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- 2021-05-13 发布
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考纲导读
推理与证明
(一)合情推理与演绎推理
1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用。
2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理。
3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
(二)直接证明与间接证明
1.了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。
2.了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。
(三)数学归纳法
了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
高考导航
1.推理与证明的内容是高考的新增内容,主要以选择填空的形式出现。
2.推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。
第1课时 合情推理与演绎推理
基础过关
1. 推理一般包括合情推理和演绎推理;
2.合情推理包括 和 ;
归纳推理:从个别事实中推演出 ,这样的推理通常称为归纳推理;归纳推理的思维过程是: 、 、 .
类比推理:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也 或 ,这样的推理称为类比推理,类比推理的思维过程是: 、 、 .
3.演绎推理:演绎推理是 ,按照严格的逻辑法则得到的 推理过程;三段论常用格式为:①M是P,② ,③S是P;其中①是 ,它提供了一个个一般性原理;②是 ,它指出了一个个特殊对象;③是 ,它根据一般原理,对特殊情况作出的判断.
4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,归纳和类比是合情推理常用的思维方法;在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程.
典型例题
例1. 已知:;
通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题:
________________________________________=( * )并给出( * )式的证明.
解:一般形式:
证明:左边 =
=
=
= =
(将一般形式写成
等均正确。)
变式训练1:设,,n∈N,则
解:,由归纳推理可知其周期是4
例2. 在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,
按图所标边长,由勾股定理有:
设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN,如果用表示三个侧面面积,表示截面面积,那么你类比得到的结论是 .
解:。
变式训练2:在△ABC中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC的外接圆的半径,把上面的结论推广到空间,写出相类似的结论。
答案:本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形,
所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。
取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A—BCD,且AB=a,AC=b,AD=c,
则此三棱锥的外接球的半径是。
例3. 请你把不等式“若是正实数,则有”推广到一般情形,并证明你的结论。
答案: 推广的结论:若 都是正数,
证明: ∵都是正数 ∴ ,
………,,
变式训练3:观察式子:,…,则可归纳出式子为( )
A、 B、
C、 D、
答案:C。解析:用n=2代入选项判断。
例4. 有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线
平面,直线平面,直线∥平面,则直线∥直线”的结论显然是错误的,这是因为 ( )
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
答案:A。解析:直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。
变式训练4:“AC,BD是菱形ABCD的对角线,AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。
答案:菱形对角线互相垂直且平分
基础过关
第2课时 直接证明与间接证明⑴
1.直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明;
直接证明的两种基本方法——分析法和综合法
⑴ 综合法 —— ;⑵分析法 —— ;Þ Þ Þ
2. 间接证明:间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法;反证法即从
开始,经过正确的推理,说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法(归谬法).
典型例题
例1.若均为实数,且。
求证:中至少有一个大于0。
答案:(用反证法)
假设都不大于0,即,则有,
而 =
∴均大于或等于0,,∴,这与假设矛盾,故中至少有一个大于0。
变式训练1:用反证法证明命题“可以被5整除,那么中至少有一个能被5整除。”那么假设的内容是
答案:a,b中没有一个能被5整除。解析:“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”。
例2. △ABC的三个内角A、B、C成等差数列,
求证:。
答案:证明:要证,即需证。
即证。
又需证,需证
∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。
由余弦定理,有,即。
∴成立,命题得证。
变式训练2:用分析法证明:若a>0,则。
答案:证明:要证,
只需证。
∵a>0,∴两边均大于零,因此只需证
只需证,
只需证,只需证,
即证,它显然成立。∴原不等式成立。
例3.已知数列,,,.
记..
求证:当时,
(1);
(2);
(3)。
解:(1)证明:用数学归纳法证明.
①当时,因为是方程的正根,所以.
②假设当时,,
因为
,
所以.
即当时,也成立.
根据①和②,可知对任何都成立.
(2)证明:由,(),
得.
因为,所以.
由及得,
所以.
(3)证明:由,得
所以,
于是,
故当时,,
又因为,
所以.
推理与证明章节测试题
1.考察下列一组不等式: .将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式可以是 .
2. 已知数列满足,(),则的值为 , 的值为 .
3. 已知 ,猜想的表达式为( )
A.; B.; C.; D..
