- 386.89 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质
一、基础知识
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理❶
平面外一条直线与此平面内的一条直线
平行,则该直线与此平面平行(线线平行
⇒线面平行)
∵l∥a,a⊂α,
l⊄α,∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行,则过这条直
线的任一平面与此平面的交线与该直线
平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
∵l∥α,l⊂β,α∩β
=b,∴l∥b
❶应用判定定理时,要注意“内”“外”“平行”三个条件必
须都具备,缺一不可.
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理❷
一个平面内的两条相交
直线与另一个平面平行,
则这两个平面平行(简记
为“线面平行⇒面面平
行”)
∵a∥β,
b∥β,
a∩b=P,a
⊂α,
b⊂α,
∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时
和第三个平面相交,那么
它们的交线平行
∵α∥β,
α∩γ=a,
β∩γ=b,
∴a∥b
❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平
面的两条直线,那么这两个平面互相平行.
符号表示:
a⊂α,b⊂α,a∩b=O,a′⊂β,b′⊂β,a∥a′,b∥b′⇒α∥β.
二、常用结论
平面与平面平行的三个性质
(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.
(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
考点一 直线与平面平行的判定与性质
考法(一) 直线与平面平行的判定
[典例] 如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,点 M,N 分别为线段 A1B,AC1 的中点.求
证:MN∥平面 BB1C1C.
[证明] 如图,连接 A1C.在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧面 AA1C1C 为
平行四边形.
又因为 N 为线段 AC1 的中点,所以 A1C 与 AC1 相交于点 N,即 A1C
经过点 N,且 N 为线段 A1C 的中点.
因为 M 为线段 A1B 的中点,所以 MN∥BC.
又因为 MN⊄平面 BB1C1C,BC⊂平面 BB1C1C,
所以 MN∥平面 BB1C1C.
考法(二) 线面平行性质定理的应用
[典例] (2018·豫东名校联考)如图,在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,E 为线段 AD 上的任
意一点(不包括 A,D 两点),平面 CEC1 与平面 BB1D 交于 FG.
求证:FG∥平面 AA1B1B.
[证明] 在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,BB1∥CC1,BB1⊂平面
BB1D,CC1⊄平面 BB1D,
所以 CC1∥平面 BB1D.
又 CC1⊂平面 CEC1,平面 CEC1 与平面 BB1D 交于 FG,
所以 CC1∥FG.
因为 BB1∥CC1,所以 BB1∥FG.
因为 BB1⊂平面 AA1B1B,FG⊄平面 AA1B1B,
所以 FG∥平面 AA1B1B.
[题组训练]
1.(2018·浙江高考)已知平面α,直线 m,n 满足 m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选 A ∵若 m⊄α,n⊂α,且 m∥n,由线面平行的判定定理知 m∥α,但若 m⊄α,
n⊂α,且 m∥α,则 m 与 n 有可能异面,∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.
2.如图,在四棱锥 PABCD 中,AB∥CD,AB=2,CD=3,M 为 PC 上一点,且 PM
=2MC.
求证:BM∥平面 PAD.
证明:法一:如图,过点 M 作 MN∥CD 交 PD 于点 N,连接 AN.
∵PM=2MC,∴MN=2
3CD.
又 AB=2
3CD,且 AB∥CD,
∴AB 綊 MN,
∴四边形 ABMN 为平行四边形,
∴BM∥AN.
又 BM⊄平面 PAD,AN⊂平面 PAD,
∴BM∥平面 PAD.
法二:如图,过点 M 作 MN∥PD 交 CD 于点 N,连接 BN.
∵PM=2MC,∴DN=2NC,
又 AB∥CD,AB=2
3CD,
∴AB 綊 DN,
∴四边形 ABND 为平行四边形,
∴BN∥AD.
∵BN⊂平面 MBN,MN⊂平面 MBN,BN∩MN=N,
AD⊂平面 PAD,PD⊂平面 PAD,AD∩PD=D,
∴平面 MBN∥平面 PAD.
∵BM⊂平面 MBN,∴BM∥平面 PAD.
3.如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一
点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 PA 作平面 PAHG 交
平面 BMD 于 GH.
求证:PA∥GH.
证明:如图所示,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 MO,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴O 是 AC 的中点,
又 M 是 PC 的中点,∴PA∥MO.
又 MO ⊂平面 BMD,PA⊄平面 BMD,
∴PA∥平面 BMD.
∵平面 PAHG∩平面 BMD=GH,
PA⊂平面 PAHG,
∴PA∥GH.
考点二 平面与平面平行的判定与性质
[典例] 如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,
AC,A1B1,A1C1 的中点,求证:
(1)B,C,H,G 四点共面;
(2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
[证明] (1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线,
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,
∴B,C,H,G 四点共面.
(2)∵E,F 分别为 AB,AC 的中点,
∴EF∥BC,
∵EF⊄平面 BCHG,BC⊂平面 BCHG,
∴EF∥平面 BCHG.
∵A1G 綊 EB,
∴四边形 A1EBG 是平行四边形,
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面 BCHG,GB⊂平面 BCHG,
∴A1E∥平面 BCHG.
