合中元素个数的最值.
专题: 计算题;集合;二项式定理.
分析: 方法一:若非空子集中含有元素0,则其所有元素的积为0;从而转化为集合{4,3,﹣1,1}的所有非空子集中所有元素的积的和,再一一列举求和即可;
方法二:由二项式的推导思想可知,m1+m2+…+m31=(1+4)(1+3)(1﹣0)(1﹣1)(1+1)﹣1=﹣1.
解答: 解:方法一:若非空子集中含有元素0,
则其所有元素的积为0,
所以可转化为集合{4,3,﹣1,1}的所有非空子集中所有元素的积的和,
①当子集中有1个元素时,
4+3+1﹣1=7,
②当子集中有2个元素时,
4×3+4×(﹣1)+4×1+3×(﹣1)+3×1+(﹣1)×1=11,
③当子集中有3个元素时,
+++=﹣7,
④当子集中有4个元素时,
4×(﹣1)×3×1=﹣12;
故m1+m2+…+m31=7+11﹣7﹣12=﹣1;
方法二:由题可得,
m1+m2+…+m31=(1+4)(1+3)(1﹣0)(1﹣1)(1+1)﹣1
=﹣1.
故答案为:﹣1.
点评: 本题考查了集合的子集的求法及二项式的应用,属于基础题.
三、解答题(共8小题,满分0分)
17.已知函数f(x)=sinxcos(x﹣)+cos2x
(1)求函数f(x)的最大值;
(2)已知△ABC的面积为,且角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=,b+c=5,求a的值.
考点: 余弦定理;三角函数的最值.
专题: 解三角形.
分析: (1)由条件利用三角函数的恒等变换求得f(x)=sin(2x+)+,从而求得函数的最大值.
(2)根据f(A)=,求得A的值,再根据△ABC的面积为,求得bc=4,结合b+c=5求得b、c的值,再利用余弦定理求得a的值.
解答: 解:(1)函数f(x)=sinxcos(x﹣)+cos2x=sinx(cosx+sinx)+(2cos2x﹣1)
sinxcosx+cos2x=(sinxcosx+cos2x)+=sin(2x+)+,
故函数的最大值为+=.
(2)由题意可得f(A)==sin(2A+)+,∴sin(2A+)=.
再根据2A+∈(,),可得2A+=,A=.
根据△ABC的面积为bc•sinA=,∴bc=4,又∵b+c=5,∴b=4、c=1,或b=1、c=4.
利用余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA=13∴a=.
点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的值域,余弦定理,属于中档题.
18.小明参加某项资格测试,现有10道题,其中6道客观题,4道主观题,小明需从10道题中任取3道题作答
(1)求小明至少取到1道主观题的概率
(2)若取的3道题中有2道客观题,1道主观题,设小明答对每道客观题的概率都是,答对每道主观题的概率都是,且各题答对与否相互独立,设X表示小明答对题的个数,求x的分布列和数学期望.
考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.
专题: 概率与统计.
分析: (1)确定事件A=“小明所取的3道题至少有1道主观题”则有=“小明所取的3道题都是客观题”利用对立事件求解即可.
(2)根据题意X的所有可能的取值为0,1,2,3.分别求解相应的概率,求出分布列,运用数学期望公式求解即可.
解答: 解:(1)设事件A=“小明所取的3道题至少有1道主观题”
则有=“小明所取的3道题都是客观题”
因为P()==
P(A)=1﹣P()=.
(2)X的所有可能的取值为0,1,2,3.
P(X=0)=()2=.
P(X=1)=•()1•()1+()2=.
P(X=2)=()2+•()1•()1=,
P(X=3)=()2=
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴E(X)=0×=2.
点评: 本题综合考查了离散型的概率分布问题,数学期望,需要直线阅读题意,准确求解概率,计算能力要求较高,属于中档题.
19.如图,已知矩形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点,将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM,连结BM
(1)求证:AD⊥BM;
(2)若点E是线段DB上的一动点,问点E在何位置时,三棱锥M﹣ADE的体积为;
(3)求二面角A﹣DM﹣C的正弦值.
考点: 二面角的平面角及求法.
专题: 空间位置关系与距离;空间角.
分析: (1)根据线面垂直的性质即可证明AD⊥BM;
(2)建立空间坐标系结合三棱锥M﹣ADE的体积为,建立方程关系即可;
(3)求出平面的法向量,结合坐标系即可求二面角A﹣DM﹣C的正弦值.
解答: (1)证明:∵矩形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点,∴AM=BM=,
∴AM2+BM2=AB2,∴AM⊥BM.