4. 某纺织厂的一个车间有技术工人名(),编号分别为1、2、3、……、,有台()织布机,编号分别为1、2、3、……、,定义记号:若第名工人操作了第号织布机,规定,否则,则等式的实际意义是( )
A、第4名工人操作了3台织布机; B、第4名工人操作了台织布机;
C、第3名工人操作了4台织布机; D、第3名工人操作了台织布机.
5. 已知,计算得,,,,,由此推测:当时,有
……
6. 观察下图中各正方形图案,每条边上有个圆圈,每个图案中圆圈的总数是,按此规律推出:当时,与的关系式
7. 观察下式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,则可得出一般结论: .
8.函数由下表定义:
若,,,则 .
9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形,
第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为_ 颗.(结果用表示)
图1
图2
图3
图4
10.将正奇数按下表排成5列
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
1
3
5
7
第2行
15
13
11
9
第3行
17
19
21
23
……
……
27
25
那么2003应该在第 行,第 列。
11. 如右上图,一个小朋友按如图所示的规则练习数数,1大拇指,2食指,3中指,4无名指,5小指,6无名指,,一直数到2008时,对应的指头是 (填指头的名称).
12.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……中,第25项为_____.
13.观察下列的图形中小正方形的个数,则第n个图中有 个小正方形.
14.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖___________块.(用含n的代数式表示)
15.如图所示,面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为,此四边形内任一点到第条边的距离记为,若,则.
类比以上性质,体积为的三棱锥的第个面的面积记为, 此三棱锥内任一点到第个面的距离记为,若, 则 ( B )
A. B. C. D. 16.设O是内一点,三边上的高分别为,O到三边的距离依次为,则__ _______,类比到空间,O是四面体ABCD内一点,四顶点到对面的距离分别为,O到这四个面的距离依次为,则有_ __
17.在中,两直角边分别为、,设为斜边上的高,则,由此类比:三棱锥中的三条侧棱、、两两垂直,且长度分别为、、,设棱锥底面上的高为,则 .
18、若数列是等差数列,对于,则数列也是等差数列。类比上述性质,若数列是各项都为正数的等比数列,对于,则= 时,数列也是等比数列。
19.已知△ABC三边a,b,c的长都是整数,且,如果b=m(mN*),则这样的三角形共有 个(用m表示).
20.如图的三角形数阵中,满足:(1)第1行的数为1;(2)第n(n≥2)行首尾两数均为n,其余的数都等于它肩上的两个数相加.则第n行(n≥2)中第2个数是________(用n表示).
21.在△ABC中,,判断△ABC的形状并证明.
22.已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设
23.中,已知,且,求证:为等边三角形。
24.如图,、、…、 是曲线:上的个点,点()在轴的正半轴上,且是正三角形(是坐标原点).
(1)写出、、;
(2)求出点()的横坐标关于的表达式并证明.
推理与证明章节测试题答案
1.
2.
3. B.
4. A
5.
6.
7.
8.4
9.
10.251,3
11. 食指
12.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……中,第25项为__7____.
13.
14.
15、B提示:平面面积法类比到空间体积法
16. 1. 提示:平面面积法类比到空间体积法
17..
18、提示:等差数列类比到等比数列,算术平均数类比到几何平均数
19.
20.
21.解:
所以三角形ABC是直角三角形
22. 三个方程中都没有两个相异实根
证明:假设三个方程中都没有两个相异实根,
则Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0.
相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0. ①
由题意a、b、c互不相等,∴①式不能成立.
∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
方法总结:反证法步骤—假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立.
凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.
23.解: 分析:由
由
所以为等边三角形
24.如图,、、…、 是曲线:上的个点,点()在轴的正半轴上,且是正三角形(是坐标原点).
(1)写出、、;
(2)求出点()的
横坐标关于的表达式并证明.
解:(Ⅰ)……………….6分
(2)依题意,得,由此及得
,
即.
由(Ⅰ)可猜想:.
下面用数学归纳法予以证明:
(1)当时,命题显然成立;
(2)假定当时命题成立,即有,则当时,由归纳假设及
得,即
,
解之得
(不合题意,舍去),
即当时,命题成立.
由(1)、(2)知:命题成立.……………….10分