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  • 2021-05-13 发布

高考理科数学试题全国卷及解析

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‎2016年全国高考理科数学试题全国卷2‎ 第Ⅰ卷 一.选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)已知在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是 ‎(A)(B)(C)(D)‎ ‎(2)已知集合,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(3)已知向量,且,则m=( )‎ ‎(A)-8 (B)-6 (C)6 (D)8‎ ‎(4)圆的圆心到直线的距离为1,则a=( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)2‎ ‎(5)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )‎ ‎(A)24 (B)18 (C)12 (D)9‎ ‎(6)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(7)若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的,依次输入的为2,2,5,则输出的( )‎ ‎(A)7 (B)12 (C)17 (D)34‎ ‎(9)若,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(10)从区间随机抽取个数,,…,,,,…,,构成n个数对,,…,,其中两数的平方和小于1的数对共有个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(11)已知是双曲线的左,右焦点,点在上,与轴垂直,,则E的离心率为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)2‎ ‎(12)已知函数满足,若函数与图像的交点为则( )‎ ‎(A)0 (B) (C) (D)‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分 ‎(13) 的内角的对边分别为,若,,,则 .‎ ‎(14) 是两个平面,是两条直线,有下列四个命题:‎ ‎(1)如果,那么.[]‎ ‎(2)如果,那么.‎ ‎(3)如果,那么.‎ ‎(4)如果,那么与所成的角和与所成的角相等.‎ 其中正确的命题有 ..(填写所有正确命题的编号)‎ ‎(15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .‎ ‎(16)若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则 .‎ 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本题满分12分)为等差数列的前n项和,且记,其中表示不超过的最大整数,如.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前1 000项和.‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 某险种的基本保费为(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:[]‎ 一年内出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2[]‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 概率 ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0. 05‎ ‎(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;‎ ‎(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;‎ ‎(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.‎ ‎19.(本小题满分12分)如图,菱形的对角线与交于点,,点分别在上,,交于点.将沿折到位置,.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的焦点在轴上,是的左顶点,斜率为的直线交于两点,点在上,.‎ ‎(Ⅰ)当时,求的面积;‎ ‎(Ⅱ)当时,求的取值范围.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性,并证明当时,; ‎ ‎(Ⅱ)证明:当时,函数有最小值.设的最小值为,求函数的值域.‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 ‎(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,在正方形中,分别在边上(不与端点重合),且,过点作,垂足为.‎ ‎(Ⅰ) 证明:四点共圆;‎ ‎(Ⅱ)若,为的中点,求四边形的 面积.