高考指导高中数学理基础知识归类 8页

高中数学基础知识归类——献给2012年高三考生 ‎ ‎ 一.集合与简易逻辑 ‎1.注意区分集合中元素的形式.如：—函数的定义域；—函数的值域；‎ ‎ —函数图象上的点集.‎ ‎2.集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集,记为.‎ ‎ ②空集是任何集合的子集,记为.‎ ‎ ③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况 ‎ 如：,如果,求的取值.(答：)‎ ‎ ④,；；‎ ‎ .‎ ‎ ⑤.‎ ‎ ⑥元素的个数：.‎ ‎ ⑦含个元素的集合的子集个数为；真子集(非空子集)个数为；非空真子集个数为.‎ ‎3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。‎ ‎ 如：已知函数在区间上至少存在一个实数,使 ‎ ,求实数的取值范围.(答：)‎ ‎4.原命题: ；逆命题: ；否命题: ；逆否命题: ；互为逆否的两 ‎ 个命题是等价的.如：“”是“”的 条件.(答：充分非必要条件)‎ ‎5.若且,则是的充分非必要条件(或是的必要非充分条件).‎ ‎6.注意命题的否定与它的否命题的区别: 命题的否定是；否命题是.‎ ‎ 命题“或”的否定是“且”；“且”的否定是“或”.‎ ‎ 如：“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是“若和不都是偶数,则是奇数”‎ ‎ 否定是“若和都是偶数,则是奇数”.‎ ‎7.常见结论的否定形式 原结论 否定 原结论 否定 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有个 小于 不小于 至多有个 至少有个 对所有,成立 存在某,不成立 或 且 对任何,不成立 存在某,成立 且 或 二.函数 ‎1.①映射:是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合中的元素必有象且中不 ‎ 同元素在中可以有相同的象；集合中的元素不一定有原象(即象集). ‎ ‎ ②一一映射:： ⑴“一对一”的对应；⑵中不同元素的象必不同,中元素都有原象.‎ ‎2.函数: 是特殊的映射.特殊在定义域和值域都是非空数集！据此可知函数图像与轴 ‎ 的垂线至多有一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.‎ ‎3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.‎ ‎4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母;偶次根式被开方数非负;对数真数,底数 ‎ 且；零指数幂的底数)；实际问题有意义；若定义域为,复合函数定义 ‎ 域由解出；若定义域为,则定义域相当于时的值域.‎ ‎5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围).‎ ‎ ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；‎ ‎ ⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；‎ ‎ ⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).‎ ‎6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法；‎ ‎ ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。‎ ‎7.函数的奇偶性和单调性 ‎ ⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；‎ ‎ ⑵若是偶函数,那么；定义域含零的奇函数必过原点()；‎ ‎ ⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：或；‎ ‎ ⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.‎ ‎ 注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个 ‎ (如定义域关于原点对称即可).‎ ‎ ⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；‎ ‎ ⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等.‎ ‎ ⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域）‎ ‎ 如：函数的单调递增区间是.(答：)‎ ‎8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对而言）；‎ ‎ 上下平移----“上加下减”(注意是针对而言).⑵翻折变换：；.‎ ‎ ⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.‎ ‎ ②证明图像与的对称性,即证上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在上,反之亦然.