再由平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,∴BM⊥平面ADM,
结合AD⊂平面ADM,可得AD⊥BM.
(2)分别取AM,AB的中点O和N,则ON∥BM,
在(1)中证明BM⊥平面ADM,
∴ON⊥⊥平面ADM,ON⊥AM,ON⊥OD,
∵AD=DM,∴DO⊥AM,
建立空间直角坐标系如图:
则D(0,0,),A(,0,0),B(﹣,,0),
∴=(﹣,,﹣),
∵E是线段DB上的一个动点,
∴==(﹣λ,,﹣λ),
则E(﹣λ,,﹣λ),
∴=(﹣λ﹣,,﹣λ),
显然=(0,1,0)是平面ADM的一个法向量.
点E到平面ADM的距离d==,
则=,
解得λ=,则E为BD的中点.
(3)D(0,0,),M(﹣,0,0),C(﹣,,0),
则=(﹣,0,﹣),=(﹣,,0),
设=(x,y,z)是平面CDM的法向量,
则,
令x=1,则y=1,z=﹣1,即=(1,1,﹣1),
易知=(0,1,0)是平面ADM的法向量,
则cos<>==.
点评: 本题主要考查空间直线的垂直的判断,空间三棱锥的体积的计算,以及二面角的求解,建立坐标系利用向量法是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.
20.已知椭圆+=1,(a>b>0)的短轴长为2,离心率为,过右焦点F的直线l交椭圆与P,Q两点
(1)求椭圆的方程
(2)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得(+)•(﹣)=0?若存在,求出m的取值范围,若不存在,说明理由.
考点: 直线与圆锥曲线的关系.
专题: 直线与圆.
分析: (1)根据题意可以求出b,根据离心率求出a,即可就出椭圆方程;
(2)先假设线段OF上存在M满足条件,先考虑两种特殊情况:l⊥x轴、l与x轴重合,在考虑一般情况:l的斜率存在且不为0,设出l的方程与椭圆方程联立,利用坐标来表示向量的数量积,从而得出答案.
解答: (本小题满分12分)
解:(1)由椭圆短轴长为2得b=1,又e==,∴a=,
所求椭圆方程为…(3分)
(2)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0≤m≤1),使得(+)•(﹣)=0成立,即或||=||
①当l⊥x轴时,显然线段OF上的点都满足条件,此时0≤m≤1…(5分)
②当l与x轴重合时,显然只有原点满足条件,此时m=0…(6分)
③法1:当l的斜率存在且不为零时,设直线l的方程为y=k(x﹣1)(k≠0).
由 可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,根据根与系数的关系得,…(8分)
设,其中x2﹣x1≠0
∵(+)•(﹣)=0∴(x1+x2﹣2m)(x2﹣x1)+(y1+y2)(y2﹣y1)=0⇒(x1+x2﹣2m)+k(y1+y2)=0
⇒2k2﹣(2+4k2)m=0⇒m=(k≠0).
∴0<m<.
∴综上所述:①当l⊥x轴时,存在0≤m≤1适合题意
②当l与x轴重合时,存在m=0适合题意
③当l的斜率存在且不为零时存在0<m<适合题意…(12分)
点评: 本题考查了椭圆的性质、直线与椭圆的关系,本题中利用坐标来表示向量是突破问题的关键,同时考查了学生分情况讨论的思想.
21.已知函数f(x)=ex﹣ax+a,其中a∈R,e为自然对数的底数.
(1)讨论函数f(x)的单调性,并写出对应的单调区间;
(2)设b∈R,若函数f(x)≥b对任意x∈R都成立,求ab的最大值.
考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.
专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用.
分析: (1)通过函数f(x),得f′(x),然后结合f′(x)与0的关系对a的正负进行讨论即可;
(2)对a的正负进行讨论:当a<0时,f(x)≥b不可能恒成立;当a=0时,此时ab=0; 当a>0时,由题结合(1)得ab≤2a2﹣a2lna,设g(a)=2a2﹣a2lna(a>0),问题转化为求g(a)的最大值,利用导函数即可.
解答: 解:(1)由函数f(x)=ex﹣ax+a,可知f′(x)=ex﹣a,
①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)在R上单调递增;
②当a>0时,令f′(x)=ex﹣a=0,得x=lna,
故当x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减;
当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)在单调递增区间为(﹣∞,+∞);
当a>0时,函数f(x)的单调递减区间为(﹣∞,lna),单调递增区间为(lna,+∞);
(2)由(1)知,当a<0时,函数f(x)在R上单调递增且当x→﹣∞时,f(x)→﹣∞,∴f(x)≥b不可能恒成立;
当a=0时,此时ab=0;
当a>0时,由函数f(x)≥b对任意x∈R都成立,可得b≤fmin(x),
∵fmin(x)=2a﹣alna,∴b≤2a﹣alna,∴ab≤2a2﹣a2lna,
设g(a)=2a2﹣a2lna (a>0),则g′(a)=4a﹣(2alna+a)=3a﹣2alna,
由于a>0,令g′(a)=0,得,故,
当时,g′(a)>0,g(a)单调递增;
当时,g′(a)<0,g(a)单调递减.
