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  • 2021-05-13 发布

高考数学Ι轮及其练习精析合情推理和演绎推理1

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第十七章 推理与证明 ‎★知识网络★‎ 推理与证明 推理 证明 合情推理 演绎推理 归纳 类比 直接证明 间接证明 数学归纳法 综合法 分析法 反证法 第1讲 合情推理和演绎推理 ‎ ‎★知识梳理★‎ ‎1.推理 ‎ 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.‎ 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论.‎ ‎2、合情推理:‎ 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出的推理叫合情推理。‎ 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类:‎ ‎(1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 ‎(2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理。‎ ‎3.演绎推理:‎ 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理,简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式,它包括:(1)大前提---已知的一般原理;(2)小前提---所研究的特殊情况;(3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断。‎ ‎★重难点突破★‎ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,‎ 明确合情推理与演绎推理的区别与联系 难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点:利用合情推理的原理提出猜想,利用演绎推理的形式进行证明 ‎1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1:观察:;; ;….对于任意正实数,试写出使成立的一个条件可以是 ____.‎ ‎2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2:已知抛物线有性质:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于、两点,则当与抛物线的对称轴垂直时,的长度最短;试将上述命题类比到其他曲线,写出相应的一个真命题为 .‎ ‎3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3:定义[x]为不超过x的最大整数,则[-2.1]= ‎ ‎★热点考点题型探析★‎ 考点1 合情推理 ‎ 题型1 用归纳推理发现规律 ‎[例1 ] 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论,并证明结论的真假。‎ ;;; ‎[例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图 有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以 表示第幅图的蜂巢总数.则=_____;=___________. ‎ ‎【新题导练】‎ ‎1. (2008佛山二模文、理)对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式:‎ 根据上述分解规律,则, 若的分解中最小的数是73,则的值为___ .‎ ‎2. (2010惠州调研二理)函数由下表定义:‎ 若,,,则 .‎ ‎3. (2010深圳调研)图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第个图形包含个“福娃迎迎”,则  ;        .(答案用数字或的解析式表示)‎ ‎4. (2008揭阳一模)‎ 设, ‎ 则=( )‎ A.    B.   C.   D. 题型2 用类比推理猜想新的命题 ‎[例1 ] (2010韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是______.‎ ‎[例2 ] 在中,若,则,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想 ‎【新题导练】‎ ‎5. (2010深圳二模文)现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间,有两个棱长均为的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为   .‎ ‎6. (2010梅州一模)已知的三边长为,内切圆半径为(用),则;类比这一结论有:若三棱锥的内切球半径为,则三棱锥体积 ‎ ‎7. (2008届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题(二))‎ 在平面直角坐标系中,直线一般方程为,圆心在的圆的一般方程为;则类似的,在空间直角坐标系中,平面的一般方程为________________,球心在的球的一般方程为_______________________.‎ ‎8. 对于一元二次方程,有以下正确命题:如果系数和都是非零实数,方程和在复数集上的解集分别是和,则“”是“”的充分必要条件.‎ 试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果,并加以证明.‎ ‎9.已知等差数列的定义为:在一个数列中,从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数,那么这个数叫做等差数列,这个常数叫做该数列的公差.‎ 类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义: ;‎ ‎ 已知数列是等和数列,且,公和为,那么的值为____________.这个数列的前项和的计算公式为_____________________________________.‎ 考点2 演绎推理 ‎ 题型:利用“三段论”进行推理 ‎[例1 ] (07启东中学模拟)某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标,并通过经验公式样来计算各班的综合得分,S的值越高则评价效果越好,若某班在自测过程中各项指标显示出,则下阶段要把其中一个指标的值增加 ‎1个单位,而使得S的值增加最多,那么该指标应为 .(填入中的某个字母)‎ ‎ [例2 ] (03上海)已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=T f(x)成立.‎ ‎(1)函数f(x)= x 是否属于集合M?说明理由;‎ ‎(2)设函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点,证明: f(x)=ax∈M;‎ ‎(3)若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围.‎ ‎【新题导练】‎ ‎10. (2010珠海质检理)定义是向量a和b的“向量积”,它的长度为向量a和b的夹角,若= .‎ ‎11. (2010深圳二模文)一个质点从出发依次沿图中线段到达、、、、、、、、各点,最后又回到(如图所示),其中:,‎ ,.‎ 欲知此质点所走路程,至少需要测量条线段的长度,‎ 则(  )‎ A. B. C. D. ‎12. (2010惠州调研二)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接受方由密文明文(解密),已知加密规则为:明文对应密文,例如,明文对应密文.当接受方收到密文时,则解密得到的明文为( ).‎ ‎ A. 4,6,1,7 B. 7,6,1,4 C. 6,4,1,7 D. 1,6,4,7‎ ‎13.对于任意的两个实数对和,规定:,当且仅当;运算“”为:;运算“”为:,设,若,则………( )‎ A. B. C. D. ‎★抢分频道★‎ 基础巩固训练 ‎1、对于集合A,B,定义运算,则=( )‎ A.B B.A C. D. ‎2、命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是 A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 ‎ C.使用了“三段论”,但大前提错误 D.使用了“三段论”,但小前提错误 ‎3、(华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试(三))‎ 给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):‎ ‎ ①“若”类比推出“”‎ ‎ ②“若”类比推出 ‎“”‎ ‎③“若”类比推出“若”‎ ‎ ④“若”类比推出“若”‎ ‎ 其中类比结论正确的个数有 ( )‎ ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎[‎ ‎4、如图第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来,(n=1,2,3,…)。则第n-2‎ 个图形中共有         个顶点。‎ ‎5、如果函数在区间上是凸函数,那么对于区间内的任意,,…,,‎ 都有.若在区间上是凸函数,那么在中,的最大值是________________.‎ ‎6、类比平面向量基本定理:“如果是平面内两个不共线的向量,那么对于平面内任一向量,有且只有一对实数,使得”,写出空间向量基本定理是: ‎ ‎ ‎ 综合提高训练 ‎7、(2009汕头一模)设P是内一点,三边上的高分别为、、,P到三边的距离依次为、、,则有______________;类比到空间,设P是四面体ABCD内一点,四顶点到对面的距离分别是、、、,P到这四个面的距离依次是、、、,则有_________________。‎ ‎8、(2009惠州一模)设 ,又记 则( )‎ ‎ A.; B.; C.; D.;‎ ‎9、(1)已知等差数列,(),求证:仍为等差数列;‎ ‎(2)已知等比数列,(),类比上述性质,写出一个真命题并加以证明.‎ ‎10、我们将具有下列性质的所有函数组成集合M:函数,对任意均满足,当且仅当时等号成立。‎ ‎(1)若定义在(0,+∞)上的函数∈M,试比较与大小.‎ ‎(2)设函数g(x)=-x2,求证:g(x)∈M.‎