‎ ‎(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,圆的方程为.‎ ‎(Ⅰ)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)直线的参数方程是(为参数), 与交于两点,,求的斜率.‎ ‎(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数,为不等式的解集.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)证明:当时,.‎ ‎2016年全国高考理科数学试题全国卷2‎ 参考答案 ‎(1)【解析】A ‎∴,,∴,故选A.‎ ‎(2)【解析】C ‎,‎ ‎∴,∴,‎ 故选C.‎ ‎(3)【解析】D ‎ ,‎ ‎∵,∴‎ 解得,‎ 故选D.‎ ‎(4)【解析】A 圆化为标准方程为:,‎ 故圆心为,,解得,‎ 故选A.‎ ‎(5)【解析】B 有种走法,有种走法,由乘法原理知,共种走法 故选B.‎ ‎【解析二】:由题意,小明从街道的E处出发到F处最短有条路,再从F处到G处最短共有条路,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为条,故选B.‎ ‎(6)【解析】C 几何体是圆锥与圆柱的组合体,‎ 设圆柱底面圆半径为,周长为,圆锥母线长为,圆柱高为.‎ 由图得,,由勾股定理得:,‎ ‎,‎ 故选C.‎ ‎(7)【解析】B 由题意,将函数的图像向左平移个单位得,则平移后函数的对称轴为,即,故选B.‎ ‎(8)【解析】C ‎ 第一次运算:,‎ 第二次运算:,‎ 第三次运算:,‎ 故选C.‎ ‎(9)【解析】D ‎∵,,‎ 故选D.‎ 解法二:对展开后直接平方 解法三:换元法 ‎(10)【解析】C 由题意得:在如图所示方格中,而平方和小于1的点均在 如图所示的阴影中 由几何概型概率计算公式知,∴,故选C.‎ ‎(11)【解析】A ‎ 离心率,由正弦定理得.‎ 故选A.‎ ‎(12)【解析】B 由得关于对称,‎ 而也关于对称,‎ ‎∴对于每一组对称点 ,‎ ‎∴,故选B.‎ ‎13.【解析】 ‎ ‎∵,,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 由正弦定理得:解得.‎ ‎(14)【解析】②③④‎ 对于①,,则的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为,所以过直线作平面与平面相交于直线,则,因为,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的有②③④.‎ ‎(15)【解析】 ‎ 由题意得:丙不拿(2,3),‎ 若丙(1,2),则乙(2,3),甲(1,3)满足,‎ 若丙(1,3),则乙(2,3),甲(1,2)不满足,‎ 故甲(1,3),‎ ‎(16)【解析】 ‎ 的切线为:(设切点横坐标为)‎ 的切线为:‎ ‎∴‎ 解得 ‎ ‎∴.‎ ‎17.【解析】⑴设的公差为,,‎ ‎∴,∴,∴.‎ ‎∴,,.‎ ‎⑵记的前项和为,则 ‎.‎ 当时,;‎ 当时,;‎ ‎ 当时,;‎ 当时,.‎ ‎∴.‎ ‎18.⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件,‎ ‎.‎ ‎⑵设续保人保费比基本保费高出为事件,‎ ‎.‎ ‎⑶解:设本年度所交保费为随机变量.‎ 平均保费 ‎ ,‎ ‎∴平均保费与基本保费比值为.‎ ‎19.【解析】⑴证明:∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∵四边形为菱形,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴;‎ 又,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 又∵,‎ ‎∴面.‎ ‎⑵建立如图坐标系.‎ ‎,,,,‎ ‎,,,‎ 设面法向量,‎ 由得,取,‎ ‎∴.‎ 同理可得面的法向量,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎20.【解析】 ⑴当时,椭圆E的方程为,A点坐标为,‎ 则直线AM的方程为.‎ 联立并整理得,‎ 解得或,则 因为,所以 因为,,‎ 所以,整理得,‎ 无实根,所以.‎ 所以的面积为.‎ ‎⑵直线AM的方程为,‎ 联立并整理得,‎ 解得或,‎ 所以 所以 因为 所以,整理得,.‎ 因为椭圆E的焦点在x轴,所以,即,整理得 解得.‎ ‎(21)【解析】⑴证明:‎ ‎ ‎ ‎ ∵当时,‎ ‎ ∴在上单调递增 ‎ ∴时,‎ ‎ ∴‎ ‎⑵ ‎ ‎ ‎ ‎ 由(1)知,当时,的值域为,只有一解.‎ ‎ 使得,‎ 当时,单调减;当时,单调增 记,在时,,∴单调递增 ‎∴.‎ ‎(22)【解析】(Ⅰ)证明:∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎∴B,C,G,F四点共圆.‎ ‎(Ⅱ)∵E为AD中点,,‎ ‎∴,‎ ‎∴在中,,‎ 连接,,‎ ‎∴.‎ ‎(23)解:⑴整理圆的方程得,‎ ‎ 由可知圆的极坐标方程为.‎ ‎ ⑵记直线的斜率为,则直线的方程为,‎ ‎ 由垂径定理及点到直线距离公式知:,‎ ‎ 即,整理得,则.‎ ‎(24)【解析】解:⑴当时,,若;‎ 当时,恒成立;‎ 当时,,若,.‎ 综上可得,.‎ ‎⑵当时,有,‎ 即, ‎ 则,‎ 则,‎ 即,‎ ‎ 证毕.‎