‎ ‎ ③函数与的图像关于直线(轴)对称；函数与函数 ‎ 的图像关于直线(轴)对称；‎ ‎ ④若函数对时，或恒成立,则图像关 ‎ 于直线对称；‎ ‎ ⑤若对时,恒成立,则图像关于直线对称；‎ ‎ ⑥函数,的图像关于直线对称(由确定)；‎ ‎ ⑦函数与的图像关于直线对称；‎ ‎ ⑧函数,的图像关于直线对称(由确定)；‎ ‎ ⑨函数与的图像关于原点成中心对称；函数,‎ ‎ 的图像关于点对称；‎ ‎ ⑩函数与函数的图像关于直线对称；曲线：,关于 ‎ ,的对称曲线的方程为(或；‎ ‎ 曲线：关于点的对称曲线方程为：.‎ ‎9.函数的周期性：⑴若对时恒成立,则 的周期为；‎ ‎ ⑵若是偶函数,其图像又关于直线对称,则的周期为；‎ ‎ ⑶若奇函数,其图像又关于直线对称,则的周期为；‎ ‎ ⑷若关于点,对称,则的周期为；‎ ‎ ⑸的图象关于直线,对称,则函数的周期为；‎ ‎ ⑹对时,或,则的周期为；‎ ‎10.对数：⑴；⑵对数恒等式；‎ ‎ ⑶；‎ ‎ ；⑷对数换底公式； ‎ ‎ 推论：.‎ ‎ (以上且均不等于)‎ ‎11.方程有解(为的值域)；恒成立,‎ ‎ 恒成立.‎ ‎12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)； ⑵转化为一元二次方程根的分布问题；‎ ‎13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”： ‎ ‎ 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；‎ ‎14.二次函数解析式的三种形式： ①一般式：；②顶点式：‎ ‎ ； ③零点式：.‎ ‎15.一元二次方程实根分布:先画图再研究、轴与区间关系、区间端点函数值符号;‎ ‎16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若的定义域为,其复合函数的定义域可由 ‎ 不等式解出；若的定义域为,求的定义域，相当于时,求 ‎ 的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.‎ ‎17.对于反函数,应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有反函数；⑵奇函数的反函数 ‎ 也是奇函数；⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；⑷周期函数不存在反函数；‎ ‎ ⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑹与互为 ‎ 反函数,设的定义域为,值域为,则有,.‎ ‎18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：‎ ‎ (或)(或)；‎ ‎19.函数的图像是双曲线：①两渐近线分别直线(由分母为零确定)和 ‎ 直线(由分子、分母中的系数确定)；②对称中心是点；③反函数为；‎ ‎20.函数：增区间为,减区间为.‎ ‎ 如：已知函数在区间上为增函数,则实数的取值范围是(答：).‎ 三.数列 ‎1.由求, 注意验证是否包含在后面的公式中,若不符合要 ‎ 单独列出.如：数列满足，求(答：).‎ ‎2.等差数列(为常数)‎ ‎ ；‎ ‎3.等差数列的性质： ①,；‎ ‎ ②(反之不一定成立)；特别地,当时,有；‎ ‎ ③若、是等差数列,则(、是非零常数)是等差数列；‎ ‎ ④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列；‎ ‎ ⑤等差数列,当项数为时,,；项数为时,‎ ‎ ,,且；.‎ ‎ ⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式 ‎ (或).也可用的二次函数关系来分析.‎ ‎ ⑦若,则；若,则；‎ ‎ 若,则Sm+n=0；S‎3m=3(S‎2m－Sm)；.‎ ‎4.等比数列.‎ ‎5.等比数列的性质 ‎ ①,；②若、是等比数列，则、等也是等比数列；‎ ‎ ③；④(反之不一定成 ‎ 立)；. ⑤等比数列中(注：各项均不为0)‎ ‎ 仍是等比数列. ⑥等比数列当项数为时,；项数为时,.‎ ‎6.①如果数列是等差数列,则数列(总有意义)是等比数列；如果数列是等比数列,‎ ‎ 则数列是等差数列；‎ ‎ ②若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列；‎ ‎ ③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差 ‎ 是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的 ‎ 公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；‎ ‎ ④三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：；‎ ‎ 三个数成等比的设法：；四个数成等比的错误设法：(为什么？)‎ ‎7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.‎ ‎ ⑵已知(即)求用作差法：.‎ ‎ ⑶已知求用作商法：.‎ ‎ ⑷若求用迭加法. ⑸已知,求用迭乘法.‎ ‎ ⑹已知数列递推式求,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如,,‎ ‎ (为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,‎ ‎ 再求.②形如的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.‎ ‎8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位 ‎ 相减；⑤分裂通项法.公式：；；‎ ‎ ；；常见裂项公式；‎ ‎ ；；‎ ‎ 常见放缩公式：.