高考数学平面向量 9页

  • 868.50 KB
  • 2021-05-13 发布

高考数学平面向量

  • 9页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
高三一轮复习讲座五 ----平面向量 主讲教师:王思俭 (苏州中学)‎ 二、复习要求 1、 向量的概念;‎ ‎ 2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;‎ ‎3、向量运算的运用 三、学习指导 ‎ 1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。‎ 向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义——共线;③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等。‎ 2、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。‎ 向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。‎ 主要内容列表如下:‎ 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 ‎+=‎ ‎-=‎ 记=(x1,y1),=(x1,y2)‎ 则+=(x1+x2,y1+y2)‎ ‎ -=(x2-x1,y2-y1)‎ ‎+=‎ 实数与向量 的乘积 ‎=λ λ∈R 记=(x,y)‎ 则λ=(λx,λy)‎ 两个向量 的数量积 ‎·=||||‎ cos<,>‎ 记=(x1,y1), =(x2,y2)‎ 则·=x1x2+y1y2‎ 3、 运算律 加法:+=+,(+)+=+(+)‎ 实数与向量的乘积:λ(+)=λ+λ;(λ+μ)=λ+μ,λ(μ)=‎ ‎(λμ) ‎ 两个向量的数量积:·=·;(λ)·=·(λ)=λ(·),(+)·=·+·‎ 说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如(±)2=‎ 1、 重要定理、公式 ‎ (1)平面向量基本定理;如果+是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对数数λ1,λ2,满足=λ1+λ2,称λ1λ+λ2为,的线性组合。‎ 根据平面向量基本定理,任一向量与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为在基底{,}下的坐标,当取{,}为单位正交基底{,}时定义(λ1,λ2)为向量的平面直角坐标。‎ 向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y),则=(x,y);当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)‎ ‎ (2)两个向量平行的充要条件 符号语言:若∥,≠,则=λ 坐标语言为:设=(x1,y1),=(x2,y2),则∥(x1,y1)=λ(x2,y2),即,或x1y2-x2y1=0‎ 在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ>0;当与异向时,λ<0。‎ ‎|λ|=,λ的大小由及的大小确定。因此,当,确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。‎ ‎ (3)两个向量垂直的充要条件 符号语言:⊥·=0‎ 坐标语言:设=(x1,y1), =(x2,y2),则⊥x1x2+y1y2=0‎ ‎ (4)线段定比分点公式 如图,设 ‎ 则定比分点向量式:‎ 定比分点坐标式:设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)‎ 则 特例:当λ=1时,就得到中点公式:‎ ‎ ,‎ 实际上,对于起点相同,终点共线三个向量,,(O与P1P2不共线),总有=u+v,u+v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。‎ ‎ (5)平移公式:‎ ① 点平移公式,如果点P(x,y)按=(h,k)平移至P’(x’,y’),则 分别称(x,y),(x’,y’)为旧、新坐标,为平移法则 在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标 ‎②图形平移:设曲线C:y=f(x)按=(h,k)平移,则平移后曲线C’对应的解析式为y-k=f(x-h)‎ 当h,k中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移 利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质 ‎ (6)正弦定理,余弦定理 正弦定理:‎ 余弦定理:a2=b2+c2-2cbcosA ‎ b2=c2+a2-2cacosB ‎ c2=a2+b2-2abcosc 定理变形:cosA=,cosB=,cosC=‎ 正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。‎ ‎5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的“程序性”特点。‎ 四、典型例题 ‎ 例1、如图,,为单位向量,与夹角为1200, 与的夹角为450,||=5,用,表示。‎ 分析:‎ 以,为邻边,为对角线构造平行四边形 把向量在,方向上进行分解,如图,设=λ,=μ,λ>0,μ>0‎ 则=λ+μ ‎∵ ||=||=1‎ ‎∴ λ=||,μ=||‎ △ OEC中,∠E=600,∠OCE=750,由得:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理 例2、已知△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求点D和向量坐标。