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  • 2021-05-13 发布

高考第一轮复习数学53两点间距离公式线段的定比分点与图形的平移

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‎5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移 ‎●知识梳理 ‎1.设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则=(x2-x1,y2-y1).‎ ‎∴||=.‎ ‎2.线段的定比分点是研究共线的三点P1,P,P2坐标间的关系.应注意:(1)点P是不同于P1,P2的直线P1P2上的点;(2)实数λ是P分有向线段所成的比,即P1→P,P→P2的顺序,不能搞错;(3)定比分点的坐标公式(λ≠-1).‎ ‎3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系, 特别提示 ‎1.定比分点的定义:点P为所成的比为λ,用数学符号表达即为=λ.当λ>0时,P为内分点;λ<0时,P为外分点.‎ ‎2.定比分点的向量表达式:‎ P点分成的比为λ,则=+(O为平面内任一点).‎ ‎3.定比分点的应用:利用定比分点可证共线问题.‎ ‎●点击双基 ‎1.(2004年东北三校联考题)若将函数y=f(x)的图象按向量a平移,使图象上点的坐标由(1,0)变为(2,2),则平移后的图象的解析式为 A.y=f(x+1)-2 B.y=f(x-1)-2‎ C.y=f(x-1)+2 D.y=f(x+1)+2‎ 解析:由平移公式得a=(1,2),则平移后的图象的解析式为y=f(x-1)+2.‎ 答案:C ‎2.(2004年湖北八校第二次联考)将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y2-4y=4x,则向量a为 A.(-1,2) B.(1,-2)‎ C.(-4,2) D.(4,-2)‎ 解析:设a=(h,k),由平移公式得 代入y2=4x得 ‎(-k)2=4(-h),2-2k=4-4h-k2,‎ 即y2-2ky=4x-4h-k2,‎ ‎∴k=2,h=-1.‎ ‎∴a=(-1,2).‎ 答案:A 思考讨论 本题不用平移公式代入配方可以吗?‎ 提示:由y2-4y=4x,配方得 ‎(y-2)2=4(x+1),‎ ‎∴h=-1,k=2.(知道为什么吗?)‎ ‎3.设A、B、C三点共线,且它们的纵坐标分别为2、5、10,则A点分所得的比为 A. B. ‎ C.- D.- 解析:设A点分所得的比为λ,则由2=,得λ=-.‎ 答案:C ‎4.若点P分所成的比是λ(λ≠0),则点A分所成的比是____________.‎ 解析:∵=λ,∴=λ(-+).∴(1+λ)=λ.‎ ‎∴=.∴=-.‎ 答案:- ‎5.(理)若△ABC的三边的中点坐标为(2,1)、(-3,4)、(-1,-1),则△ABC的重心坐标为____________.‎ 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),‎ 则 ∴ ‎∴重心坐标为(-,).‎ 答案:(-,)‎ ‎(文)已知点M1(6,2)和M2(1,7),直线y=mx-7与线段M‎1M2‎的交点M分有向线段的比为3∶2,则m的值为____________.‎ 解析:设M(x,y),则x===3,y===5,即M(3,5),代入y=mx-7得5=‎3m-7,∴m=4.‎ 答案:4‎ ‎●典例剖析 ‎【例1】 已知点A(-1,6)和B(3,0),在直线AB上求一点P,使||=||.‎ 剖析:||=||,则=或=.设出P(x,y),向量转化为坐标运算即可.‎ 解:设P的坐标为(x,y),若=,则由(x+1,y-6)=(4,-6),得 解得 此时P点坐标为(,4).‎ 若=-,则由(x+1,y-6)=-(4,-6)得 解得 ‎∴P(-,8).综上所述,P(,4)或(-,8).‎ 深化拓展 本题亦可转化为定比分点处理.由=,得=,则P为的定比分点,λ=,代入公式即可;若=-,则=-,则P为的定比分点,λ=-.‎ 由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算,是解决向量问题的一般方法.‎ ‎【例2】 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(4,1),B(3,4),C(-1,2),BD是∠ABC的平分线,求点D的坐标及BD的长.‎ 剖析:∵A、C两点坐标为已知,∴要求点D的坐标,只要能求出D分所成的比即可.‎ 解:∵|BC|=2,|AB|=,∴D分所成的比λ=.‎ 由定比分点坐标公式,得 ‎∴D点坐标为(9-5,).‎ ‎∴|BD|==.‎ 评述:本题给出了三点坐标,因此三边长度易知,由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标,适当利用平面几何知识,可以使有些问题得以简化.