‎ ‎9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题 ‎ ⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算 ‎ “年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.‎ ‎ ⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金元,每期利 ‎ 率为,则期后本利和为：(等差数列问 ‎ 题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)元,采用分期等 ‎ 额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.如果每期利 ‎ 率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：‎ ‎ (等比数列问题).‎ 四.三角函数 ‎1.终边与终边相同；终边与终边共线；终边 ‎ 与终边关于轴对称；终边与终边关于轴对称 ‎ ；终边与终边关于原点对称；‎ ‎ 终边与终边关于角终边对称.‎ ‎2.弧长公式：；扇形面积公式：；弧度()≈.‎ ‎3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.‎ ‎ 注意： ；；‎ ‎4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹 ‎ 、”的关系.‎ ‎ 如等.‎ ‎5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；‎ ‎ (注意：公式中始终视a为锐角)‎ ‎6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 ‎ 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.‎ ‎ 如：；；；；‎ ‎ 等；“”的变换：；‎ ‎7.重要结论：其中）；重要公式；‎ ‎ ；；.‎ ‎ 万能公式：；；.‎ ‎8.正弦型曲线的对称轴；对称中心；‎ ‎ 余弦型曲线的对称轴；对称中心；‎ ‎9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三 ‎ 内角和等于,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：；‎ ‎ 余弦定理：；‎ ‎ 正弦平方差公式：；三角形的内切圆半径；‎ ‎ 面积公式：；射影定理：.‎ ‎10.中,易得：,①,,.‎ ‎ ②,,. ③‎ ‎ ④锐角中,,,,类比得钝角结论.‎ ‎ ⑤.‎ ‎11.角的范围：异面直线所成角；直线与平面所成角；二面角和两向量的夹角；直线 ‎ 的倾斜角；到的角；与的夹角.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.‎ 五.平面向量 ‎1.设,. (1)；(2).‎ ‎2.平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向 ‎ 量,有且只有一对实数、,使.‎ ‎3.设,,则；其几何意义是等于的长度 ‎ 与在的方向上的投影的乘积；在的方向上的投影.‎ ‎4.三点、、共线与共线；与共线的单位向量.‎ ‎5.平面向量数量积性质：设,,则；注意: ‎ ‎ 为锐角,不同向；为直角；为钝角,不反向.‎ ‎6.同向或有；反向或有 ‎ ；不共线.‎ ‎7.平面向量数量积的坐标表示：⑴若,,则；‎ ‎ ； ⑵若,则.‎ ‎8.熟记平移公式和定比分点公式. ①当点在线段上时,；当点在线段(或)‎ ‎ 延长线上时,或.②分点坐标公式：若；且,；‎ ‎ 则, 中点坐标公式：.‎ ‎ ③,,三点共线存在实数、使得且.‎ ‎9.三角形中向量性质：①过边的中点：；‎ ‎ ②为的重心；‎ ‎ ③为的垂心； ④为 ‎ 的内心；所在直线过内心. ⑤设,‎ ‎ . .‎ ‎ ⑥为内一点,则.‎ ‎10.,有()；.‎ 六.不等式 ‎1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：‎ ‎ ①若,,则.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.‎ ‎ ②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.‎ ‎2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意 ‎ 用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.‎ ‎3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若,则(当且仅当时 ‎ 取等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2)，‎ ‎ (当且仅当时,取等号)；(3)公式注意变形如：,‎ ‎ ；(4)若,则(真分数的性质)；‎ ‎4.含绝对值不等式：同号或有；异号或有 ‎ .‎ ‎5.证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：.注意：若两个正数作差比较有困 ‎ 难,可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证…‎ ‎ 需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.