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  • 2021-05-13 发布

河北省保定市高考数学一模试卷理科 Word含解析

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‎2015年河北省保定市高考数学一模试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)‎ ‎1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=,n∈A},则A∩B的子集个数是(  )‎ ‎  A. 2 B. ‎3 C. 4 D. 16‎ ‎ ‎ ‎2.已知p:α是第一象限角,q:α<,则p是q的(  )‎ ‎  A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎  C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎3.已知i是虚数单位,则=(  )‎ ‎  A. 1 B. i C. ﹣i D. ﹣1‎ ‎ ‎ ‎4.sin15°﹣cos15°=(  )‎ ‎  A. B. C. ﹣ D. ﹣‎ ‎ ‎ ‎5.在边长为4的正方形ABCD内任取一点M,则∠AMB>90°的概率为(  )‎ ‎  A. B. 1﹣ C. D. 1﹣‎ ‎ ‎ ‎6.一简单组合体的三视图如图,则该组合体的表面积为(  )‎ ‎  A. 38 B. 38﹣‎2 C. 38+2 D. 12﹣π ‎ ‎ ‎7.已知函数f(x+2)是R上的偶函数,当x>2时,f(x)=x2+1,则当x<2时,f(x)=(  )‎ ‎  A. x2+1 B. x2﹣8x+‎5 C. x2+4x+5 D. x2﹣8x+17‎ ‎ ‎ ‎8.设向量,满足||=||=|+|=1,则|﹣t|(t∈R)的最小值为(  )‎ ‎  A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎ ‎ ‎9.执行如图的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是(  )‎ ‎  A. x B. s C. s D. x ‎ ‎ ‎10.已知x,y满足,则使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为(  )‎ ‎  A. (2,﹣2) B. (﹣4,0) C. (4,0) D. (7,3)‎ ‎ ‎ ‎11.司机甲、乙加油习惯不同,甲每次加定量的油,乙每次加固定钱数的油,恰有两次甲、乙同时加同单价的油,但这两次的油价不同,则从这两次加油的均价角度分析(  )‎ ‎  A. 甲合适 B. 乙合适 ‎  C. 油价先高后低甲合适 D. 油价先低后高甲合适 ‎ ‎ ‎12.设等差数列{an}满足a1=1,an>0(n∈N*),其前n项和为Sn,若数列{}也为等差数列,则的最大值是(  )‎ ‎  A. 310 B. ‎212 C. 180 D. 121‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题3分,满分12分)‎ ‎13.双曲线2x2﹣y2=1的离心率为      .‎ ‎ ‎ ‎14.已知公比为q的等比数列{an},满足a1+a2+a3=﹣8,a4+a5+a6=4,则=      .‎ ‎ ‎ ‎15.若直线y=kx与曲线y=x2+x所围成的封闭图形的面积为,则k=      .‎ ‎ ‎ ‎16.由5个元素的构成的集合M={4,3,﹣1,0,1},记M的所有非空子集为M1,M2,…,Mn,每一个Mi(i=1,2,…,31)中所有元素的积为mi(若集合中只有一个元素时,规定其积等于该元素本身),则m1+m2+…+m33=      .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题(共8小题,满分0分)‎ ‎17.已知函数f(x)=sinxcos(x﹣)+cos2x ‎(1)求函数f(x)的最大值;‎ ‎(2)已知△ABC的面积为,且角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=,b+c=5,求a的值.‎ ‎ ‎ ‎18.小明参加某项资格测试,现有10道题,其中6道客观题,4道主观题,小明需从10道题中任取3道题作答 ‎(1)求小明至少取到1道主观题的概率 ‎(2)若取的3道题中有2道客观题,1道主观题,设小明答对每道客观题的概率都是,答对每道主观题的概率都是,且各题答对与否相互独立,设X表示小明答对题的个数,求x的分布列和数学期望.‎ ‎ ‎ ‎19.