高考数学二轮专题复习 数列 28页

数列 ‎【考纲解读】‎ ‎1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.‎ ‎2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.‎ ‎3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.‎ ‎【考点预测】‎ ‎1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.‎ ‎2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.‎ ‎3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.‎ ‎4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.‎ 因此复习中应注意：‎ ‎1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.‎ ‎2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.‎ ‎3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.‎ ‎4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.‎ ‎5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.‎ ‎6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.‎ ‎7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. ‎ ‎【要点梳理】‎ ‎1.证明数列是等差数列的两种基本方法：（1）定义法：为常数；（2）等差中项法：.‎ ‎2.证明数列是等比数列的两种基本方法：（1）定义法：(非零常数)；（2）等差中项法：.‎ ‎3.常用性质:(1)等差数列中,若,则;‎ ‎(2)等比数列中,若,则.‎ ‎4.求和:‎ ‎(1)等差等比数列,用其前n项和求出;‎ ‎(2)掌握几种常见的求和方法:错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法;‎ ‎(3)掌握等差等比数列前n项和的常用性质.‎ ‎【考点在线】‎ 考点1 等差等比数列的概念及性质 在等差、等比数列中，已知五个元素或，中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项和公差（或公比）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如 ‎（1）等差数列中，若，则；等比数列中，若，则 . ‎ ‎（2）等差数列中，成等差数列。其中是等差数列的前n项和；等比数列中（），成等比数列。其中是等比数列的前n项和；‎ ‎（3）在等差数列中，项数n成等差的项也称等差数列. ‎ ‎（4）在等差数列中，； .‎ 在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.‎ 例1. (2011年高考重庆卷理科11)在等差数列中，，则 ‎ ‎ .‎ ‎【答案】74‎ ‎【解析】，故 ‎【名师点睛】本题考查等差数列的性质.‎ ‎【备考提示】：熟练掌握等差等比数列的概念与性质是解答好本类题的关键.‎ 考点2 数列的递推关系式的理解与应用 ‎ 在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若且；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列的通项. ‎ 再看“逐商法”即且，可把各个商列出来求积。‎ 另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题.‎ 例2.（2011年高考四川卷文科9)数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1, an+1 =3Sn(n ≥1),则a6=( )‎ ‎（A）3 ×44 （B）3 ×  44+1‎ ‎ (C) 44 （D）44+1‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】由题意，得a2=‎3a1=3.当n ≥1时，an+1 =3Sn(n ≥1) ①，所以an+2 =3Sn+1 ②，‎ ‎②-①得an+2 = 4an+1 ，故从第二项起数列等比数列，则a6=3 ×44.‎ ‎【名师点睛】本小题主要考查与的关系：，数列前n项和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适合。解决含与的式子问题时，通常转化为只含或者转化为只的式子.‎ ‎【备考提示】：递推数列也是高考的内容之一,要熟练此类题的解法,这是高考的热点.‎ 练习2.（2011年高考辽宁卷文科5)若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为（ ）[Z ‎（A）2 （B）4 （C）8 （D）16‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】设公比是q，根据题意a‎1a2=16 ①，a‎2a3=162 ②，②÷①，得q2=16 .因为a12q=16>0, a12>0，则q>0，q=4.‎ 考点3 数列的通项公式与前n项和公式的应用 等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.等比数列的前n项和公式（），因此可以改写为是关于n的指数函数，当时，.‎ 例3.(2011年高考江苏卷13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意：，‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ 考点4. 