‎ 分析:‎ 用解方程组思想 设D(x,y),则=(x-2,y+1)‎ ‎∵=(-6,-3),·=0‎ ‎∴ -6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0 ①‎ ‎∵=(x-3,y-2),∥‎ ‎∴ -6(y-2)=-3(x-3),即x-2y+1=0 ②‎ 由①②得:‎ ‎∴ D(1,1),=(-1,2)‎ 例3、求与向量=,-1)和=(1,)夹角相等,且模为的向量的坐标。 ‎ 分析:‎ 用解方程组思想 法一:设=(x,y),则·=x-y,·=x+y ‎∵ <,>=<,>‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 即 ①‎ 又||=‎ ‎∴ x2+y2=2 ②‎ 由①②得 或(舍)‎ ‎∴=‎ 法二:从分析形的特征着手 ‎∵ ||=||=2‎ ‎ ·=0‎ ‎∴ △AOB为等腰直角三角形,如图 ‎∵ ||=,∠AOC=∠BOC ‎∴ C为AB中点 ‎∴ C()‎ 说明:数形结合是学好向量的重要思想方法,分析图中的几何性质可以简化计算。‎ 例4、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,设线段AN与BM交于点P,记= ,=,用 ,表示向量。‎ 分析:‎ ‎∵ B、P、M共线 ‎∴ 记=s ‎∴ ①‎ 同理,记 ‎∴ = ②‎ ‎∵ ,不共线 ‎∴ 由①②得解之得:‎ ‎∴ ‎ 说明:从点共线转化为向量共线,进而引入参数(如s,t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于s,t的方程。‎ 例5、已知长方形ABCD,AB=3,BC=2,E为BC中点,P为AB上一点 (1) 利用向量知识判定点P在什么位置时,∠PED=450;‎ (2) 若∠PED=450,求证:P、D、C、E四点共圆。‎ 分析:‎ 利用坐标系可以确定点P位置 如图,建立平面直角坐标系 则C(2,0),D(2,3),E(1,0)‎ 设P(0,y)‎ ‎∴ =(1,3),=(-1,y)‎ ‎∴ ‎ ‎ ·=3y-1‎ 代入cos450=‎ 解之得(舍),或y=2‎ ‎∴ 点P为靠近点A的AB三等分处 (3) 当∠PED=450时,由(1)知P(0,2)‎ ‎ ∴ =(2,1),=(-1,2)‎ ‎ ∴·=0‎ ‎∴ ∠DPE=900‎ 又∠DCE=900‎ ‎∴ D、P、E、C四点共圆 说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。‎ 同步练习 (一) 选择题 1、 平面内三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),若∥,则x的值为:‎ A、 ‎-5 B、-1 C、1 D、5‎ ‎ 2、平面上A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),C点满足,连DC并延长至E,使||=||,则点E坐标为:‎ A、(-8,) B、() C、(0,1) D、(0,1)或(2,)‎ 2、 点(2,-1)沿向量平移到(-2,1),则点(-2,1)沿平移到:‎ 3、 A、(2,-1) B、(-2,1) C、(6,-3) D、(-6,3)‎ 4、 ‎△ABC中,2cosB·sinC=sinA,则此三角形是:‎ A、 直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、以上均有可能 5、 设,, 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:‎ ‎①(·)-(·)=0‎ ‎②||-||<|-|‎ ‎③(·)-(·)不与垂直 ‎④(3+2)·(3-2)=9||2-4|2中,‎ 真命题是:‎ A、①② B、②③ C、③④ D、②④‎ ‎6、△ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则∠C度数是:‎ A、600 B、450或1350 C、1200 D、300‎ ‎7、△OAB中,=,=,=,若=,t∈R,则点P在 A、∠AOB平分线所在直线上 B、线段AB中垂线上 C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上 ‎8、正方形PQRS对角线交点为M,坐标原点O不在正方形内部,且=(0,3),=(4,0),则=‎ A、() B、() C、(7,4) D、()‎ (一) 填空题 ‎ 9、已知{,|是平面上一个基底,若=+λ,=-2λ-,若,共线,则λ=__________。‎ ‎10、已知||=,||=1,·=-9,则与的夹角是________。‎ ‎11、设,是两个单位向量,它们夹角为600,‎ 则(2-)·(-3+2)=____________。‎ ‎12、把函数y=cosx图象沿平移,得到函数___________的图象。‎ (二) 解答题 ‎13、设=(3,1),=(-1,2),⊥,∥,试求满足+=的的坐标,其中O为坐标原点。‎ ‎14、若+=(2,-8),-=(-8,16),求、及与夹角θ的余弦值。‎ ‎15、已知||=,||=3,和夹角为450,求当向量+λ与λ+夹角为锐角时,λ的取值范围。‎ 参考答案 ‎ (一)1、C 2、B 3、D 4、B 5、D 6、B 7、A 8、A ‎ (二)9、 10、 11、 12、y=sinx+1‎ ‎ (三)13、(11,6)‎ ‎ 14、=(-3,4),=(5,-12),‎ ‎ 15、λ<,或λ>且λ≠1‎