∵A1E∩EF=E,
∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
[变透练清]
1.变结论在本例条件下,若 D1,D 分别为 B1C1,BC 的中点,求证:平面 A1BD1∥平
面 AC1D.
证明:如图所示,连接 A1C,AC1,
设交点为 M,
∵四边形 A1ACC1 是平行四边形,
∴M 是 A1C 的中点,连接 MD,
∵D 为 BC 的中点,∴A1B∥DM.
∵DM⊄平面 A1BD1,A1B⊂平面 A1BD1,
∴DM∥平面 A1BD1.
又由三棱柱的性质知 D1C1 綊 BD,
∴四边形 BDC1D1 为平行四边形,
∴DC1∥BD1.
又 DC1⊄平面 A1BD1,BD1⊂平面 A1BD1,
∴DC1∥平面 A1BD1,
又∵DC1∩DM=D,DC1⊂平面 AC1D,DM⊂平面 AC1D,
∴平面 A1BD1∥平面 AC1D.
2.如图,四边形 ABCD 与四边形 ADEF 为平行四边形,M,N,G 分别是 AB,AD,
EF 的中点,求证:
(1)BE∥平面 DMF;
(2)平面 BDE∥平面 MNG.
证明:(1)如图,连接 AE,设 DF 与 GN 的交点为 O,
则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O.
连接 MO,则 MO 为△ABE 的中位线,
所以 BE∥MO.
又 BE⊄平面 DMF,MO⊂平面 DMF,
所以 BE∥平面 DMF.
(2)因为 N,G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD,EF 的中点,
所以 DE∥GN.
又 DE⊄平面 MNG,GN⊂平面 MNG,
所以 DE∥平面 MNG.
又 M 为 AB 中点,
所以 MN 为△ABD 的中位线,
所以 BD∥MN.
又 BD⊄平面 MNG,MN⊂平面 MNG,
所以 BD∥平面 MNG.
又 DE⊂平面 BDE,BD⊂平面 BDE,DE∩BD=D,
所以平面 BDE∥平面 MNG.
[课时跟踪检测]
A 级
1.已知直线 a 与直线 b 平行,直线 a 与平面α平行,则直线 b 与α的关系为( )
A.平行 B.相交
C.直线 b 在平面α内 D.平行或直线 b 在平面α内
解析:选 D 依题意,直线 a 必与平面α内的某直线平行,又 a∥b,因此直线 b 与平面
α的位置关系是平行或直线 b 在平面α内.
2.若平面α∥平面β,直线 a∥平面α,点 B∈β,则在平面β内且过 B 点的所有直线中
( )
A.不一定存在与 a 平行的直线
B.只有两条与 a 平行的直线
C.存在无数条与 a 平行的直线
D.存在唯一与 a 平行的直线
解析:选 A 当直线 a 在平面β内且过 B 点时,不存在与 a 平行的直线,故选 A.
3.在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB 和 BC 上的点,若 AE∶EB=CF∶FB=1∶
2,则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.在平面内 D.不能确定
解析:选 A 如图,由AE
EB
=CF
FB
得 AC∥EF.
又因为 EF⊂平面 DEF,AC⊄平面 DEF,
所以 AC∥平面 DEF.
4.(2019·重庆六校联考)设 a,b 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β
的一个充分条件是( )
A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线 a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线 a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线 a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
解析:选 D 对于选项 A,若存在一条直线 a,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交,若α
∥β,则存在一条直线 a,使得 a∥α,a∥β,所以选项 A 的内容是α∥β的一个必要条件;同
理,选项 B、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件;对于选项 D,可以通过平
移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有α∥β,所以选项 D 的内容是α∥
β的一个充分条件.故选 D.
5.如图,透明塑料制成的长方体容器 ABCDA1B1C1D1 内灌进
一些水,固定容器底面一边 BC 于地面上,再将容器倾斜,随着倾
斜度的不同,有下面四个命题:
①没有水的部分始终呈棱柱形;
②水面 EFGH 所在四边形的面积为定值;
③棱 A1D1 始终与水面所在平面平行;
④当容器倾斜如图所示时,BE·BF 是定值.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选 C 由题图,显然①是正确的,②是错误的;
对于③,∵A1D1∥BC,BC∥FG,
∴A1D1∥FG 且 A1D1⊄平面 EFGH,FG⊂平面 EFGH,
∴A1D1∥平面 EFGH(水面).
∴③是正确的;
对于④,∵水是定量的(定体积 V),
∴S△BEF·BC=V,即 1
2BE·BF·BC=V.
∴BE·BF=2V
BC(定值),即④是正确的,故选 C.
6.如图,平面α∥平面β,△PAB 所在的平面与α,β分别交于 CD,
AB,若 PC=2,CA=3,CD=1,则 AB=________.
解析:∵平面α∥平面β,∴CD∥AB,
则PC
PA
=CD
AB
,∴AB=PA×CD
PC
=5×1
2
=5
2.
答案:5
2
7.设α,β,γ是三个平面,a,b 是两条不同直线,有下列三个条件:
①a∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a⊂γ.
如果命题“α∩β=a,b⊂γ,且________,则 a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的
条件是________(填序号).