‎ ‎ 放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,如：；.②将分子或分母放大(或缩小)‎ ‎ ③利用基本不等式,如：.④利用常用结论： ；‎ ‎ (程度大)； (程度小)；‎ ‎ ⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元 ‎ 代数换元.如：知,可设；知,可设,‎ ‎ ()；知,可设；已知,可设.‎ ‎ ⑺最值法,如：,则恒成立.,则恒成立.‎ 七.直线和圆的方程 ‎1.直线的倾斜角的范围是；‎ ‎2.直线的倾斜角与斜率的变化关系(如右图)：‎ ‎3.直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点斜率为，则直线 ‎ 方程为,它不包括垂直于轴的直线.⑵斜截式：已知直线在轴上的截距为 ‎ 和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线. ⑶两点式：已知直线经过 ‎ 、两点,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线.‎ ‎ ⑷截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为,它不包括垂直于坐标 ‎ 轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成(不同时为0)的形式.‎ ‎ 提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)‎ ‎ ⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为.直线两截距相等直线的斜率为或直线过 ‎ 原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点；直线两截距绝对值相等 ‎ 直线的斜率为或直线过原点.‎ ‎ ⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.‎ ‎4.直线与直线的位置关系：‎ ‎ ⑴平行(斜率)且(在轴上截距)；‎ ‎ ⑵相交；(3)重合且.‎ ‎5.直线系方程：①过两直线：,：.交点的直线系方程可设 ‎ 为；②与直线平行的直线系方程可设为 ‎ ；③与直线垂直的直线系方程可设为.‎ ‎6.到角和夹角公式：⑴到的角是指直线绕着交点按逆时针方向转到和直线重合所转的角,‎ ‎ 且；‎ ‎ ⑵与的夹角是指不大于直角的角且.‎ ‎7.点到直线的距离公式；‎ ‎ 两条平行线与的距离是.‎ ‎8.设三角形三顶点,,,则重心；‎ ‎9.有关对称的一些结论 ‎ ⑴点关于轴、轴、原点、直线的对称点分别是,,,.‎ ‎ ⑵曲线关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点：；‎ ‎ ②轴：；③轴：；④原点：；⑤直线：‎ ‎ ；⑥直线：；⑦直线：.‎ ‎10.⑴圆的标准方程：. ⑵圆的一般方程：‎ ‎ .特别提醒：只有当时,方程 ‎ 才表示圆心为,半径为的圆(二元二次方程 ‎ 表示圆,且).‎ ‎ ⑶圆的参数方程：(为参数),其中圆心为,半径为.圆的参数方程主要应用是 ‎ 三角换元：； .‎ ‎ ⑷以、为直径的圆的方程；‎ ‎11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点及圆的方程 ‎ .①点在圆外；‎ ‎ ②点在圆内；③点在圆上.‎ ‎12.圆上一点的切线方程：点在圆上,则过点的切线方程为：；‎ ‎ 过圆上一点切线方程为.‎ ‎13.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与轴垂直的直线.‎ ‎14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解 ‎ 决弦长问题.①相离　　②相切　　③相交 ‎15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为,‎ ‎ 两圆的半径分别为：两圆相离；两圆相外切； 两 ‎ 圆相交；两圆相内切； 两圆内含；两圆同心.‎ ‎16.过圆：,：交点的圆(相交弦)系方程 ‎ 为.时为两圆相交弦所在直线方程.‎ ‎17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成 ‎ 直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).‎ ‎18.求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,写出目标 ‎ 函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.‎ 八.圆锥曲线方程 ‎1.椭圆焦半径公式：设为椭圆上任一点,焦点为,,‎ ‎ 则(“左加右减”)；‎ ‎2.双曲线焦半径：设为双曲线上任一点,焦点为,,‎ ‎ 则：⑴当点在右支上时,；⑵当点在左支上时,,‎ ‎ ；(为离心率).另：双曲线的渐近线方程为.‎ ‎3.抛物线焦半径公式：设为抛物线上任意一点,为焦点,则 ‎ ；上任意一点,为焦点，则.‎ ‎4.共渐近线的双曲线标准方程为(为参数,).‎ ‎5.两个常见的曲线系方程： ⑴过曲线,的交点的曲线系方程是 ‎ (为参数).⑵共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中 ‎ .当时,表示椭圆；当时,表示双曲线.