所以,即当,时,ab的最大值为.
点评: 本题考查函数的单调性及最值,利用导函数来研究函数的单调性是解题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
22.如图所示,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.
(Ⅰ)求证:AD∥EC;
(Ⅱ)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.
考点: 圆的切线的性质定理的证明;直线与圆相交的性质;直线与圆的位置关系;与圆有关的比例线段.
专题: 计算题;证明题.
分析: (I)连接AB,根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D,又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E,等量代换得到∠D=∠E,根据内错角相等得到两直线平行即可;
(II)根据切割线定理得到PA2=PB•PD,求出PB的长,然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE,求出PE,再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•(PB+PE),代入求出即可.
解答: 解:(I)证明:连接AB,
∵AC是⊙O1的切线,
∴∠BAC=∠D,
又∵∠BAC=∠E,
∴∠D=∠E,
∴AD∥EC.
(II)∵PA是⊙O1的切线,PD是⊙O1的割线,
∴PA2=PB•PD,
∴62=PB•(PB+9)
∴PB=3,
在⊙O2中由相交弦定理,得PA•PC=BP•PE,
∴PE=4,
∵AD是⊙O2的切线,DE是⊙O2的割线,
∴AD2=DB•DE=9×16,
∴AD=12
点评: 此题是一道综合题,要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题.本题的突破点是辅助线的连接.
23.已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ(其中坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)
(1)写出曲线C的直角坐标方程
(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围.
考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
专题: 坐标系和参数方程.
分析: (1)由曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,化为ρ2=4ρcosθ,利用即可得出直角坐标方程.
(2)把直线l的参数方程代入x2+y2=4x,可得t2+4(sinα+cosα)t+4=0,利用△>0,可得sinαcosα>0,,利用根与系数的好像可得|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4,即可得出.
解答: 解:(1)由曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,化为ρ2=4ρcosθ,
∴x2+y2=4x即为直角坐标方程.
(2)把直线l的参数方程代入x2+y2=4x,可得t2+4(sinα+cosα)t+4=0,
由△=16(sinα+cosα)2﹣16>0,sinαcosα>0,又α∈[0,π),∴,
∴t1+t2=﹣4(sinα+cosα),t1t2=4.
∴t1<0,t2<0.
∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4(sinα+cosα)=4,
由,可得∈,∴≤1,
∴|PM|+|PN|的取值范围是.
点评: 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性、参数的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
24.设函数f(x)=|x﹣a|+1,a∈R
(1)当a=4时,解不等式f(x)<1+|2x+1|;
(2)若f(x)≤2的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证:m+2n≥3+2.
考点: 绝对值不等式的解法;不等式的证明.
专题: 综合题;不等式.
分析: 对第(1)问,将a=3代入函数的解析式中,利用分段讨论法解绝对值不等式即可;
对第(2)问,先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值,再将“m+2n”改写为“(m+2n)(+)”,展开后利用基本不等式可完成证明.
解答: (1)解:当a=4时,不等式f(x)<1+|2x+1|即为|x﹣4|<|2x+1|
|①当x≥4时,原不等式化为x﹣4<2x+1,得x>﹣5,故x≥4;
②当﹣≤x<4时,原不等式化为4﹣x<2x+1,得x>1,故1<x<4;
③当x<﹣时,原不等式化为4﹣x<﹣2x﹣1,得x<﹣5,故x<﹣5.
综合①、②、③知,原不等式的解集为(﹣∞,﹣5)∪(1,+∞);
(2)证明:由f(x)≤2得|x﹣a|≤1,从而﹣1+a≤x≤1+a,
∵f(x)≤1的解集为{x|0≤x≤2},
∴得a=1,∴+═a=1.
又m>0,n>0,
∴m+2n=(m+2n)(+=)=3+(+)≥3+2,
当且仅当m=1+,n=1+时,取等号,故m+2n≥3+2,得证
点评: 1.已知不等式的解集求参数的值,求解的一般思路是:先将原不等式求解一遍,再把结果与已知解集对比即可获得参数的值.
2.本题中,“1”的替换很关键,这是解决此类题型的一种常用技巧,应注意体会证明过程的巧妙性.