解析:由面面平行的性质定理可知,①正确;当 b∥β,a⊂γ时,a 和 b 在同一平面内,
且没有公共点,所以平行,③正确.故应填入的条件为①或③.
答案:①或③
8.在三棱锥 PABC 中,PB=6,AC=3,G 为△PAC 的重心,过点 G 作三棱锥的一个
截面,使截面平行于 PB 和 AC,则截面的周长为________.
解析:如图,过点 G 作 EF∥AC,分别交 PA,PC 于点 E,F,过点 E
作 EN∥PB 交 AB 于点 N,过点 F 作 FM∥PB 交 BC 于点 M,连接 MN,则
四边形 EFMN 是平行四边形(平面 EFMN 为所求截面),且 EF=MN=2
3AC=
2,FM=EN=1
3PB=2,所以截面的周长为 2×4=8.
答案:8
9.如图,E,F,G,H 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 BC,
CC1,C1D1,AA1 的中点.求证:
(1)EG∥平面 BB1D1D;
(2)平面 BDF∥平面 B1D1H.
证明:(1)如图,取 B1D1 的中点 O,连接 GO,OB,
因为 OG 綊 1
2B1C1,BE 綊 1
2B1C1,
所以 BE 綊 OG,
所以四边形 BEGO 为平行四边形,
故 OB∥EG,
因为 OB⊂平面 BB1D1D,
EG⊄平面 BB1D1D,
所以 EG∥平面 BB1D1D.
(2)由题意可知 BD∥B1D1.
连接 HB,D1F,因为 BH 綊 D1F,
所以四边形 HBFD1 是平行四边形,
故 HD1∥BF.
又 B1D1∩HD1=D1,BD∩BF=B,
所以平面 BDF∥平面 B1D1H.
10.(2019·南昌摸底调研)如图,在四棱锥 PABCD 中,∠ABC=
∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD,PA=2,AB=1.
设 M,N 分别为 PD,AD 的中点.
(1)求证:平面 CMN∥平面 PAB;
(2)求三棱锥 PABM 的体积.
解:(1)证明:∵M,N 分别为 PD,AD 的中点,
∴MN∥PA,
又 MN⊄平面 PAB,PA⊂平面 PAB,
∴MN∥平面 PAB.
在 Rt△ACD 中,∠CAD=60°,CN=AN,
∴∠ACN=60°.
又∠BAC=60°,∴CN∥AB.
∵CN⊄平面 PAB,AB⊂平面 PAB,
∴CN∥平面 PAB.
又 CN∩MN=N,
∴平面 CMN∥平面 PAB.
(2)由(1)知,平面 CMN∥平面 PAB,
∴点 M 到平面 PAB 的距离等于点 C 到平面 PAB 的距离.
∵AB=1,∠ABC=90°,∠BAC=60°,∴BC= 3,
∴三棱锥 PABM 的体积 V=VMPAB=VCPAB=VPABC=1
3
×1
2
×1× 3×2= 3
3 .
B 级
1.如图,四棱锥 PABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD∥BC,AB=
AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为
PC 的中点.
(1)求证:MN∥平面 PAB;
(2)求四面体 NBCM 的体积.
解:(1)证明:由已知得 AM=2
3AD=2.
取 BP 的中点 T,连接 AT,TN,
由 N 为 PC 的中点知 TN∥BC,
TN=1
2BC=2.
又 AD∥BC,故 TN 綊 AM,四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MN∥AT.
因为 AT⊂平面 PAB,MN⊄平面 PAB,
所以 MN∥平面 PAB.
(2)因为 PA⊥平面 ABCD,N 为 PC 的中点,所以 N 到平面 ABCD 的距离为 1
2PA.
取 BC 的中点 E,连接 AE.
由 AB=AC=3,得 AE⊥BC,AE= AB2-BE2= 5.
由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5,
故 S△BCM=1
2
×4× 5=2 5.
所以四面体 NBCM 的体积 VNBCM=1
3
×S△BCM×PA
2
=4 5
3 .
2.如图所示,几何体 EABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB=CD,
EC⊥BD.
(1)求证:BE=DE;
(2)若∠BCD=120°,M 为线段 AE 的中点,求证:DM∥平面 BEC.
证明:(1)如图所示,取 BD 的中点 O,连接 OC,OE.
∵CB=CD,∴CO⊥BD.
又∵EC⊥BD,EC∩CO=C,
∴BD⊥平面 OEC,∴BD⊥EO.
又∵O 为 BD 中点.
∴OE 为 BD 的中垂线,∴BE=DE.
(2)取 BA 的中点 N,连接 DN,MN.
∵M 为 AE 的中点,∴MN∥BE.
∵△ABD 为等边三角形,N 为 AB 的中点,
∴DN⊥AB.
∵∠DCB=120°,DC=BC,
∴∠OBC=30°,∴∠CBN=90°,即 BC⊥AB,
∴DN∥BC.
∵DN∩MN=N,BC∩BE=B,
∴平面 MND∥平面 BEC.
又∵DM⊂平面 MND,
∴DM∥平面 BEC.