如图,已知矩形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点,将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM,连结BM ‎(1)求证:AD⊥BM;‎ ‎(2)若点E是线段DB上的一动点,问点E在何位置时,三棱锥M﹣ADE的体积为;‎ ‎(3)求二面角A﹣DM﹣C的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎20.已知椭圆+=1,(a>b>0)的短轴长为2,离心率为,过右焦点F的直线l交椭圆与P,Q两点 ‎(1)求椭圆的方程 ‎(2)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得(+)•(﹣)=0?若存在,求出m的取值范围,若不存在,说明理由.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=ex﹣ax+a,其中a∈R,e为自然对数的底数.‎ ‎(1)讨论函数f(x)的单调性,并写出对应的单调区间;‎ ‎(2)设b∈R,若函数f(x)≥b对任意x∈R都成立,求ab的最大值.‎ ‎ ‎ ‎22.如图所示,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.‎ ‎(Ⅰ)求证:AD∥EC;‎ ‎(Ⅱ)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.‎ ‎ ‎ ‎23.已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ(其中坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)‎ ‎(1)写出曲线C的直角坐标方程 ‎(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎24.设函数f(x)=|x﹣a|+1,a∈R ‎(1)当a=4时,解不等式f(x)<1+|2x+1|;‎ ‎(2)若f(x)≤2的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证:m+2n≥3+2.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2015年河北省保定市高考数学一模试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)‎ ‎1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=,n∈A},则A∩B的子集个数是(  )‎ ‎  A. 2 B. ‎3 C. 4 D. 16‎ 考点: 交集及其运算.‎ 专题: 集合.‎ 分析: 把A中元素代入B中计算确定出B,进而求出A与B的交集,找出交集的子集个数即可.‎ 解答: 解:把x=1,2,3,4分别代入得:B={1,,,2},‎ ‎∵A={1,2,3,4},‎ ‎∴A∩B={1,2},‎ 则A∩B的子集个数是22=4.‎ 故选:C.‎ 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.已知p:α是第一象限角,q:α<,则p是q的(  )‎ ‎  A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎  C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ 专题: 简易逻辑.‎ 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ 解答: 解:若α=,满足在第一象限,但α<不成立,‎ 若α=0,满足α<,但α在第一象限不成立,‎ 故p是q的既不充分也不必要条件,‎ 故选:D 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据角与象限之间的关系是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎3.已知i是虚数单位,则=(  )‎ ‎  A. 1 B. i C. ﹣i D. ﹣1‎ 考点: 复数代数形式的乘除运算.‎ 专题: 数系的扩充和复数.‎ 分析: 利用复数的运算法则即可得出.‎ 解答: 解:==﹣1,‎ 故选:D.‎ 点评: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.sin15°﹣cos15°=(  )‎ ‎  A. B. C. ﹣ D. ﹣‎ 考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的化简求值.