‎ ‎6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 ‎ (弦端点,由方程消去 ‎ 得到,,为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想；‎ ‎7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为,焦准距为,抛物线的通径为,焦准距为；‎ ‎ 双曲线的焦点到渐近线的距离为；‎ ‎8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为(对于椭圆)；‎ ‎9.抛物线的焦点弦（过焦点的弦）为,、,则有如下结论：‎ ‎ ⑴；⑵,； ⑶.‎ ‎10.椭圆左焦点弦,右焦点弦.‎ ‎11.对于抛物线上的点的坐标可设为,以简化计算.‎ ‎12.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆中,‎ ‎ 以为中点的弦所在直线斜率；在双曲线中,以为中点的弦所 ‎ 在直线斜率；在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率.‎ ‎13.求轨迹方程的常用方法：‎ ‎ ⑴直接法：直接通过建立、之间的关系，构成,是求轨迹的最基本的方法.‎ ‎ ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.‎ ‎ ⑶代入法(相关点法或转移法).‎ ‎ ⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.‎ ‎ ⑸交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑 ‎ 将、均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.‎ ‎14.解析几何与向量综合的有关结论：‎ ‎ ⑴给出直线的方向向量或.等于已知直线的斜率或；‎ ‎ ⑵给出与相交,等于已知过的中点；‎ ‎ ⑶给出,等于已知是的中点;‎ ‎ ⑷给出,等于已知与的中点三点共线;‎ ‎ ⑸给出以下情形之一： ①； ②存在实数,使； ③若存在实数, ‎ ‎ 且；使,等于已知三点共线.‎ ‎ ⑹给出,等于已知是的定比分点,为定比,即 ‎ ⑺给出,等于已知,即是直角,给出,等于已 ‎ 知是钝角或反向共线,给出,等于已知是锐角或同向共线.‎ ‎ ⑻给出,等于已知是的平分线.‎ ‎ ⑼在平行四边形中,给出,等于已知是菱形.‎ ‎ ⑽在平行四边形中,给出,等于已知是矩形.‎ ‎ ⑾在中,给出，等于已知是的外心(三角形的外心是外接圆 ‎ 的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).‎ ‎ ⑿在中,给出，等于已知是的重心(三角形的重心是三角形 ‎ 三条中线的交点).‎ ‎ ⒀在中,给出，等于已知是的垂心(三角形的垂心 ‎ 是三角形三条高的交点).‎ ‎ ⒁在中,给出等于已知通过的内心.‎ ‎ ⒂在中,给出等于已知是的内心(三角形内切圆 ‎ 的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点).‎ ‎ ⒃在中,给出,等于已知是中边的中线.‎ 九.直线、平面、简单几何体 ‎1.从一点出发的三条射线、、.若,则点在平面上的射影在 ‎ 的平分线上；‎ ‎2.立平斜三角余弦公式：(图略)和平面所成的角是,在平面内,和的射影成,‎ ‎ 设,则；‎ ‎3.异面直线所成角的求法：⑴平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线.‎ ‎ ⑵补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在 ‎ 于容易发现两条异面直线间的关系；‎ ‎4.直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键.‎ ‎5.二面角的求法：⑴定义法；⑵三垂线法；⑶垂面法；⑷射影法：利用面积射影公式 ‎ 其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；‎ ‎6.空间距离的求法：⑴两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂 ‎ 线,然后再进行计算.⑵求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解.‎ ‎ ⑶求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是关键；‎ ‎ 二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解.‎ ‎7.用向量方法求空间角和距离：⑴求异面直线所成的角：设、分别为异面直线、的方向向量,‎ ‎ 则两异面直线所成的角.⑵求线面角：设是斜线的方向向量,是平面的 ‎ 法向量,则斜线与平面所成的角. ⑶求二面角(法一)在内,在内 ‎ ,其方向如图(略),则二面角的平面角.(法二)设,是二面角 ‎ 的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角的平面 ‎ 角.（4)求点面距离：设是平面的法向量,在内取一点,则到的距离 ‎ (即在方向上投影的绝对值).‎ ‎8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为,则.‎ ‎9.正四面体(设棱长为)的性质：‎ ‎ ①全面积；②体积；③对棱间的距离；④相邻面所成二面角；‎ ‎⑤外接球半径；⑥内切球半径；⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值.