高考数学试题函数与导数整理版教师版 17页

‎2.（重庆理18）设的导数满足，其中常数。‎ ‎ （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ (Ⅱ) 设，求函数的极值。‎ ‎3.（安徽理16）设，其中为正实数（Ⅰ）当时，求的极值点；‎ ‎（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。‎ ‎4.（北京理18）已知函数.(1)求的单调区间；‎ ‎(2)若对，都有，求的取值范围。‎ ‎5.（福建理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．‎ ‎6.（湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的表达式；‎ ‎（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）‎ ‎8.（江西理19）设.‎ ‎（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.‎ ‎15.（辽宁理21）已知函数．（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）设，证明：当时，；‎ ‎（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：．‎ ‎16.（全国Ⅰ理21）已知函数，曲线在点处的切线方程为。‎ ‎（Ⅰ）求、的值；‎ ‎（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。‎ ‎17.（全国Ⅱ理22）（Ⅰ）设函数，证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：。‎ ‎18.（陕西理21）设函数定义在上，，导函数， ．‎ ‎（1）求的单调区间和最小值；‎ ‎（2）讨论与的大小关系；‎ ‎（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎19.（天津理21）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称．‎ 证明：当时，．‎ ‎（Ⅲ）如果，且，证明：‎ ‎2.（重庆理18）设的导数满足，其中常数。‎ ‎ （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ (Ⅱ) 设，求函数的极值。‎ 解：（Ⅰ）则；‎ ‎；所以，于是有 故曲线在点处的切线方程为：‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知，令；‎ 于是函数在上递减，上递增，上递减；‎ 所以函数在处取得极小值，在处取得极大值。‎ ‎3.（安徽理16）设，其中为正实数（Ⅰ）当时，求的极值点；‎ ‎（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。‎ 本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.‎ 解：对求导得 ①‎ ‎（I）当， 若 ‎ 综合①,可知 ‎ ‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ 所以, 是极小值点, 是极大值点.‎ ‎（II）若为R上的单调、函数，则在R上不变号，结合①与条件a>0，知在R上恒成立，因此由此并结合a>0，知 ‎4.（北京理18）已知函数.(1)求的单调区间；‎ ‎(2)若对，都有，求的取值范围。‎ 解：(1)，令得 当时，在和上递增，在上递减；‎ 当时，在和上递减，在上递增 ‎(2) 当时，；所以不可能对，都有；‎ 当时有（1）知在上的最大值为，所以对，都有即，故对，都有时，的取值范围为。‎ ‎5.（福建理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．‎ 解：(Ⅰ)因为时，所以；‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：‎ ‎；‎ ‎，令得 函数在上递增，在上递减，所以当时函数取得最大值 答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.‎ ‎6.（湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的表达式；‎ ‎（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）‎ 解析：（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得 故函数的表达式为=‎ ‎（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 当时，为增函数，故当时，其最大值为；‎ 当时，，‎ 当且仅当，即时，等号成立．‎ 所以，当时，在区间上取得最大值．‎ 综上，当时，在区间上取得最大值，‎ 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．‎ ‎7.（江苏17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.‎ ‎（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？‎ ‎（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.‎ ‎【解】（1）根据题意有（00‎ 从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.‎ ‎（ii）设00,故 (x）>0,而 h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。‎ ‎（iii）设k1.此时（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0]‎ ‎17.（全国Ⅱ理22）（Ⅰ）设函数，证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：。‎ ‎【命题立意】：本小题主要考查函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识。通过运用导数知识解决函 数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力.‎ ‎【解析】（Ⅰ），（仅当时）‎ 故函数在单调递增.当时，，故当＞0时，＞0.‎ ‎（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为，要证＜（）19＜.‎ 先证： 即证 即证而 ‎ ‎………‎ 所以. 即 再证：，即证，即证，即证 由（Ⅰ），当＞0时，＞0.‎ 令则，即 综上有：‎ ‎18.（陕西理21）设函数定义在上，，导函数， ．‎ ‎（1）求的单调区间和最小值；‎ ‎（2）讨论与的大小关系；‎ ‎（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论．‎ ‎【解】（1）∵，∴（为常数），又∵，所以，即，‎ ‎∴；，∴，令，即，解得，‎ 当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间；‎ 当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间；‎ 所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，‎ 所以的最小值是．‎ ‎（2），设，则，‎ 当时，，即，当时，，，‎ 因此函数在内单调递减，当时，=0，∴；‎ 当时，=0，∴． ‎ ‎（3）满足条件的不存在．证明如下：‎ 证法一 假设存在，使对任意成立，‎ 即对任意有 ①‎ 但对上述的，取时，有，这与①左边的不等式矛盾，‎ 因此不存在，使对任意成立．‎ 证法二 假设存在，使对任意成立，‎ 由（1）知，的最小值是，‎ 又，而时，的值域为，∴当时，的值域为，‎ 从而可以取一个值，使，即,∴，这与假设矛盾．∴不存在，使对任意成立．‎ ‎19.（天津理21）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称．‎ 证明：当时，．‎ ‎（Ⅲ）如果，且，证明：．‎ ‎【解】（Ⅰ）．令，则．‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ 增 极大值 减 所以在区间内是增函数，在区间内是减函数．‎ 函数在处取得极大值．且．‎ ‎（Ⅱ）因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，‎ 所以，于是．‎ 记，则，，‎ 当时，，从而，又，所以，‎ 于是函数在区间上是增函数．‎ 因为，所以，当时，．因此．‎ ‎（Ⅲ）(1) 若，由（Ⅰ）及,得,与矛盾；‎ ‎(2) 若，由由（Ⅰ）及,得,与矛盾；‎ 根据(1)，(2)可得．不妨设．‎ 由（Ⅱ）可知，所以．‎ 因为，所以，又，由（Ⅰ），在区间内是增函数，‎ 所以　，即．‎ ‎20.（浙江理22）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）求证： .‎ 解：（Ⅰ）定义域为， ………2分 ‎ 令，令 ‎ 故的单调递增区间为，的单调递减区间为 ‎ 的极大值为 ‎ ‎（Ⅱ）证：要证 ‎ 即证， 即证 ‎ 即证 ‎ ‎ 令，由（Ⅰ）可知在上递减，故 ‎ 即，令，故 ‎ 累加得， ‎ ‎ ‎ ‎ 故，得证 ‎ 法二：=‎ ‎ ，其余相同证法.‎ ‎21.（广东理21）‎ ‎（2）设是定点，其中满足.过作的两条切线，切点分别为,，与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明：‎ ‎；‎ 解：（１），‎ 直线AB的方程为，即，‎ ‎，方程的判别式，‎ 两根或，‎ ‎，，又，‎ ‎，得，‎ ‎．‎ ‎（２）由知点在抛物线L的下方，‎ ‎①当时，作图可知，若，则，得；‎ 若，显然有点； ．‎ ‎②当时，点在第二象限，‎ 作图可知，若，则，且；‎ 若，显然有点； ‎ ‎．‎ 根据曲线的对称性可知，当时，，‎ 综上所述，（*）；‎ 由（１）知点M在直线EF上，方程的两根或，‎ 同理点M在直线上，方程的两根或，‎ 若，则不比、、小，‎ ‎，又，‎ ‎；又由（１）知，；‎ ‎，综合（*）式，得证．‎ ‎（３）联立，得交点，可知，‎ 过点作抛物线L的切线，设切点为，则，‎ 得，解得，‎ 又，即，‎ ‎，设，，‎ ‎，又，；‎ ‎，，．‎