‎ 专题: 三角函数的求值.‎ 分析: 利用两角和差的正弦公式,进行化简即可.‎ 解答: 解:sin15°﹣cos15°=sin(15°﹣45°)==﹣,‎ 故选:C.‎ 点评: 本题主要考查三角函数值的计算,利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎5.在边长为4的正方形ABCD内任取一点M,则∠AMB>90°的概率为(  )‎ ‎  A. B. 1﹣ C. D. 1﹣‎ 考点: 几何概型.‎ 专题: 概率与统计.‎ 分析: 画出满足条件的图形,结合图形分析,找出满足条件的点集对应的图形面积,及图形的总面积.‎ 解答: 解:如图正方形的边长为4:‎ 图中白色区域是以AB为直径的半圆 当P落在半圆内时,∠APB>90°;‎ 当P落在半圆上时,∠APB=90°;‎ 当P落在半圆外时,∠APB<90°;‎ 故使∠AMB>90°的概率P===.‎ 故选:A.‎ 点评: 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N(A),再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据P=求解.‎ ‎ ‎ ‎6.一简单组合体的三视图如图,则该组合体的表面积为(  )‎ ‎  A. 38 B. 38﹣‎2 C. 38+2 D. 12﹣π 考点: 由三视图求面积、体积.‎ 专题: 计算题;空间位置关系与距离.‎ 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是长方体的中间去掉一个圆柱的组合体,求出它的表面积即可.‎ 解答: 解:根据几何体的三视图,得;‎ 该几何体是长方体的中间去掉一个圆柱的组合体,‎ 且长方体的长为4,宽为3,高为1,‎ 圆柱的底面圆半径为1,高为1;‎ 所以该组合体的表面积为 S长方体﹣2S底面圆+S圆柱侧面=2(4×3+4×1+3×1)﹣2×π×12+2×π×1×1=38.‎ 故选:A.‎ 点评: 本题考查了利用空间几何体的三视图求组合体的表面积的应用问题,是基础题目.‎ ‎ ‎ ‎7.已知函数f(x+2)是R上的偶函数,当x>2时,f(x)=x2+1,则当x<2时,f(x)=(  )‎ ‎  A. x2+1 B. x2﹣8x+‎5 C. x2+4x+5 D. x2﹣8x+17‎ 考点: 函数奇偶性的性质.‎ 专题: 函数的性质及应用.‎ 分析: 先由函数f(x+2)是R上的偶函数,求出对称轴,然后将所求区间利用运算转化到已知区间上,代入到x>2时,求解函数的解析式.‎ 解答: 解:∵函数f(x+2)是R上的偶函数,函数关于x=2对称,可得f(x)=f(4﹣x),‎ ‎∵x>2时,f(x)=x2+1,‎ 由x<2时,﹣x>2,4﹣x>6,可得∴f(4﹣x)=(4﹣x)2+1=x2﹣8x+17,‎ ‎∵f(x)=f(4﹣x)=x2﹣8x+17.‎ 故选:D.‎ 点评: 本题考查了函数奇偶性的性质,以及将未知转化为已知的转化化归思想,是个中档题.‎ ‎ ‎ ‎8.设向量,满足||=||=|+|=1,则|﹣t|(t∈R)的最小值为(  )‎ ‎  A. 2 B. C. 1 D. ‎ 考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.‎ 专题: 平面向量及应用.‎ 分析: 由题意易得向量的夹角,进而由二次函数可得|﹣t|2的最小值,开方可得.‎ 解答: 解:设向量,的夹角为θ,‎ ‎∵||=||=|+|=1,‎ ‎∴=1+1+2×1×1×cosθ=1,‎ 解得cosθ=,∴θ=,‎ ‎∴|﹣t|2=+t2‎ ‎=t2+t+1=(t+)2+,‎ 当t=时,上式取到最小值,‎ ‎∴|﹣t|的最小值为 故选:D 点评: 本题考查平面向量的模长公式,涉及二次函数的最值,属基础题.‎ ‎ ‎ ‎9.执行如图的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是(  )‎ ‎  A. x B. s C. s D. x 考点: 程序框图.‎ 专题: 算法和程序框图.‎ 分析: 由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.‎ 解答:解:当k=9,S=1时,不满足输出条件,故S值应满足条件,执行循环体后:S=,k=8;‎ 当k=8,S=时,不满足输出条件,故S值应满足条件,执行循环体后:S=,k=7;‎ 当k=7,S=时,不满足输出条件,故S值应满足条件,执行循环体后:S=,k=6;‎ 当k=6,S=1时,满足输出条件,故S值应不满足条件,‎ 故判断框内可填入的条件是s,‎ 故选:B 点评: 本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎10.