高考数学山东文试题及解析 11页

‎2017年山东文 ‎1.(2017年山东文)设集合M={x||x-1|＜1}，N={x|x＜2}，则M∩N=（ ） ‎ A.（-1，1） B.（-1，2） C.（0，2） D.（1，2）‎ ‎1.C 【解析】由|x-1|＜1得0＜x＜2，故M∩N={x|0＜x＜2}∩{x|x＜2}={x|0＜x＜2}.故选C.‎ ‎2. (2017年山东文)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=（ ）‎ A.-2i B.2i C.-2 D.2‎ ‎2. A 【解析】由zi=1+i得（zi）2=（1+i）2，即-z2=2i，所以z2=-2i.故选A.‎ ‎3. (2017年山东文)已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是（ ）‎ A.-3 B.-1 C.1 D.3‎ ‎3. D 【解析】画出约束条件表示的可行域，如图阴影部分所示，平移直线x+2y=0，可知当其经过直线x-2y+5=0与y=2的交点（-1，2）时，z=x+2y取得最大值，为zmax=-1+2×2=3.故选D.‎ ‎4. (2017年山东文)已知cos x=，则cos 2x=（ ）‎ A. - B. C. - D. ‎4. D 【解析】由cos x=得cos 2x=2cos2x-1=2×（）2-1=.故选D.‎ ‎5. (2017年山东)已知命题p:∃x∈R,x2－x＋1≥0；命题q:若a2＜b2,则a0，‎ 所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，故①符合要求；‎ 对于②，g(x)＝ex·3－x，‎ 则g′(x)＝(ex·3－x)′＝ex·3－x(1－ln 3)<0，‎ 所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，故②不符合要求；‎ 对于③，g(x)＝ex·x3，‎ 则g′(x)＝(ex·x3)′＝ex·(x3＋3x2)，‎ 显然函数g(x)在(－∞，＋∞)上不单调，故③不符合要求；‎ 对于④，g(x)＝ex·(x2＋2)，‎ 则g′(x)＝[ex·(x2＋2)]′＝ex·(x2＋2x＋2)＝ex·[(x＋1)2＋1]>0，‎ 所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，故④符合要求．‎ 综上，具有M性质的函数的序号为①④.‎ ‎[答案]　①④‎ ‎11. (2017年山东文)已知向量a=（2,6）,b=（-1，λ）,若a∥b,则λ=_________．‎ ‎11. -3 【解析】由a∥b可得-1×6=2λλ=-3.‎ ‎12. (2017年山东)若直线＋＝1(a＞0,b＞0)过点(1,2),则2a＋b的最小值为_________.‎ ‎8 【解析】由直线＋＝1(a＞0,b＞0)过点(1,2)可得＋＝1,所以2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8.当且仅当＝,即b＝4,a＝2时等号成立.‎ ‎13. (2017年山东) 由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .‎ ‎2＋ 【解析】由三视图可知长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以V＝2×1×1＋2××1＝2＋.‎ ‎14. (2017年山东文)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3，0]时,f(x)=6-x,则f(919)=_________．‎ ‎14. 6 【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知f（x）是周期函数，且T=6，所以f（919）=f（6×153+1）=f（1）=f（-1）=6.‎ ‎15. (2017年山东)在平面直角坐标系xOy中,双曲线－＝1(a＞0,b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A,B两点.若|AF|＋|BF|＝4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .‎ y＝±x 【解析】由抛物线定义,得|AF|＋|BF|＝yA＋＋yB＋＝4×,所以yA＋yB＝p.由 消去x,整理,得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0,所以yA＋yB＝＝p,得a＝b.所以渐近线方程为y＝±x.‎ ‎16. (2017年山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.‎ ‎（1）若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.‎ ‎【解析】（1）由题意,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3}共15个.‎ 所选的两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3}共3个,‎ 所以所求事件的概率为P1＝＝.‎ ‎（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3}共9个,‎ 包含A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3}共个,‎ 所以所求事件的概率为P2＝.‎ ‎17. (2017年山东文)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,·=-6,S△ABC =3,求A和a.‎ ‎17.解：因为·=-6,‎ 所以bccos A=-6，‎ 因此tan A=-1，又0＜A＜π，‎ 所以A=，‎ 又b=3，所以c=2.‎ 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，‎ 得a2=9+8-2×3×2×（-）=29，‎ 所以a=.‎ ‎18. (2017年山东文)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.‎ ‎（1）证明：A1O∥平面B1CD1;‎ ‎（2）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1. ‎ ‎18.