‎ 深化拓展 本题也可用如下解法:设D(x,y),∵BD是∠ABC的平分线,‎ ‎∴〈,〉=〈,〉.‎ ‎∴,‎ 即=.‎ 又=(1,-3),=(x-3,y-4),=(-4,-2),‎ ‎∴=.‎ ‎∴(4+)x+(2-3)y+9-20=0. ①‎ 又A、D、C三点共线,∴,共线.‎ 又=(x-4,y-1),=(x+1,y-2),‎ ‎∴(x-4)(y-2)=(x+1)(y-1). ②‎ 由①②可解得 ‎∴D点坐标为(9-5,),|BD|=.‎ 思考讨论 若BD是AC边上的高,或BD把△ABC分成面积相等的两部分,本题又如何求解?请读者思考.‎ ‎【例3】 已知在□ABCD中,点A(1,1),B(2,3),CD的中点为E(4,1),将 ‎□ABCD按向量a平移,使C点移到原点O.‎ ‎(1)求向量a;‎ ‎(2)求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.‎ 解:(1)由□ABCD可得=,‎ 设C(x3,y3),D(x4,y4),‎ 则 又CD的中点为E(4,1),‎ 则 由①-④得 即C(,2),D(,0).‎ ‎∴a=(-,-2).‎ ‎(2)由平移公式得A′(-,-1),B′(-,1),C′(0,0),D′(-1,-2).‎ ‎●闯关训练 夯实基础 ‎1.(2004年福州质量检查题)将函数y=sinx按向量a=(-,3)平移后的函数解析式为 A.y=sin(x-)+3 B.y=sin(x-)-3‎ C.y=sin(x+)+3 D.y=sin(x+)-3‎ 解析:由得 ‎∴-3=sin(+).‎ ‎∴=sin(+)+3,‎ 即y=sin(x+)+3.‎ 答案:C ‎2.(2003年河南调研题)将函数y=2sin2x的图象按向量a平移,得到函数y=2sin(2x+)+1的图象,则a等于 A.(-,1) B.(-,1)‎ C.(,-1) D.(,1)‎ 解析:由y=2sin(2x+)+1得y=2sin2(x+)+1,∴a=(-,1).‎ 答案:B ‎3.(2004年东城区模拟题)已知点P是抛物线y=2x2+1上的动点,定点A(0,-1),若点M分所成的比为2,则点M的轨迹方程是____________,它的焦点坐标是____________.‎ 解析:设P(x0,y0),M(x,y).‎ 代入y0=2x02+1得3y+2=18x2+1,即18x2=3y+1,x2=y+=(y+),∴p=,焦点坐标为(0,-).‎ 答案:x2=(y+) (0,-)‎ ‎4.把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后,得到y=2x2的图象,且a⊥b,c=(1,-1),b·c=4,则b=____________.‎ 解析:a=(0,0)-(1,3)=(-1,-3).设b=(x,y),由题意得 则b=(3,-1).‎ 答案:(3,-1)‎ ‎5.已知向量=(3,1),=(-1,2),⊥,∥.试求满足+=的的坐标.‎ 解:设=(x,y),则=(x,y)+(3,1)=(x+3,y+1),‎ =-=(x+3,y+1)-(-1,2)=(x+4,y-1),‎ 则 所以=(11,6).‎ ‎6.已知A(2,3),B(-1,5),且满足=,=3,=-,求C、D、E的坐标.‎ 解:用向量相等或定比分点坐标公式均可,读者可自行求解.C(1,),D(-7,9),E(,).‎ 培养能力 ‎7.(2004年福建,17)设函数f(x)=a·b,其中a=(2cosx,1),b=(cosx,sin2x),x∈R.‎ ‎(1)若f(x)=1-,且x∈[-,],求x;‎ ‎(2)若y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m、n的值.‎ 解:(1)依题设f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+),‎ 由1+2sin(2x+)=1-,得 sin(2x+)=-.‎ ‎∵|x|≤,∴-≤2x+≤.‎ ‎∴2x+=-,即x=-.‎ ‎(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象,即y=f(x)的图象.由(1)得f(x)=2sin2(x+)+1.又|m|<,∴m=-,n=1.‎ ‎8.有点难度哟!‎ ‎(2004年广州综合测试)已知曲线x2+2y2+4x+4y+4=0按向量a=(2,1)平移后得到曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)过点D(0,2)的直线与曲线C相交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,设=λ,求实数λ的取值范围.‎ 解:(1)原曲线即为(x+2)2+2(y+1)2=2,则平移后的曲线C为x2+2y2=2,‎ 即+y2=1.‎ ‎(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则 由于点M、N在椭圆x2+2y2=2上,则 即 消去x22得,2λ2+8λy2+8=2λ2+4λ+2,‎ 即y2=.‎ ‎∵-1≤y2≤1,∴-1≤≤1.