已知x,y满足,则使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为(  )‎ ‎  A. (2,﹣2) B. (﹣4,0) C. (4,0) D. (7,3)‎ 考点: 简单线性规划.‎ 专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用.‎ 分析: 由题意作出其平面区域,将z=y﹣x化为y=x+z,z相当于直线y=x+z的纵截距,由图象可得最优解.‎ 解答: 解:由题意作出其平面区域,‎ 将z=y﹣x化为y=x+z,z相当于直线y=x+z的纵截距,‎ 则由平面区域可知,‎ 使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为(4,0);‎ 故选C.‎ 点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎11.司机甲、乙加油习惯不同,甲每次加定量的油,乙每次加固定钱数的油,恰有两次甲、乙同时加同单价的油,但这两次的油价不同,则从这两次加油的均价角度分析(  )‎ ‎  A. 甲合适 B. 乙合适 ‎  C. 油价先高后低甲合适 D. 油价先低后高甲合适 考点: 函数的最值及其几何意义.‎ 专题: 计算题;应用题;函数的性质及应用.‎ 分析: 设司机甲每次加油x,司机乙每次加油化费为y;两次加油的单价分别为a,b;从而可得司机甲两次加油的均价为;司机乙两次加油的均价为;作差比较大小即可.‎ 解答: 解:设司机甲每次加油x,司机乙每次加油化费为y;‎ 两次加油的单价分别为a,b;‎ 则司机甲两次加油的均价为=;‎ 司机乙两次加油的均价为=;‎ 且﹣=≥0,‎ 又∵a≠b,‎ ‎∴﹣>0,‎ 即>,‎ 故这两次加油的均价,司机乙的较低,‎ 故乙更合适,‎ 故选B.‎ 点评: 本题考查了函数在实际问题中的应用,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎12.设等差数列{an}满足a1=1,an>0(n∈N*),其前n项和为Sn,若数列{}也为等差数列,则的最大值是(  )‎ ‎  A. 310 B. ‎212 C. 180 D. 121‎ 考点: 数列的函数特性;等差关系的确定.‎ 专题: 等差数列与等比数列.‎ 分析: 等差数列{an}满足a1=1,an>0(n∈N*),设公差为d,则an=1+(n﹣1)d,其前n项和为Sn=,由于数列{}也为等差数列,可得=+,解出d,可得=,利用数列的单调性即可得出.‎ 解答: 解:∵等差数列{an}满足a1=1,an>0(n∈N*),设公差为d,则an=1+(n﹣1)d,‎ 其前n项和为Sn=,‎ ‎∴=,‎ ‎=1,=,=,‎ ‎∵数列{}也为等差数列,‎ ‎∴=+,‎ ‎∴=1+,‎ 解得d=2.‎ ‎∴Sn+10=(n+10)2,‎ ‎=(2n﹣1)2,‎ ‎∴==,‎ 由于为单调递减数列,‎ ‎∴≤=112=121,‎ 故选:D.‎ 点评: 本题考查了等差数列的通项公式公式及其前n项和公式、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题3分,满分12分)‎ ‎13.双曲线2x2﹣y2=1的离心率为  .‎ 考点: 双曲线的简单性质.‎ 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ 分析: 直接利用双曲线方程求出a、c,然后求解离心率.‎ 解答: 解:由双曲线2x2﹣y2=1可知:a=,b=1,∴c==,‎ 双曲线的离心率为:.‎ 故答案为:.‎ 点评: 本题考查双曲线方程的应用,离心率的求法,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎14.已知公比为q的等比数列{an},满足a1+a2+a3=﹣8,a4+a5+a6=4,则= ﹣ .‎ 考点: 等比数列的通项公式.‎ 专题: 等差数列与等比数列.‎ 分析: 由题意和等差数列的求和公式可得(1﹣q3)=﹣8,q3(1﹣q3)=4,整体求解可得.‎ 解答: 解:由题意可得a1+a2+a3=(1﹣q3)=﹣8,①‎ a4+a5+a6=[(1﹣q6)﹣(1﹣q3)]=q3(1﹣q3)=4,②‎ 由①②可得q3=,代入①可得(1+)=﹣8,‎ ‎∴=﹣,‎ 故答案为:﹣‎ 点评: 本题考查等比数列的通项公式和求和公式,涉及整体代入的思想,属基础题.‎ ‎ ‎ ‎15.若直线y=kx与曲线y=x2+x所围成的封闭图形的面积为,则k= 1+或1﹣ .‎ 考点: 定积分.