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  • 2021-05-13 发布

2010高考数学一轮复习推理与证明

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考纲导读 推理与证明 ‎(一)合情推理与演绎推理 ‎1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用。 ‎2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理。 ‎3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 ‎(二)直接证明与间接证明 ‎1.了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。 ‎2.了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。 ‎(三)数学归纳法 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 高考导航 ‎1.推理与证明的内容是高考的新增内容,主要以选择填空的形式出现。 ‎2.推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。 第1课时 合情推理与演绎推理 基础过关 ‎1. 推理一般包括合情推理和演绎推理; ‎2.合情推理包括 和 ; 归纳推理:从个别事实中推演出 ,这样的推理通常称为归纳推理;归纳推理的思维过程是: 、 、 . 类比推理:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也 或 ,这样的推理称为类比推理,类比推理的思维过程是: 、 、 . ‎3.演绎推理:演绎推理是 ,按照严格的逻辑法则得到的 推理过程;三段论常用格式为:①M是P,② ,③S是P;其中①是 ,它提供了一个个一般性原理;②是 ,它指出了一个个特殊对象;③是 ,它根据一般原理,对特殊情况作出的判断. ‎4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,归纳和类比是合情推理常用的思维方法;在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程. 典型例题 例1. 已知:; 通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题: ‎________________________________________=( * )并给出( * )式的证明. 解:一般形式: 证明:左边 = ‎ = ‎= ‎= = ‎(将一般形式写成 等均正确。) 变式训练1:设,,n∈N,则 解:,由归纳推理可知其周期是4 例2. 在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形, 按图所标边长,由勾股定理有: 设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN,如果用表示三个侧面面积,表示截面面积,那么你类比得到的结论是 . 解:。 变式训练2:在△ABC中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC的外接圆的半径,把上面的结论推广到空间,写出相类似的结论。 答案:本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形, 所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。 取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A—BCD,且AB=a,AC=b,AD=c, 则此三棱锥的外接球的半径是。 例3. 请你把不等式“若是正实数,则有”推广到一般情形,并证明你的结论。 答案: 推广的结论:若 都是正数, ‎ 证明: ∵都是正数 ∴ , ‎………,, 变式训练3:观察式子:,…,则可归纳出式子为( ) A、 B、 C、 D、 答案:C。解析:用n=2代入选项判断。 例4. 有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 平面,直线平面,直线∥平面,则直线∥直线”的结论显然是错误的,这是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 答案:A。解析:直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。 变式训练4:“AC,BD是菱形ABCD的对角线,AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。 答案:菱形对角线互相垂直且平分 基础过关 第2课时 直接证明与间接证明⑴ ‎1.直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明; 直接证明的两种基本方法——分析法和综合法 ‎⑴ 综合法 —— ;⑵分析法 —— ;Þ Þ Þ ‎2. 间接证明:间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法;反证法即从 ‎ 开始,经过正确的推理,说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法(归谬法). 典型例题 例1.若均为实数,且。 求证:中至少有一个大于0。 答案:(用反证法) 假设都不大于0,即,则有, 而 = ‎∴均大于或等于0,,∴,这与假设矛盾,故中至少有一个大于0。 变式训练1:用反证法证明命题“可以被5整除,那么中至少有一个能被5整除。”那么假设的内容是 答案:a,b中没有一个能被5整除。解析:“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”。 例2. △ABC的三个内角A、B、C成等差数列, 求证:。 答案:证明:要证,即需证。 即证。 又需证,需证 ‎∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。 由余弦定理,有,即。 ‎∴成立,命题得证。 变式训练2:用分析法证明:若a>0,则。 答案:证明:要证, 只需证。 ‎∵a>0,∴两边均大于零,因此只需证 只需证, 只需证,只需证, 即证,它显然成立。∴原不等式成立。 例3.已知数列,,,. 记..‎ 求证:当时,‎ ‎(1);‎ ‎(2);‎ ‎(3)。‎ 解:(1)证明:用数学归纳法证明.‎ ‎①当时,因为是方程的正根,所以.‎ ‎②假设当时,,‎ 因为 ‎ ,‎ 所以.‎ 即当时,也成立.‎ 根据①和②,可知对任何都成立.