数列求和 例4. (山东省济南市2011年2月高三教学质量调研理科20题)‎ 已知为等比数列，；为等差数列的前n项和，.‎ ‎（1） 求和的通项公式；‎ ‎（2） 设，求.‎ ‎【解析】（1） 设的公比为,由,得所以 设的公差为，由得,‎ 所以 ‎（2）‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎②-①得：‎ 所以 ‎【名师点睛】本小题主要考查等比等差数列的通项公式及前n项和公式、数列求和等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.‎ ‎【备考提示】：熟练数列的求和方法等基础知识是解答好本类题目的关键.‎ 练习4. （2010年高考山东卷文科18）‎ ‎ 已知等差数列满足：，.的前n项和为.‎ ‎ （Ⅰ）求 及；（Ⅱ）令（）,求数列的前n项和.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有 考点5 等差、等比数列的综合应用 解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．‎ 例5．(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为，且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式及（Ⅱ）记，，当时，试比较与的大小.[‎ 当时， 即；‎ 所以当时，；当时， .‎ ‎【名师点睛】本小题主要考查等差等比数列的通项与前n项和等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．‎ ‎【备考提示】：熟练掌握等差等比数列的基础知识是解决本类问题的关键.‎ 练习5.(2011年高考天津卷文科20)‎ 已知数列与满足,,且.‎ ‎（Ⅰ）求的值;‎ ‎(Ⅱ)设,,证明是等比数列;‎ ‎(Ⅲ)设为的前n项和,证明.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由,可得 ‎,,‎ 当n=1时,由,得;‎ 当n=2时,可得.‎ ‎(Ⅱ)证明:对任意,--------①‎ ‎---------------②‎ ‎②-①得: ,即,于是,所以是等比数列.‎ ‎(Ⅲ)证明:,由(Ⅱ)知,当且时,‎ ‎=2+3(2+)=2+,故对任意, ,‎ 由①得所以,,‎ 因此,,于是,‎ 故=,‎ 所以.‎ ‎【易错专区】‎ 问题：已知,求时,易忽视的情况 例. （2010年高考上海卷文科21）‎ 已知数列的前项和为，且，‎ ‎(1)证明：是等比数列；‎ ‎(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.‎ ‎【考题回放】‎ ‎1.(2011年高考安徽卷文科7)若数列的通项公式是,则（ ）‎ ‎（A） 15 (B) 12 (C ) (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；‎ 法二：，故.故选A.‎ ‎2. （2011年高考江西卷文科5)设{}为等差数列，公差d = -2，为其前n项和.若，则=（ ）‎ A.18 B‎.20 C.22 D.24‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】.‎ ‎3. (2011年高考江西卷理科5)已知数列{}的前n项和满足：，且=1．那么=（ ）‎ A．1 B．‎9 C.10 D．55‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为,所以令,可得;令,可得;同理可得,,,‎ ‎,所以=,故选A.‎ ‎4. (2011年高考四川卷理科8)数列的首项为， 为等差数列且 .若则，，则( )‎ ‎（A）0 （B）3 （C）8 （D）11‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知知由叠加法.‎ ‎5．（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=（ ）‎ ‎(A) (B) ‎7 ‎ (C) 6 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等比数列的性质知，10,所以,所以.‎ ‎6．（2010年高考全国卷Ⅱ文科6）如果等差数列中，++=12，那么++•••…+=（ ）‎ ‎（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵ ，∴ ‎ ‎7.（2009年高考安徽卷理科第5题）已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是高. （ ）‎ ‎【解析】设公比为,由已知得,即,因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B ‎9．（2009年高考湖南卷文科第3题）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于( )‎ A．13 B．‎35 C．49 D． 63 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】故选C.‎ 或由, ‎ ‎ 所以故选C.‎ ‎10. （2009年高考福建卷理科第3题）等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于( )‎ A．1 B C.- 2 D 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵且.故选C ‎11．（2009年高考江西卷理科第8题）数列的通项，其前项和为，则为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于以3 为周期,故 故选A ‎12.（2011年高考湖北卷文科9)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共‎3升，下面3节的容积共‎4升，则第5节的容积为（ ）‎ A. ‎1升 B. 升 C. 升 D. 