‎ 专题: 导数的概念及应用.‎ 分析: 先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分下限和积分上限,从而利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义建立等式,即可求出k的值 解答: 解:函数的导数为f′(x)=2x+1,则f′(0)=1,‎ 将y=kx代入y=x2+x得x=0或x=k﹣1,‎ 若k>1,则对应的面积S=(kx﹣x2﹣x)dx=[(k﹣1)x2﹣3]|‎ ‎=[(k﹣1)3﹣(k﹣1)3]=(k﹣1)3=,‎ 即(k﹣1)3=,即k﹣1==,即k=+1,‎ 若k<1,则对应的面积S=(kx﹣x2﹣x)dx=[(k﹣1)x2﹣3]|‎ ‎=﹣[(k﹣1)3﹣(k﹣1)3]=﹣(k﹣1)3=,‎ 即(k﹣1)3=﹣,即k﹣1=﹣=﹣,即k=1﹣,‎ 综上k=1+或k=1﹣,‎ 故答案为:1+或1﹣‎ 点评: 本题主要考查了学生会求出原函数的能力,以及考查了数形结合的思想,同时会利用定积分求图形面积的能力,属于中档题 ‎ ‎ ‎16.由5个元素的构成的集合M={4,3,﹣1,0,1},记M的所有非空子集为M1,M2,…,Mn,每一个Mi(i=1,2,…,31)中所有元素的积为mi(若集合中只有一个元素时,规定其积等于该元素本身),则m1+m2+…+m33= ﹣1 .‎ 考点: 集合中元素个数的最值.‎ 专题: 计算题;集合;二项式定理.‎ 分析: 方法一:若非空子集中含有元素0,则其所有元素的积为0;从而转化为集合{4,3,﹣1,1}的所有非空子集中所有元素的积的和,再一一列举求和即可;‎ 方法二:由二项式的推导思想可知,m1+m2+…+m31=(1+4)(1+3)(1﹣0)(1﹣1)(1+1)﹣1=﹣1.‎ 解答: 解:方法一:若非空子集中含有元素0,‎ 则其所有元素的积为0,‎ 所以可转化为集合{4,3,﹣1,1}的所有非空子集中所有元素的积的和,‎ ‎①当子集中有1个元素时,‎ ‎4+3+1﹣1=7,‎ ‎②当子集中有2个元素时,‎ ‎4×3+4×(﹣1)+4×1+3×(﹣1)+3×1+(﹣1)×1=11,‎ ‎③当子集中有3个元素时,‎ ‎+++=﹣7,‎ ‎④当子集中有4个元素时,‎ ‎4×(﹣1)×3×1=﹣12;‎ 故m1+m2+…+m31=7+11﹣7﹣12=﹣1;‎ 方法二:由题可得,‎ m1+m2+…+m31=(1+4)(1+3)(1﹣0)(1﹣1)(1+1)﹣1‎ ‎=﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ 点评: 本题考查了集合的子集的求法及二项式的应用,属于基础题.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共8小题,满分0分)‎ ‎17.已知函数f(x)=sinxcos(x﹣)+cos2x ‎(1)求函数f(x)的最大值;‎ ‎(2)已知△ABC的面积为,且角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=,b+c=5,求a的值.‎ 考点: 余弦定理;三角函数的最值.‎ 专题: 解三角形.‎ 分析: (1)由条件利用三角函数的恒等变换求得f(x)=sin(2x+)+,从而求得函数的最大值.‎ ‎(2)根据f(A)=,求得A的值,再根据△ABC的面积为,求得bc=4,结合b+c=5求得b、c的值,再利用余弦定理求得a的值.‎ 解答: 解:(1)函数f(x)=sinxcos(x﹣)+cos2x=sinx(cosx+sinx)+(2cos2x﹣1)‎ sinxcosx+cos2x=(sinxcosx+cos2x)+=sin(2x+)+,‎ 故函数的最大值为+=.‎ ‎(2)由题意可得f(A)==sin(‎2A+)+,∴sin(‎2A+)=.‎ 再根据‎2A+∈(,),可得‎2A+=,A=.‎ 根据△ABC的面积为bc•sinA=,∴bc=4,又∵b+c=5,∴b=4、c=1,或b=1、c=4.‎ 利用余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA=13∴a=.‎ 点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的值域,余弦定理,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.小明参加某项资格测试,现有10道题,其中6道客观题,4道主观题,小明需从10道题中任取3道题作答 ‎(1)求小明至少取到1道主观题的概率 ‎(2)若取的3道题中有2道客观题,1道主观题,设小明答对每道客观题的概率都是,答对每道主观题的概率都是,且各题答对与否相互独立,设X表示小明答对题的个数,求x的分布列和数学期望.