‎ ‎10.直角四面体的性质：(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体).在直角四面体 ‎ 中,两两垂直,令,则⑴底面三角形为锐角三角形；‎ ‎ ⑵直角顶点在底面的射影为三角形的垂心；⑶；‎ ‎ ⑷；⑸；⑹外接球半径R=.‎ ‎11.已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有 ‎ 或；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成 ‎ 的角分别为,则有或.‎ ‎12.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；‎ ‎13.球的体积公式,表面积公式；掌握球面上两点、间的距离求法：‎ ‎ ⑴计算线段的长；⑵计算球心角的弧度数；⑶用弧长公式计算劣弧的长.‎ 十.排列组合和概率 ‎1.排列数公式:,当时为全排列.‎ ‎2.组合数公式：,.‎ ‎3.组合数性质：；.‎ ‎4.排列组合主要解题方法：①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；②捆绑法(相邻问题)；‎ ‎ ③插空法（不相邻问题）；④间接扣除法；(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件 ‎ 的所有情况去掉）⑤多排问题单排法;⑥相同元素分组可采用隔板法（适用与指标分配，每部分至 ‎ 少有一个）；⑦先选后排,先分再排(注意等分分组问题)；⑧涂色问题(先分步考虑至某一步时再分 ‎ 类).⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成组问题别忘除以.‎ ‎5.常用性质：；即；；‎ ‎6.二项式定理： ⑴掌握二项展开式的通项：；‎ ‎ ⑵注意第r＋1项二项式系数与第r＋1项系数的区别.‎ ‎7.二项式系数具有下列性质：⑴与首末两端等距离的二项式系数相等；⑵若为偶数,中间一项 ‎ (第项)的二项式系数最大；若为奇数,中间两项(第和项)的二项式系数最大.‎ ‎ ⑶；.‎ ‎8.二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式 ‎ 的某些项的系数的和如展开式的各项系数和为,奇数项系数和为 ‎ ‎ ,偶数项的系数和为.‎ ‎9.等可能事件的概率公式：⑴； ⑵互斥事件有一个发生的概率公式为：‎ ‎ ；⑶相互独立事件同时发生的概率公式为；⑷独立重复试验 ‎ 概率公式；⑸如果事件与互斥，那么事件与、与及事件 ‎ 与也都是互斥事件；⑹如果事件、相互独立，那么事件、至少有一个不发生 ‎ 的概率是；（6）如果事件与相互独立，那么事件与至少有 ‎ 一个发生的概率是.‎ 十一.概率与统计 ‎1.理解随机变量,离散型随机变量的定义,能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可 ‎ 知,任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：⑴；⑵.‎ ‎2.二项分布记作为参数),,记.‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎3.记住以下重要公式和结论：‎ ‎ ⑴期望值.‎ ‎ ⑵方差.‎ ‎ ⑶标准差；.‎ ‎ ⑷若(二项分布),则, .‎ ‎ ⑸若(几何分布),则,.‎ ‎4.掌握抽样的三种方法：⑴简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法)；⑵(理)系统抽样,也叫等距 ‎ 抽样；⑶分层抽样(按比例抽样),常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形.它们的共同点 ‎ 都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中,“每次抽取时的各个个体被抽到的概率相等”.如从 ‎ 含有个个体的总体中,采用随机抽样法,抽取个个体,则每个个体第一次被抽到的概率为 ‎ ,第二次被抽到的概率为,…,故每个个体被抽到的概率为,即每个个体入样的概率为.‎ ‎5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越大,‎ ‎ 这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图；⑴学会用样本平均数 ‎ 去估计总体平均数；⑵会用样本方差 ‎ 去估计总体方差及总体标准差；⑶学会用修正的 ‎ 样本方差去估计总体方差,会用去估计.‎ ‎6.正态总体的概率密度函数：,式中是参数,分别表示总体的平均 ‎ 数与标准差；‎ ‎7.正态曲线的性质：⑴曲线在时处于最高点,由这一点向左、向右两边延伸时,曲线逐渐降 ‎ 低；⑵曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定,越大,曲线越矮胖；反过来曲线越高瘦.‎ ‎ ⑶曲线在轴上方，并且关于直线x= 对称；‎ ‎8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布的概率,可由变 ‎ 换而得,于是有.‎ ‎9.假设检验的基本思想：⑴提出统计假设，确定随机变量服从正态分布；⑵确定一 ‎ 次试验中的取值是否落入范围；⑶作出推断：如果,接受统 ‎ 计假设；如果,由于这是小概率事件,就拒绝假设.‎ 十二.极限 ‎1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明(注意步骤,两步缺一不可).