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  • 2021-05-13 发布

2020年全国Ⅲ卷高考文数真题试卷(含答案)

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2020 年全国Ⅲ卷高考文数真题试卷(含答案) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合  1 2 3 5 7 1 1A  ,,,,, ,  315|Bxx ,则 A∩B 中元素的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 2.若 )( 1 i 1 iz    ,则 z= A.1–i B.1+i C.–i D.i 3.设一组样本数据 x1,x2,…,xn 的方差为 0.01,则数据 10x1,10x2,…,10xn 的方差为 A.0.01 B.0.1 C.1 D.10 4.Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺 炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位:天)的 Logistic 模型: 0.23(53)()= 1e tI Kt  ,其中 K 为最大确诊病例数.当 I( *t )=0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则 约为(ln19≈3) A.60 B.63 C.66 D.69 5.已知 πsinsin= 3( )1,则 πsin= 6 ( ) A. 1 2 B. 3 3 C. 2 3 D. 2 2 6.在平面内,A,B 是两个定点,C 是动点,若 =1ACBC ,则点 C 的轨迹为 A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线 7.设 O 为坐标原点,直线 x=2 与抛物线 C:  2 20ypxp交于 D,E 两点,若 OD⊥OE,则 C 的焦点坐 标为 A.( 1 4 ,0) B.( 1 2 ,0) C.(1,0) D.(2,0) 8.点 (0 )1, 到直线  1ykx距离的最大值为 A.1 B. 2 C. 3 D.2 9.如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是 A.6+4 2 B.4+4 C.6+2 3 D.4+2 10.设 a=log32,b=log53,c= 2 3 ,则 A.a0,b>0)的一条渐近线为 y= 2 x,则 C 的离心率为_________. 15.设函数 e() x fx xa  .若 e(1) 4f   ,则 a=_________. 16.已知圆锥的底面半径为 1,母线长为 3,则该圆锥内半径最大的球的体积为_________. 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12 分) 设等比数列{an}满足 124aa, 13 8aa. (1)求{an}的通项公式; (2)记 nS 为数列{log3an}的前 n 项和.若 13mmmS S S ,求 m. 18.(12 分) 某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据 得到下表(单位:天): 锻炼人次 空气质量等级 [0,200] (200,400] (400,600] 1(优) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(轻度污染) 6 7 8 4(中度污染) 7 2 0 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率; (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (3)若某天的空气质量等级为 1 或 2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为 3 或 4,则称 这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的 2×2 列联表,并根据列联表,判断是否有 95%的把握认 为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关? 人次≤400 人次>400 空气质量好 空气质量不好 附: 2 2 () ()()()() n adbcK abcdacbd   , P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19.( 12 分) 如图,在长方体 1 1 11ABCDA B C D 中,点 E ,F 分别在棱 1DD , 1BB 上,且 12DEED , 12BFFB .证 明: (1)当 AB BC 时, EF AC ; (2)点 1C 在平面 AEF 内. 20.( 12 分) 已知函数 32()fxxkxk . (1)讨论 ()fx的单调性; (2)若 ()fx有三个零点,求 k 的取值范围. 21.( 12 分) 已知椭圆 22 2:1(05)25 xyCm m  的离心率为 15 4 , A , B 分别为 C 的左、右顶点. (1)求 的方程; (2)若点 P 在 C 上,点 Q 在直线 6x  上,且||||BPBQ , BPBQ ,求 APQ△ 的面积. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程] (10 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 2 2 2 2 3 xtt ytt     , (t 为参数且 t≠1),C 与坐标轴交于 A,B 两 点. (1)求 ||AB ; (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AB 的极坐标方程. 23.[选修 4-5:不等式选讲] (10 分) 设 a,b,c∈R, a+b+c=0,abc=1. (1)证明:ab+bc+ca<0; (2)用 max{a,b,c}表示 a,b,c 中的最大值,证明:max{a,b,c}≥ 3 4 . 