‎ 考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.‎ 专题: 概率与统计.‎ 分析: (1)确定事件A=“小明所取的3道题至少有1道主观题”则有=“小明所取的3道题都是客观题”利用对立事件求解即可.‎ ‎(2)根据题意X的所有可能的取值为0,1,2,3.分别求解相应的概率,求出分布列,运用数学期望公式求解即可.‎ 解答: 解:(1)设事件A=“小明所取的3道题至少有1道主观题”‎ 则有=“小明所取的3道题都是客观题”‎ 因为P()==‎ P(A)=1﹣P()=.‎ ‎(2)X的所有可能的取值为0,1,2,3.‎ P(X=0)=()2=.‎ P(X=1)=•()1•()1+()2=.‎ P(X=2)=()2+•()1•()1=,‎ P(X=3)=()2=‎ ‎∴X的分布列为 ‎ X 0 1 2 3‎ ‎ P ‎ ‎∴E(X)=0×=2.‎ 点评: 本题综合考查了离散型的概率分布问题,数学期望,需要直线阅读题意,准确求解概率,计算能力要求较高,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.如图,已知矩形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点,将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM,连结BM ‎(1)求证:AD⊥BM;‎ ‎(2)若点E是线段DB上的一动点,问点E在何位置时,三棱锥M﹣ADE的体积为;‎ ‎(3)求二面角A﹣DM﹣C的正弦值.‎ 考点: 二面角的平面角及求法.‎ 专题: 空间位置关系与距离;空间角.‎ 分析: (1)根据线面垂直的性质即可证明AD⊥BM;‎ ‎(2)建立空间坐标系结合三棱锥M﹣ADE的体积为,建立方程关系即可;‎ ‎(3)求出平面的法向量,结合坐标系即可求二面角A﹣DM﹣C的正弦值.‎ 解答: (1)证明:∵矩形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点,∴AM=BM=,‎ ‎∴AM2+BM2=AB2,∴AM⊥BM.‎ 再由平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,∴BM⊥平面ADM,‎ 结合AD⊂平面ADM,可得AD⊥BM.‎ ‎(2)分别取AM,AB的中点O和N,则ON∥BM,‎ 在(1)中证明BM⊥平面ADM,‎ ‎∴ON⊥⊥平面ADM,ON⊥AM,ON⊥OD,‎ ‎∵AD=DM,∴DO⊥AM,‎ 建立空间直角坐标系如图:‎ 则D(0,0,),A(,0,0),B(﹣,,0),‎ ‎∴=(﹣,,﹣),‎ ‎∵E是线段DB上的一个动点,‎ ‎∴==(﹣λ,,﹣λ),‎ 则E(﹣λ,,﹣λ),‎ ‎∴=(﹣λ﹣,,﹣λ),‎ 显然=(0,1,0)是平面ADM的一个法向量.‎ 点E到平面ADM的距离d==,‎ 则=,‎ 解得λ=,则E为BD的中点.‎ ‎(3)D(0,0,),M(﹣,0,0),C(﹣,,0),‎ 则=(﹣,0,﹣),=(﹣,,0),‎ 设=(x,y,z)是平面CDM的法向量,‎ 则,‎ 令x=1,则y=1,z=﹣1,即=(1,1,﹣1),‎ 易知=(0,1,0)是平面ADM的法向量,‎ 则cos<>==.‎ 点评: 本题主要考查空间直线的垂直的判断,空间三棱锥的体积的计算,以及二面角的求解,建立坐标系利用向量法是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.‎ ‎ ‎ ‎20.已知椭圆+=1,(a>b>0)的短轴长为2,离心率为,过右焦点F的直线l交椭圆与P,Q两点 ‎(1)求椭圆的方程 ‎(2)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得(+)•(﹣)=0?若存在,求出m的取值范围,若不存在,说明理由.‎ 考点: 直线与圆锥曲线的关系.‎ 专题: 直线与圆.‎ 分析: (1)根据题意可以求出b,根据离心率求出a,即可就出椭圆方程;‎ ‎(2)先假设线段OF上存在M满足条件,先考虑两种特殊情况:l⊥x轴、l与x轴重合,在考虑一般情况:l的斜率存在且不为0,设出l的方程与椭圆方程联立,利用坐标来表示向量的数量积,从而得出答案.‎ 解答: (本小题满分12分)‎ 解:(1)由椭圆短轴长为2得b=1,又e==,∴a=,‎ 所求椭圆方程为…(3分)‎ ‎(2)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0≤m≤1),使得(+)•(﹣)=0成立,即或||=||‎ ‎①当l⊥x轴时,显然线段OF上的点都满足条件,此时0≤m≤1…(5分)‎ ‎②当l与x轴重合时,显然只有原点满足条件,此时m=0…(6分)‎ ‎③法1:当l的斜率存在且不为零时,设直线l的方程为y=k(x﹣1)(k≠0).