升 ‎【答案】D ‎ ‎【解析】设9节竹子的容积从上往下依次为a1,a2,……a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即‎4a5-10d=3,‎3a5+9d=4,联立解得：，所以选B.‎ ‎13. (2011年高考湖南卷理科12)设是等差数列的前项和，且，，则 .‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】 因为，，所以，则.故填25‎ ‎14. (2011年高考广东卷理科11)等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则 .‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由题得.‎ ‎【解析】则 于是令得，则， 时递增，令得，则，时递减，故是最大项，即.‎ ‎17. （2011年高考江西卷文科21) (本小题满分14分）‎ ‎ （1）已知两个等比数列，满足，‎ ‎ 若数列唯一，求的值；‎ ‎ （2）是否存在两个等比数列，使得成公差为 ‎ 的等差数列？若存在，求 的通项公式；若存在，说明理由．‎ ‎【解析】（1）要唯一，当公比时，由且， ‎ ‎，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）‎ ‎，此时满足条件的a有无数多个，不符合。‎ 当公比时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由，可推得符合 综上：。‎ ‎（2）假设存在这样的等比数列，则由等差数列的性质可得：，整理得：‎ 要使该式成立，则=或此时数列，公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列.‎ ‎18. （2011年高考福建卷文科17)（本小题满分12分）‎ 已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3.‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.‎ ‎【解析】（I）设等差数列{an}的公差为,则,由，可得，解得 ‎,从而.‎ ‎（II）由（I）可知,所以,由Sk=-35，可得,‎ 即,解得或,又,故.‎ ‎19．（2011年高考湖南卷文科20)（本题满分13分）‎ 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．‎ ‎（I）求第n年初M的价值的表达式；‎ ‎（II）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．‎ ‎【解析】（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．‎ 因为是递减数列，所以是递减数列，又 所以须在第9年初对M更新．‎ ‎20. （2011年高考四川卷文科20)（本小题共12分）‎ 已知﹛﹜是以为首项，q为公比的等比数列，为它的前项和.‎ ‎（Ⅰ）当成等差数列时，求q的值；‎ ‎(Ⅱ)当，，成等差数列时，求证：对任意自然数也成等差数列. ‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时，，因为成等差数列，所以，解得，因为，故；‎ 当时，，由成等差数列得，得，即，.‎ ‎21．（2010年高考天津卷文科22）（本小题满分14分）‎ 在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.‎ ‎（Ⅰ）证明成等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）记，证明.‎ ‎【解析】（I）证明：由题设可知，，，，，.从而，所以，，成等比数列.‎ ‎（II）解：由题设可得 所以 ‎ ‎ ‎ .‎ 由，得 ，从而.‎ 所以数列的通项公式为或写为，。‎ ‎（III）证明：由（II）可知，，‎ 以下分两种情况进行讨论：‎ （1） 当n为偶数时，设n=2m 若，则，‎ 若，则 ‎ ‎ ‎ .‎ 所以，从而 （2） 当n为奇数时，设。‎ 所以，从而 综合（1）和（2）可知，对任意有 ‎22．(2010年高考北京卷文科16)（本小题共13分）‎ 已知为等差数列，且，。‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若等差数列满足，，求的前n项和公式 ‎【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差。‎ ‎23．(2010年高考江西卷文科22)（本小题满分14分）‎ 正实数数列中，，，且成等差数列．‎ ‎（1）证明数列中有无穷多项为无理数；‎ ‎（2）当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和．‎ ‎【解析】证明：（1）由已知有：，从而，‎ ‎ 方法一：取，则．‎ ‎ 用反证法证明这些都是无理数．‎ ‎ 假设为有理数，则必为正整数，且，‎ 故．，与矛盾，‎ 所以都是无理数，即数列中有无穷多项为无理数；‎ 方法二：因为，当得末位数字是3,4,8,9时，的末位数字是3和7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时不是有理数，因这种有无穷多，故这种无理项也有无穷多．‎ ‎（2）要使为整数，由可知：同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有或当时，有又必为偶数，所以满足 即时，为整数；同理有 也满足 即时，为整数；显然和是数列中的不同项；所以当和时，为整数；由有，‎ 由有．‎ 设中满足的所有整数项的和为，则 ‎ ．‎ ‎24. (2010年高考浙江卷文科19)（本题满分14分）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足+15=0.‎ ‎（Ⅰ）若=5，求及a1；（Ⅱ）求d的取值范围.‎ ‎【解析】(Ⅰ)解：由题意知S6==-3,‎ A6=S6-S5=-8所以解得a1=7,所以S6= -3,a1=7‎ ‎(Ⅱ)解：因为S5S6+15=0,所以(‎5a1+10d)(‎6a1+15d)+15=0,即‎2a12+9da1+10d2+1=0.