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 选择题答案 一、选择题 1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.A 11.C 12.D 非选择题答案 二、填空题 13.7 14. 3 15.1 16. 2 3  三、解答题 17.解:(1)设 {}na 的公比为 q ,则 1 1 n na a q  .由已知得 11 2 11 4 8 aaq aqa   , 解得 1 1,3aq. 所以 的通项公式为 1=3n na  . (2)由(1)知 3log1.nan 故 (1) .2n nnS  由 13mmmSSS 得 (1)(1)(3)(2)m mmmmm ,即 2 5 6 0mm   . 解得 1m  (舍去), 6m  . 18.解:(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率的估计值如下表: 空气质量等级 1 2 3 4 概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09 (2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 1 (100 20 300 35 500 45) 350100       . (3)根据所给数据,可得 22 列联表: 人次≤400 人次>400 空气质量好 33 37 空气质量不好 22 8 根据列联表得 2 2 100(3382237) 5.82055457030K  . 由于 5.820 3.841 ,故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 19.解:(1)如图,连结 BD , 11BD .因为 AB BC ,所以四边形 A B CD 为正方形,故 AC BD . 又因为 1BB  平面 A B CD ,于是 1A C B B .所以 AC  平面 11B B D D . 由于 EF  平面 ,所以 EF AC . (2)如图,在棱 1AA 上取点 G ,使得 12AGGA ,连结 1GD , 1FC , FG , 因为 11 2 3DEDD , 1 2 3AGAA , 11DD AA∥ ,所以 1EDAG∥ ,于是四边形 1E DG A 为平行四边形, 故 1AEGD∥ . 因为 11 1 3BFBB , 11 1 3AGAA , 11BB AA∥ ,所以 11FG A B∥ , 11FG C D∥ ,四边形 11F G D C 为平行 四边形,故 11GDFC∥ . 于是 1AEFC∥ .所以 1, , ,A E F C 四点共面,即点 1C 在平面 AEF 内. 20.解:(1) 2( ) 3f x x k   . 当k=0时, 3()f x x ,故 ()fx在 ()  , 单调递增; 当k<0时, 2( ) 3 0f x x k    ,故 在 单调递增. 当k>0时,令 ()0fx,得 3 3 kx  .当 3(,) 3 kx    时, ()0fx;当 33(,) 33 kkx 时, ()0fx; 当 3( , )3 kx  时, .故 ()fx在 3( , )3 k  , 3( , )3 k  单调递增,在 33( , )33 kk 单调递 减. (2)由(1)知,当 0k  时, ()fx在 ()   , 单调递增, 不可能有三个零点. 当k>0时, 3= 3 kx  为 的极大值点, 3= 3 kx 为 的极小值点. 此时, 331133 kkkk  且 ( 1) 0fk   , ( 1) 0fk, 3( ) 0 3 kf . 根据 的单调性,当且仅当 3( ) 03 kf  ,即 2 23 09 kkk 时, 有三个零点,解得 4 27k  .因此k的取值范围为 ( 0 ) 4 27 , . 21.解:(1)由题设可得 22 5 1 5 54 m  ,得 2 25 16m  , 所以C 的方程为 22 12525 16 xy. (2)设 (,),(6,)PPQPxyQy ,根据对称性可设 0Qy  ,由题意知 0Py  , 由已知可得 ( 5 ,0 )B ,直线 BP 的方程为 1 (5) Q yxy  ,所以 2||1 PQBPyy, 2||1 QBQy, 因为||||BPBQ ,所以 1Py  ,将 代入 的方程,解得 3Px  或 3 . 由直线 BP 的方程得 2Qy  或 8. 所以点 ,PQ的坐标分别为 1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)PQPQ  . 11||10PQ  ,直线 11PQ 的方程为 1 3yx ,点 ( 5 ,0 )A  到直线 的距离为 10 2 ,故 11APQ△ 的面 积为 1105 10222 . 22||130PQ  ,直线 22PQ 的方程为 7 10 93yx,点 A 到直线 22PQ 的距离为 130 26 ,故 22APQ△ 的 面积为 1 130 51302 26 2   . 综上, APQ△ 的面积为 5 2 . 22.[选修 4—4:坐标系与参数方程] 解:(1)因为 t≠1,由 220tt   得 2t  ,所以 C 与 y 轴的交点为(0,12); 由 22 3 0 tt   得 t=2,所以 C 与 x 轴的交点为 ( 4 ,0) . 故 | | 4 1 0AB  . (2)由(1)可知,直线 AB 的直角坐标方程为 14 12 xy ,将 cossinxy, 代入, 得直线 AB 的极坐标方程3 cos sin 12 0      . 23.[选修 4—5:不等式选讲] 解:(1)由题设可知,a,b,c 均不为零,所以 22221[()()]2abbccaabcabc 2221 ()2 abc 0 . (2)不妨设 max{a,b,c}=a,因为 1, ( )abc a b c    ,所以 a>0,b<0,c<0.由 2() 4 bcbc  ,可得 3 4 aabc  , 故 3 4a  ,所以 3m a x { , , } 4abc  .

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