‎ 由 可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,根据根与系数的关系得,…(8分)‎ 设,其中x2﹣x1≠0‎ ‎∵(+)•(﹣)=0∴(x1+x2﹣‎2m)(x2﹣x1)+(y1+y2)(y2﹣y1)=0⇒(x1+x2﹣‎2m)+k(y1+y2)=0‎ ‎⇒2k2﹣(2+4k2)m=0⇒m=(k≠0).‎ ‎∴0<m<.‎ ‎∴综上所述:①当l⊥x轴时,存在0≤m≤1适合题意 ‎②当l与x轴重合时,存在m=0适合题意 ‎③当l的斜率存在且不为零时存在0<m<适合题意…(12分)‎ 点评: 本题考查了椭圆的性质、直线与椭圆的关系,本题中利用坐标来表示向量是突破问题的关键,同时考查了学生分情况讨论的思想.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=ex﹣ax+a,其中a∈R,e为自然对数的底数.‎ ‎(1)讨论函数f(x)的单调性,并写出对应的单调区间;‎ ‎(2)设b∈R,若函数f(x)≥b对任意x∈R都成立,求ab的最大值.‎ 考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.‎ 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用.‎ 分析: (1)通过函数f(x),得f′(x),然后结合f′(x)与0的关系对a的正负进行讨论即可;‎ ‎(2)对a的正负进行讨论:当a<0时,f(x)≥b不可能恒成立;当a=0时,此时ab=0; 当a>0时,由题结合(1)得ab≤‎2a2﹣a2lna,设g(a)=‎2a2﹣a2lna(a>0),问题转化为求g(a)的最大值,利用导函数即可.‎ 解答: 解:(1)由函数f(x)=ex﹣ax+a,可知f′(x)=ex﹣a,‎ ‎①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)在R上单调递增;‎ ‎②当a>0时,令f′(x)=ex﹣a=0,得x=lna,‎ 故当x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减;‎ 当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增.‎ 综上所述,当a≤0时,函数f(x)在单调递增区间为(﹣∞,+∞);‎ 当a>0时,函数f(x)的单调递减区间为(﹣∞,lna),单调递增区间为(lna,+∞);‎ ‎(2)由(1)知,当a<0时,函数f(x)在R上单调递增且当x→﹣∞时,f(x)→﹣∞,∴f(x)≥b不可能恒成立;‎ 当a=0时,此时ab=0;‎ 当a>0时,由函数f(x)≥b对任意x∈R都成立,可得b≤fmin(x),‎ ‎∵fmin(x)=‎2a﹣alna,∴b≤‎2a﹣alna,∴ab≤‎2a2﹣a2lna,‎ 设g(a)=‎2a2﹣a2lna (a>0),则g′(a)=‎4a﹣(2alna+a)=‎3a﹣2alna,‎ 由于a>0,令g′(a)=0,得,故,‎ 当时,g′(a)>0,g(a)单调递增;‎ 当时,g′(a)<0,g(a)单调递减.‎ 所以,即当,时,ab的最大值为.‎ 点评: 本题考查函数的单调性及最值,利用导函数来研究函数的单调性是解题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎22.如图所示,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.‎ ‎(Ⅰ)求证:AD∥EC;‎ ‎(Ⅱ)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.‎ 考点: 圆的切线的性质定理的证明;直线与圆相交的性质;直线与圆的位置关系;与圆有关的比例线段.‎ 专题: 计算题;证明题.‎ 分析: (I)连接AB,根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D,又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E,等量代换得到∠D=∠E,根据内错角相等得到两直线平行即可;‎ ‎(II)根据切割线定理得到PA2=PB•PD,求出PB的长,然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE,求出PE,再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•(PB+PE),代入求出即可.