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- 2021-05-13 发布
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高三一轮复习讲座五 ----平面向量
主讲教师:王思俭 (苏州中学)
二、复习要求
1、 向量的概念;
2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;
3、向量运算的运用
三、学习指导
1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。
向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义——共线;③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等。
2、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下:
运 算
图形语言
符号语言
坐标语言
加法与减法
+=
-=
记=(x1,y1),=(x1,y2)
则+=(x1+x2,y1+y2)
-=(x2-x1,y2-y1)
+=
实数与向量
的乘积
=λ
λ∈R
记=(x,y)
则λ=(λx,λy)
两个向量
的数量积
·=||||
cos<,>
记=(x1,y1), =(x2,y2)
则·=x1x2+y1y2
3、 运算律
加法:+=+,(+)+=+(+)
实数与向量的乘积:λ(+)=λ+λ;(λ+μ)=λ+μ,λ(μ)=
(λμ)
两个向量的数量积:·=·;(λ)·=·(λ)=λ(·),(+)·=·+·
说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如(±)2=
1、 重要定理、公式
(1)平面向量基本定理;如果+是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对数数λ1,λ2,满足=λ1+λ2,称λ1λ+λ2为,的线性组合。
根据平面向量基本定理,任一向量与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为在基底{,}下的坐标,当取{,}为单位正交基底{,}时定义(λ1,λ2)为向量的平面直角坐标。
向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y),则=(x,y);当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)
(2)两个向量平行的充要条件
符号语言:若∥,≠,则=λ
坐标语言为:设=(x1,y1),=(x2,y2),则∥(x1,y1)=λ(x2,y2),即,或x1y2-x2y1=0
在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ>0;当与异向时,λ<0。
|λ|=,λ的大小由及的大小确定。因此,当,确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。
(3)两个向量垂直的充要条件
符号语言:⊥·=0
坐标语言:设=(x1,y1), =(x2,y2),则⊥x1x2+y1y2=0
(4)线段定比分点公式
如图,设
则定比分点向量式:
定比分点坐标式:设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)
则
特例:当λ=1时,就得到中点公式:
,
实际上,对于起点相同,终点共线三个向量,,(O与P1P2不共线),总有=u+v,u+v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。
(5)平移公式:
① 点平移公式,如果点P(x,y)按=(h,k)平移至P’(x’,y’),则
分别称(x,y),(x’,y’)为旧、新坐标,为平移法则
在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标
②图形平移:设曲线C:y=f(x)按=(h,k)平移,则平移后曲线C’对应的解析式为y-k=f(x-h)
当h,k中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移
利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质
(6)正弦定理,余弦定理
正弦定理:
余弦定理:a2=b2+c2-2cbcosA
b2=c2+a2-2cacosB
c2=a2+b2-2abcosc
定理变形:cosA=,cosB=,cosC=
正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。
5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的“程序性”特点。
四、典型例题
例1、如图,,为单位向量,与夹角为1200, 与的夹角为450,||=5,用,表示。
分析:
以,为邻边,为对角线构造平行四边形
把向量在,方向上进行分解,如图,设=λ,=μ,λ>0,μ>0
则=λ+μ
∵ ||=||=1
∴ λ=||,μ=||
△ OEC中,∠E=600,∠OCE=750,由得:
∴
∴
说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理
例2、已知△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求点D和向量坐标。
分析:
用解方程组思想
设D(x,y),则=(x-2,y+1)
∵=(-6,-3),·=0
∴ -6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0 ①
∵=(x-3,y-2),∥
∴ -6(y-2)=-3(x-3),即x-2y+1=0 ②
由①②得:
∴ D(1,1),=(-1,2)
例3、求与向量=,-1)和=(1,)夹角相等,且模为的向量的坐标。
分析:
用解方程组思想
法一:设=(x,y),则·=x-y,·=x+y
∵ <,>=<,>
∴
∴
即 ①
又||=
∴ x2+y2=2 ②
由①②得 或(舍)
∴=
法二:从分析形的特征着手
∵ ||=||=2
·=0
∴ △AOB为等腰直角三角形,如图
∵ ||=,∠AOC=∠BOC
∴ C为AB中点
∴ C()
说明:数形结合是学好向量的重要思想方法,分析图中的几何性质可以简化计算。
例4、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,设线段AN与BM交于点P,记= ,=,用 ,表示向量。
分析:
∵ B、P、M共线
∴ 记=s
∴ ①
同理,记
∴ = ②
∵ ,不共线
∴ 由①②得解之得:
∴
说明:从点共线转化为向量共线,进而引入参数(如s,t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于s,t的方程。
例5、已知长方形ABCD,AB=3,BC=2,E为BC中点,P为AB上一点
(1) 利用向量知识判定点P在什么位置时,∠PED=450;
(2) 若∠PED=450,求证:P、D、C、E四点共圆。
分析:
利用坐标系可以确定点P位置
如图,建立平面直角坐标系
则C(2,0),D(2,3),E(1,0)
设P(0,y)
∴ =(1,3),=(-1,y)
∴
·=3y-1
代入cos450=
解之得(舍),或y=2
∴ 点P为靠近点A的AB三等分处
(3) 当∠PED=450时,由(1)知P(0,2)
∴ =(2,1),=(-1,2)
∴·=0
∴ ∠DPE=900
又∠DCE=900
∴ D、P、E、C四点共圆
说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。
同步练习
(一) 选择题
1、 平面内三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),若∥,则x的值为:
A、 -5 B、-1 C、1 D、5
2、平面上A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),C点满足,连DC并延长至E,使||=||,则点E坐标为:
A、(-8,) B、() C、(0,1) D、(0,1)或(2,)
2、 点(2,-1)沿向量平移到(-2,1),则点(-2,1)沿平移到:
3、 A、(2,-1) B、(-2,1) C、(6,-3) D、(-6,3)
4、 △ABC中,2cosB·sinC=sinA,则此三角形是:
A、 直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、以上均有可能
5、 设,, 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:
①(·)-(·)=0
②||-||<|-|
③(·)-(·)不与垂直
④(3+2)·(3-2)=9||2-4|2中,
真命题是:
A、①② B、②③ C、③④ D、②④
6、△ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则∠C度数是:
A、600 B、450或1350 C、1200 D、300
7、△OAB中,=,=,=,若=,t∈R,则点P在
A、∠AOB平分线所在直线上 B、线段AB中垂线上
C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上
8、正方形PQRS对角线交点为M,坐标原点O不在正方形内部,且=(0,3),=(4,0),则=
A、() B、() C、(7,4) D、()
(一) 填空题
9、已知{,|是平面上一个基底,若=+λ,=-2λ-,若,共线,则λ=__________。
10、已知||=,||=1,·=-9,则与的夹角是________。
11、设,是两个单位向量,它们夹角为600,
则(2-)·(-3+2)=____________。
12、把函数y=cosx图象沿平移,得到函数___________的图象。
(二) 解答题
13、设=(3,1),=(-1,2),⊥,∥,试求满足+=的的坐标,其中O为坐标原点。
14、若+=(2,-8),-=(-8,16),求、及与夹角θ的余弦值。
15、已知||=,||=3,和夹角为450,求当向量+λ与λ+夹角为锐角时,λ的取值范围。
参考答案
(一)1、C 2、B 3、D 4、B 5、D 6、B 7、A 8、A
(二)9、 10、 11、 12、y=sinx+1
(三)13、(11,6)
14、=(-3,4),=(5,-12),
15、λ<,或λ>且λ≠1