解：（1）取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，‎ 所以A1O1∥OC，A1O1=OC，‎ 因此四边形A1OCO1为平行四边形，‎ 所以A1O平行O1C，‎ 又O1C⊂平面B1CD1，A1O平面B1CD1，‎ 所以A1O∥平面B1CD1.‎ ‎（2）因为AC⊥BD,E，M分别为AD和OD的中点,‎ 所以EM⊥BD,‎ 又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,‎ 所以A1E⊥BD，‎ 因为B1D1∥BD，‎ 所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，‎ 又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM=E.‎ 所以B1D1⊥平面A1EM，‎ 又B1D1⊂平面B1CD1，‎ 所以平面A1EM⊥平面B1CD1.‎ ‎19. (2017年山东文)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3. ‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求数列{}的前n项和Tn.‎ ‎19.解：（1）设{an}的公比为q，由题意知a1(1+q)=6,a12q=a1q2.‎ 又an＞0，‎ 解得a1=2，q=2，‎ 所以an=2n.‎ ‎（2）由题意知S2n+1==（2n+1）bn+1，‎ 又S2n+1=bnbn+1≠0，‎ 所以bn=2n+1,‎ 令cn=，‎ 则cn=，‎ 因此Tn=c1+c2+…+cn=+++…++，‎ 又Tn=+++…++，‎ 两式相减得Tn=+（++…+）- 所以Tn=5-.‎ ‎20. (2017年山东文)已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R.‎ ‎（1）当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程；‎ ‎（2）设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.‎ ‎20.解：（1）由题意f′(x)=x2-ax，‎ 所以，当a=2时，f(3)=0，f′(x)=x2-2x，‎ 所以f′(3)=3，‎ 因此，曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程是y=3（x-3），‎ 即3x-y-9=0.‎ ‎（2）因为g(x)= f(x)+(x-a)cos x-sin x,‎ 所以g′（x）=f′(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x,‎ ‎=x(x-a)-(x-a)sin x ‎=(x-a)(x-sin x),‎ 令h（x）=x-sin x，‎ 则h′（x）=1-cos x≥0，‎ 所以h（x）在R上单调递增，‎ 因为h(0)=0，‎ 所以，当x＞0时，h(x)＞0；当x＜0时，h(x)＜0.‎ ‎①当a＜0时，g′(x)=(x-a)(x-sin x)，‎ 当x∈（-∞，a）时，x-a＜0，g′(x)＞0，g(x)单调递增；‎ 当x∈（a,0）时，x-a＞0，g′(x)＜0，g(x)单调递减；‎ 当x∈（0,+∞）时，x-a＞0，g′(x)＞0，g(x)单调递增.‎ 所以当x=a时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)=-a3-sin a，‎ 当x=0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)=-a.‎ ‎②当a=0时，g′(x)=x(x-sin x)，‎ 当x∈（-∞，+∞）时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；‎ 所以g(x)在（-∞，+∞）上单调递增，g(x)无极大值也无极小值.‎ ‎③当a＞0时，g′(x)=(x-a)(x-sin x)，‎ 当x∈（-∞，0）时，x-a＜0，g′(x)＞0，g(x)单调递增；‎ 当x∈（0，a）时，x-a＜0，g′(x)＜0，g(x)单调递增减；‎ 当x∈（a，+∞）时，x-a＞0，g′(x)＞0，g(x)单调递增.‎ 所以当x=0时，g（x）取到极大值，极大值是g（0）=-a；‎ 当x=a时，g（x）取到极小值，极小值是g（a）=-a3-sin a.‎ 综上所述，当a＜0时，函数g（x）在（-∞，a）和（0,+∞）上单调递增，在（a，0）上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)=-a3-sin a，极小值是g(0)=-a；‎ 当a=0时，函数g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，无极值；‎ 当a＞0时，函数g（x）在（-∞，0）和（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)=-a，极小值是g(a)=-a3-sin a.‎ ‎21. (2017年山东文)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：+=1 (a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|. 设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.‎ ‎21.解：（1）由椭圆的离心率为，得a2=2(a2-b2)，‎ 又当y=1时，x2= a2-，得a2-=2，‎ 所以a2=4,b2=2，‎ 因此椭圆方程为+=1.‎ ‎（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，‎ 联立方程 得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0，‎ 由Δ＞0得m2＜4k2+2.（*）‎ 且x1+x2=，‎ 因此y1+y2=，‎ 所以D（-，）‎ 又N（0，-m），‎ 所以|ND|2=（-）2+（+m）2，‎ 整理得|ND|2=,‎ 因为|NF|=|m|，‎ 所以==1+.‎ 令t=8k2+3,t≥3，‎ 故2k2+1=，‎ 所以=1+=1+.‎ 令y=t+，所以y′=1-.‎ 当t≥3时，y′＞0,‎ 从而y=t+在[3，+∞）上单调递增，‎ 因此t+≥，‎ 等号当且仅当t=3时成立，此时k=0，‎ 所以≤1+3=4，‎ 由（*）得-＜m＜且m≠0.‎ 故≥，‎ 设∠EDF=2θ，‎ 则sin θ=≥，‎ 所以θ的最小值为，‎ 从而∠EDF的最小值为，此时直线l的斜率是0.‎ 综上所述，当k=0，m∈（-，0）∪（0，）时，∠EDF取到最小值.‎