‎ 解答: 解:(I)证明:连接AB,‎ ‎∵AC是⊙O1的切线,‎ ‎∴∠BAC=∠D,‎ 又∵∠BAC=∠E,‎ ‎∴∠D=∠E,‎ ‎∴AD∥EC.‎ ‎(II)∵PA是⊙O1的切线,PD是⊙O1的割线,‎ ‎∴PA2=PB•PD,‎ ‎∴62=PB•(PB+9)‎ ‎∴PB=3,‎ 在⊙O2中由相交弦定理,得PA•PC=BP•PE,‎ ‎∴PE=4,‎ ‎∵AD是⊙O2的切线,DE是⊙O2的割线,‎ ‎∴AD2=DB•DE=9×16,‎ ‎∴AD=12‎ 点评: 此题是一道综合题,要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题.本题的突破点是辅助线的连接.‎ ‎ ‎ ‎23.已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ(其中坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)‎ ‎(1)写出曲线C的直角坐标方程 ‎(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围.‎ 考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.‎ 专题: 坐标系和参数方程.‎ 分析: (1)由曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,化为ρ2=4ρcosθ,利用即可得出直角坐标方程.‎ ‎(2)把直线l的参数方程代入x2+y2=4x,可得t2+4(sinα+cosα)t+4=0,利用△>0,可得sinαcosα>0,,利用根与系数的好像可得|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4,即可得出.‎ 解答: 解:(1)由曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,化为ρ2=4ρcosθ,‎ ‎∴x2+y2=4x即为直角坐标方程.‎ ‎(2)把直线l的参数方程代入x2+y2=4x,可得t2+4(sinα+cosα)t+4=0,‎ 由△=16(sinα+cosα)2﹣16>0,sinαcosα>0,又α∈[0,π),∴,‎ ‎∴t1+t2=﹣4(sinα+cosα),t1t2=4.‎ ‎∴t1<0,t2<0.‎ ‎∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4(sinα+cosα)=4,‎ 由,可得∈,∴≤1,‎ ‎∴|PM|+|PN|的取值范围是.‎ 点评: 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性、参数的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎24.设函数f(x)=|x﹣a|+1,a∈R ‎(1)当a=4时,解不等式f(x)<1+|2x+1|;‎ ‎(2)若f(x)≤2的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证:m+2n≥3+2.‎ 考点: 绝对值不等式的解法;不等式的证明.‎ 专题: 综合题;不等式.‎ 分析: 对第(1)问,将a=3代入函数的解析式中,利用分段讨论法解绝对值不等式即可;‎ 对第(2)问,先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值,再将“m+2n”改写为“(m+2n)(+)”,展开后利用基本不等式可完成证明.‎ 解答: (1)解:当a=4时,不等式f(x)<1+|2x+1|即为|x﹣4|<|2x+1|‎ ‎|①当x≥4时,原不等式化为x﹣4<2x+1,得x>﹣5,故x≥4;‎ ‎②当﹣≤x<4时,原不等式化为4﹣x<2x+1,得x>1,故1<x<4;‎ ‎③当x<﹣时,原不等式化为4﹣x<﹣2x﹣1,得x<﹣5,故x<﹣5.‎ 综合①、②、③知,原不等式的解集为(﹣∞,﹣5)∪(1,+∞);‎ ‎(2)证明:由f(x)≤2得|x﹣a|≤1,从而﹣1+a≤x≤1+a,‎ ‎∵f(x)≤1的解集为{x|0≤x≤2},‎ ‎∴得a=1,∴+═a=1.‎ 又m>0,n>0,‎ ‎∴m+2n=(m+2n)(+=)=3+(+)≥3+2,‎ 当且仅当m=1+,n=1+时,取等号,故m+2n≥3+2,得证 点评: 1.已知不等式的解集求参数的值,求解的一般思路是:先将原不等式求解一遍,再把结果与已知解集对比即可获得参数的值.‎ ‎2.本题中,“‎1”‎的替换很关键,这是解决此类题型的一种常用技巧,应注意体会证明过程的巧妙性.‎ ‎ ‎