‎ ‎【解析】通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式 ‎2．(2010年高考安徽卷文科5)设数列的前n项和，则的值为( )‎ ‎（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64‎ ‎【答案】A ‎【解析】.‎ ‎3．（2010年高考山东卷文科7）设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的( )‎ ‎（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，解得又，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比且，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件。‎ ‎4．(2010年高考江西卷文科7)等比数列中，，，，则 A． B． C． D．‎ ‎5．（2010年高考辽宁卷文科3）设为等比数列的前项和，已知，，则公比( )‎ ‎（A）3 （B）4 （C）5 （D）6‎ ‎【答案】B ‎【解析】两式相减得， ，.‎ ‎6．（2010年高考广东卷文科4）已知数列{}为等比数列，是它的前n项和，若，‎ 且与的等差中项为，则S5=w( ) ‎ w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎ A．35 B．‎33 C．31 D．29‎ ‎7．（2010年高考重庆卷文科2）在等差数列中，，则的值为( )‎ ‎（A）5 （B）6‎ ‎（C）8 （D）10‎ ‎【答案】A ‎【解析】由角标性质得，所以=5.‎ ‎8．（2010年高考湖北卷文科7）已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则( )‎ A. B. C. D ‎【答案】C 二．填空题：‎ ‎13．（2009年高考北京卷文科第10题）若数列满足：，则 ‎ ；前8项的和 .（用数字作答）‎ ‎【答案】255‎ ‎【解析】，‎ 易知.‎ ‎14．（2010年高考辽宁卷文科14）设为等差数列的前项和，若，则 。‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】由,解得，K^S*5U.C#‎ ‎15．(浙江省温州市2011年高三第一次适应性测试理科)已知数列是公比为的等比数列，集合，从中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样得到4个数的不同的等比数列共有 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以公比为的等比数列有…共组；‎ 以公比为的等比数列有…共组；‎ 以公比为的等比数列有共组.‎ 再考虑公比分别为的情形，可得得到4个数的不同的等比数列共有个.‎ 三．解答题：‎ ‎17.（2009年高考山东卷理科第20题）（本小题满分12分）‎ 等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数的图像上.‎ ‎（Ⅰ）求r的值； ‎ ‎(文科)（Ⅱ）当b=2时，记,求数列的前n项和.‎ ‎(理科)（Ⅱ）当b=2时，记 ,证明：对任意的 ，不等式成立 ‎【解析】(Ⅰ) 由题意知: ,‎ 当时,,‎ 由于且所以当时, {}是以为公比的等比数列,‎ 又,,即解得.‎ ‎(理科) (Ⅱ)∵,∴当时,,‎ 又当时, ,适合上式,∴,,‎ ‎∴,‎ 下面用数学归纳法来证明不等式:‎ 证明:(1)当时,左边=右边,不等式成立.‎ ‎(2)假设当时,不等式成立,即,‎ 则当时,‎ 不等式左边=‎ 所以当时,不等式也成立,‎ 综上(1)(2)可知:当时,不等式恒成立,‎ 所以对任意的,不等式成立.‎ ‎(文科)（Ⅱ）由（Ⅰ）知, ,,所以=,‎ ‎,‎ ‎ +,‎ 两式相减得: ‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ 故=.‎ ‎（Ⅱ）因为， …10分 所以 ‎． …14分 ‎19．（天津市南开中学2011年3月高三月考文科）已知数列的前以项和为且对于任意的恒有设 ‎(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式和 ‎(3)若证明：‎ ‎【解析】 (1)当n=l时，得 当时，两式相减得：‎ 是以为首项，2为公比的等比数列．……………………4分 ‎(2)由(1)得 ‎……………………………………8分 由为正项数列，所以也为正项数列，‎ 从而所以数列递减，‎ 所以 …12分 另证：由 所以 ‎20．(天津市红桥区2011届高三一模文科)（本题满分14分）‎ ‎ 设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且。‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若为数列的前项和，求证：。‎ ‎【解析】（1）由,‎ ‎ ‎ ‎ （2）数列为等差数列，公差 ‎ ‎ 从而 ‎ ‎ ‎ 从而 ‎21. (山东省济南市2011年2月高三教学质量调研文科)‎ 已知{an}是递增的等差数列，满足a2·a4=3,a1+a5=4. ‎ ‎(1) 求数列{an}的通项公式和前n项和公式； ‎ ‎(2) 设数列{bn}对n∈N*均有成立，求数列{bn}的通项公式. ‎ ‎22. (山东省青岛市2011年3月高考第一次模拟理科)已知数列满足，且，为的前项和.‎ ‎(Ⅰ)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. ‎ ‎【解析】(Ⅰ) 对任意,都有，所以 则成等比数列,首项为，公比为…………2分 所以，…………4分 ‎ (Ⅱ) 因为 所以…………6分 因为不等式，化简得对任意恒成立…………7分 设，则…………8分 当,,为单调递减数列，当,,为单调递增数列 ‎,所以, 时, 取得最大值…………11分 所以, 要使对任意恒成立，…………12分