‎ ‎2.数列极限：⑴掌握数列极限的运算法则,注意其适用条件：一是数列,的极限都存在；二 ‎ 是仅适用于有限个数列的和、差、积、商,对于无限个数列的和(或积),应先求和(或积),再求极限.‎ ‎ ⑵常用的几个数列极限：(为常数)；,(,为常数).‎ ‎ ⑶无穷递缩等比数列各项和公式().‎ ‎3.函数的极限： ⑴当趋向于无穷大时，函数的极限为.‎ ‎ ⑵当时函数的极限为.⑶掌握函数极限的四则运算法则.‎ ‎4.函数的连续性：⑴如果对函数在点处及其附近有定义,且有,就 ‎ 说函数在点处连续；⑵若与都在点处连续，则,,‎ ‎ 也在点处连续；⑶若在点处连续,且在处连续,则复合 ‎ 函数在点处也连续.‎ 十三.导数 ‎1.导数的定义：在点处的导数记作.‎ ‎2.可导与连续的关系：如果函数在点处可导,那么函数在点处连续,但是 ‎ 在点处连续却不一定可导.‎ ‎3.函数在点处有导数,则的曲线在该点处必有切线,且导数值是该切线的斜率.但函数 ‎ 的曲线在点处有切线,则在该点处不一定可导.如在有切线,但不可导.‎ ‎4.函数在点处的导数的几何意义是指：曲线在点处切线的斜率,‎ ‎ 即曲线在点处的切线的斜率是,切线方程为.‎ ‎5.常见函数的导数公式:(为常数)；.；；‎ ‎ ；；.‎ ‎6.导数的四则运算法则：；；.‎ ‎7.复合函数的导数：.‎ ‎8.导数的应用：‎ ‎ (1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增 ‎ 函数；如果,那么为减函数；如果在某个区间内恒有,那么为常数；‎ ‎ (2)求可导函数极值的步骤：①求导数；②求方程的根；③检验在方程 ‎ 根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得最大值；如果左负 ‎ 右正,那么函数在这个根处取得最小值；‎ ‎ (3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求在内的极值；②将在各极值点 ‎ 点的极值与、比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.‎ 十四.复数 ‎1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示.‎ ‎2.熟练掌握与灵活运用以下结论：⑴且；⑵复数是 ‎ 实数的条件：①；②；③.‎ ‎3.复数是纯虚数的条件: ①是纯虚数且； ②是纯虚数 ‎ ；③是纯虚数.‎ ‎4.⑴复数的代数形式：；⑵复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设,‎ ‎ ,则,,‎ ‎ .‎ ‎5.几个重要的结论：‎ ‎ ⑴；⑵；⑶若为虚数,则.‎ ‎6.运算律仍然成立：(1) ⑴； ⑵；⑶.‎ ‎7.注意以下结论：⑴；⑵,；⑶；‎ ‎ ⑷.‎ 十五.注意答题技巧训练 ‎1.技术矫正：考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意：‎ ‎ ⑴按序答题,先易后难.一定要选择熟题先做、有把握的题目先做.‎ ‎ ⑵不能纠缠在某一题、某一细节上,该跳过去就先跳过去,千万不能感觉自己被卡住,这样会心慌， ‎ ‎ 影响下面做题的情绪.‎ ‎ ⑶避免“回头想”现象,一定要争取一步到位,不要先做一下,等回过头来再想再检查,高考时间较紧 ‎ 张,也许待会儿根本顾不上再来思考.‎ ‎ ⑷做某一选择题时如果没有十足的把握,初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记,有时间 ‎ 再推敲,不要空答案,否则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率.‎ ‎2.规范化提醒：这是取得高分的基本保证.规范化包括：解题过程有必要的文字说明或叙述,注意解完 ‎ 后再看一下题目,看你的解答是否符合题意,谨防因解题不全或失误,答题或书写不规范而失分.总 ‎ 之,要吃透题“情”,合理分配时间,做到一准、二快、三规范.特别是要注意解题结果的规范化.‎ ‎ ⑴解与解集：方程的结果一般用解表示(除非强调求解集)；不等式、三角方程的结果一般用解集(集 ‎ 合或区间)表示.三角方程的通解中必须加.在写区间或集合时,要正确地书写圆括号、方括 ‎ 号或大括号,区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开.‎ ‎ ⑵带单位的计算题或应用题,最后结果必须带单位,解题结束后一定要写上符合题意的“答”.‎ ‎ ⑶分类讨论题,一般要写综合性结论.‎ ‎ ⑷任何结果要最简.如等.‎ ‎ ⑸排列组合题,无特别声明,要求出数值.‎ ‎ ⑹函数问题一般要注明定义域(特别是反函数).‎ ‎ ⑺参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围.‎ ‎ ⑻轨迹问题：①轨迹与轨迹方程的区别：轨迹方程一般用普通方程表示,轨迹则需要说明图形形状.‎ ‎ ②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中或的范围.‎ ‎ ⑼分数线要划横线,不用斜线.‎ ‎3.考前寄语：①先易后难,先熟后生；②一慢一快：审题要慢,做题要快；③不能小题难做,小题大做, ‎ ‎ 而要小题小做,小题巧做；④我易人易我不大意,我难人难我不畏难；⑤考试不怕题不会,就怕会题 ‎ 做不对；⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分；⑦对数学解题 ‎ 有困难的考生的建议：立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.‎