‎ ‎(2)证明:由,(),‎ 得.‎ 因为,所以.‎ 由及得,‎ 所以.‎ ‎(3)证明:由,得 所以,‎ 于是,‎ 故当时,,‎ 又因为,‎ 所以.‎ 推理与证明章节测试题 ‎1.考察下列一组不等式: .将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式可以是 .‎ 2. 已知数列满足,(),则的值为 , 的值为 . ‎ ‎3. 已知 ,猜想的表达式为( )‎ A.; B.; C.; D..‎ ‎4. 某纺织厂的一个车间有技术工人名(),编号分别为1、2、3、……、,有台()织布机,编号分别为1、2、3、……、,定义记号:若第名工人操作了第号织布机,规定,否则,则等式的实际意义是( )‎ A、第4名工人操作了3台织布机; B、第4名工人操作了台织布机;‎ C、第3名工人操作了4台织布机; D、第3名工人操作了台织布机.‎ ‎5. 已知,计算得,,,,,由此推测:当时,有 ‎ ‎……‎ ‎6. 观察下图中各正方形图案,每条边上有个圆圈,每个图案中圆圈的总数是,按此规律推出:当时,与的关系式 ‎ ‎ ‎ 7. 观察下式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,则可得出一般结论: .‎ ‎8.函数由下表定义:‎ 若,,,则 .‎ ‎9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形,‎ ‎ 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为_ 颗.(结果用表示)‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ 图4‎ ‎10.将正奇数按下表排成5列 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ 第2行 ‎15‎ ‎13‎ ‎11‎ ‎9‎ 第3行 ‎17‎ ‎19‎ ‎21‎ ‎23‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎27‎ ‎25‎ 那么2003应该在第 行,第 列。‎ 11. 如右上图,一个小朋友按如图所示的规则练习数数,1大拇指,2食指,3中指,4无名指,5小指,6无名指,,一直数到2008时,对应的指头是 (填指头的名称). ‎ ‎12.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……中,第25项为_____.‎ ‎13.观察下列的图形中小正方形的个数,则第n个图中有 个小正方形.‎ ‎14.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖___________块.(用含n的代数式表示)‎ ‎15.如图所示,面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为,此四边形内任一点到第条边的距离记为,若,则.‎ 类比以上性质,体积为的三棱锥的第个面的面积记为, 此三棱锥内任一点到第个面的距离记为,若, 则 ( B ) ‎ A. B. C. D. 16.设O是内一点,三边上的高分别为,O到三边的距离依次为,则__ _______,类比到空间,O是四面体ABCD内一点,四顶点到对面的距离分别为,O到这四个面的距离依次为,则有_ __ ‎ ‎17.在中,两直角边分别为、,设为斜边上的高,则,由此类比:三棱锥中的三条侧棱、、两两垂直,且长度分别为、、,设棱锥底面上的高为,则 .‎ ‎18、若数列是等差数列,对于,则数列也是等差数列。类比上述性质,若数列是各项都为正数的等比数列,对于,则= 时,数列也是等比数列。‎ ‎19.已知△ABC三边a,b,c的长都是整数,且,如果b=m(mN*),则这样的三角形共有 个(用m表示).‎ ‎20.如图的三角形数阵中,满足:(1)第1行的数为1;(2)第n(n≥2)行首尾两数均为n,其余的数都等于它肩上的两个数相加.则第n行(n≥2)中第2个数是________(用n表示).‎ ‎21.在△ABC中,,判断△ABC的形状并证明.‎ ‎22.已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设 ‎ ‎23.中,已知,且,求证:为等边三角形。‎ ‎ ‎ ‎24.如图,、、…、 是曲线:上的个点,点()在轴的正半轴上,且是正三角形(是坐标原点).‎ ‎(1)写出、、;‎ ‎(2)求出点()的横坐标关于的表达式并证明.‎ 推理与证明章节测试题答案 ‎1. ‎ 2. ‎3. B.‎ ‎4. A ‎5.‎ ‎6. ‎ ‎7.‎ ‎8.4‎ ‎9.‎ ‎10.251,3‎ 11. 食指 ‎ ‎12.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……中,第25项为__7____.‎ ‎13.‎ ‎14. ‎ ‎15、B提示:平面面积法类比到空间体积法 16. ‎1. 提示:平面面积法类比到空间体积法 ‎17..‎ ‎18、提示:等差数列类比到等比数列,算术平均数类比到几何平均数 ‎19.‎ ‎20.‎ ‎21.解:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以三角形ABC是直角三角形 ‎22. 三个方程中都没有两个相异实根 ‎ ‎ 证明:假设三个方程中都没有两个相异实根,‎ 则Δ1=4b2-‎4ac≤0,Δ2=‎4c2-4ab≤0,Δ3=‎4a2-4bc≤0.‎ 相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-‎2ac+a2≤0,‎ ‎(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0. ①‎ 由题意a、b、c互不相等,∴①式不能成立.‎ ‎∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.‎ 方法总结:反证法步骤—假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立.‎ 凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.‎ ‎23.解: 分析:由 ‎ 由 ‎ ‎ ‎ 所以为等边三角形 ‎24.如图,、、…、 是曲线:上的个点,点()在轴的正半轴上,且是正三角形(是坐标原点).‎ ‎(1)写出、、;‎ ‎(2)求出点()的 横坐标关于的表达式并证明.‎ 解:(Ⅰ)……………….6分 ‎(2)依题意,得,由此及得 ‎,‎ 即.‎ ‎ 由(Ⅰ)可猜想:.‎ ‎ 下面用数学归纳法予以证明:‎ ‎ (1)当时,命题显然成立;‎ ‎ (2)假定当时命题成立,即有,则当时,由归纳假设及 得,即 ‎,‎ 解之得 ‎(不合题意,舍去),‎ 即当时,命题成立.‎ ‎ 由(1)、(2)知:命题成立.……………….10分