‎ 又∵λ>0,故解得λ≥.‎ 故λ的取值范围为[,+∞).‎ 思考讨论 本题若设出直线l的方程y=kx+2,然后与x2+2y2=2联立,利用韦达定理能求解吗?(不要忘记讨论斜率不存在的情况)读者可尝试一下.‎ 探究创新 ‎9.甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行,速度为15 n mile/h,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发,朝北偏东θ(θ=arctan)的方向作匀速直线航行,速度为10 n mile/h.(如下图所示)‎ ‎(1)求出发后3 h两船相距多少海里?‎ ‎(2)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?‎ 解:以A为原点,BA所在直线为y轴建立如下图所示的坐标系.‎ 设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 则 由θ=arctan,可得cosθ=,sinθ=,‎ x2=10tsinθ=10t,‎ y2=10tcosθ-40=20t-40.‎ ‎(1)令t=3,P、Q两点的坐标分别为(45,45),(30,20).‎ ‎|PQ|===5,‎ 即两船出发后3 h时,两船相距5 n mile.‎ ‎(2)由(1)的解法过程易知 ‎|PQ|= ‎= ‎= ‎=≥20.‎ ‎∴当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为20,‎ 即两船出发4 h时,相距20 n mile为两船最近距离.‎ ‎●思悟小结 ‎1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题:‎ ‎(1)弄清起点、分点、终点,并由此决定定比λ;‎ ‎(2)在计算点分有向线段所成比时,首先要确定是内分点,还是外分点,然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义=λ获解.‎ ‎2.线段的定比分点的坐标表示,强化了坐标运算的应用,确定λ的值是公式应用的关键.‎ ‎3.关于平面图形的平移,主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用,并特别注意分清新旧函数解析式.‎ ‎4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法.‎ ‎●教师下载中心 教学点睛 ‎1.线段的定比分点公式=λ,该式中已知P1、P2及λ可求分点P的坐标,并且还要注意公式的变式在P1、P2、P、λ中知三可求第四个量.‎ ‎2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量(形)与数之间的转化具有一般性.‎ ‎3.平移前后坐标之间的关系极易出错,要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背.‎ 拓展题例 ‎【例1】 (2004年豫南三市联考)已知f(A,B)=sin‎22A+cos22B-sin‎2A-cos2B+2.‎ ‎(1)设△ABC的三内角为A、B、C,求f(A,B)取得最小值时,C的值;‎ ‎(2)当A+B=且A、B∈R时,y=f(A,B)的图象按向量p平移后得到函数y=2cos‎2A的图象,求满足上述条件的一个向量p.‎ 解:(1)f(A,B)=(sin‎2A-)2+(cos2B-)2+1,‎ 由题意得 ‎∴C=或C=.‎ ‎(2)∵A+B=,∴2B=π-‎2A,cos2B=-cos‎2A.‎ ‎∴f(A,B)=cos‎2A-sin‎2A+3=2cos(‎2A+)+3=2cos2(A+)+3.‎ 从而p=(,-3)(只要写出一个符合条件的向量p即可).‎ ‎【例2】 设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平移t、s单位长度后,得到曲线C1.‎ ‎(1)写出曲线C1的方程;‎ ‎(2)证明:曲线C与C1关于点A(,)对称.‎ ‎(1)解:C1:y-s=(s-t)3-(x-t). ①‎ ‎(2)分析:要证明曲线C1与C关于点A(,)对称,只需证明曲线C1上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C上,反过来,曲线C上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C1上即可.‎ 证明:设P1(x1,y1)为曲线C1上任意一点,它关于点A(,)的对称点为 P(t-x1,s-y1),把P点坐标代入曲线C的方程,左=s-y1,右=(t-x1)3-(t-x1).‎ 由于P1在曲线C1上,∴y1-s=(x1-t)3-(x1-t).‎ ‎∴s-y1=(t-x1)3-(t-x1),即点P(t-x1,s-y1)在曲线C上.‎ 同理可证曲线C上任意一点关于点A的对称点都在曲线C1上.‎ 从而证得曲线C与C1关于点A(,)对称.‎