2020年全国Ⅲ卷高考文数真题试卷（含答案） 8页

2020 年全国Ⅲ卷高考文数真题试卷（含答案） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合  1 2 3 5 7 1 1A  ，，，，， ，  315|Bxx ，则 A∩B 中元素的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 2．若 )( 1 i 1 iz    ，则 z= A．1–i B．1+i C．–i D．i 3．设一组样本数据 x1，x2，…，xn 的方差为 0.01，则数据 10x1，10x2，…，10xn 的方差为 A．0.01 B．0.1 C．1 D．10 4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺 炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型： 0.23(53)()= 1e tI Kt  ，其中 K 为最大确诊病例数．当 I( *t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 5．已知 πsinsin= 3（ ）1，则 πsin= 6 （ ） A． 1 2 B． 3 3 C． 2 3 D． 2 2 6．在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若 =1ACBC ，则点 C 的轨迹为 A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 7．设 O 为坐标原点，直线 x=2 与抛物线 C：  2 20ypxp交于 D，E 两点，若 OD⊥OE，则 C 的焦点坐 标为 A．（ 1 4 ，0） B．（ 1 2 ，0） C．（1，0） D．（2，0） 8．点 (0 )1， 到直线  1ykx距离的最大值为 A．1 B． 2 C． 3 D．2 9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A．6+4 2 B．4+4 C．6+2 3 D．4+2 10．设 a=log32，b=log53，c= 2 3 ，则 A．a0,b>0)的一条渐近线为 y= 2 x，则 C 的离心率为_________． 15．设函数 e() x fx xa  ．若 e(1) 4f   ，则 a=_________． 16．已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 设等比数列{an}满足 124aa， 13 8aa． （1）求{an}的通项公式； （2）记 nS 为数列{log3an}的前 n 项和．若 13mmmS S S ，求 m． 18．（12 分） 某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据 得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级 [0,200] (200,400] (400,600] 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则称 这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 2×2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认 为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次≤400 人次>400 空气质量好 空气质量不好 附： 2 2 () ()()()() n adbcK abcdacbd   ， P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19．（ 12 分） 如图，在长方体 1 1 11ABCDA B C D 中，点 E ，F 分别在棱 1DD ， 1BB 上，且 12DEED ， 12BFFB ．证 明： （1）当 AB BC 时， EF AC ； （2）点 1C 在平面 AEF 内． 20．（ 12 分） 已知函数 32()fxxkxk ． （1）讨论 ()fx的单调性； （2）若 ()fx有三个零点，求 k 的取值范围． 21．（ 12 分） 已知椭圆 22 2:1(05)25 xyCm m  的离心率为 15 4 ， A ， B 分别为 C 的左、右顶点． （1）求 的方程； （2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 6x  上，且||||BPBQ ， BPBQ ，求 APQ△ 的面积． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程] (10 分) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 2 2 3 xtt ytt     ， (t 为参数且 t≠1)，C 与坐标轴交于 A，B 两 点. （1）求 ||AB ； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程. 23．[选修 4-5：不等式选讲] (10 分) 设 a，b，c∈R， a+b+c=0，abc=1． （1）证明：ab+bc+ca<0； （2）用 max{a，b，c}表示 a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ 3 4 ． 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 选择题答案 一、选择题 1．B 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．B 9．C 10．A 11．C 12．D 非选择题答案 二、填空题 13．7 14． 3 15．1 16． 2 3  三、解答题 17．解：（1）设 {}na 的公比为 q ，则 1 1 n na a q  .由已知得 11 2 11 4 8 aaq aqa   ， 解得 1 1,3aq. 所以 的通项公式为 1=3n na  . （2）由（1）知 3log1.nan 故 (1) .2n nnS  由 13mmmSSS 得 (1)(1)(3)(2)m mmmmm ，即 2 5 6 0mm   . 解得 1m  （舍去）， 6m  . 18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率的估计值如下表： 空气质量等级 1 2 3 4 概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09 （2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 1 (100 20 300 35 500 45) 350100       ． （3）根据所给数据，可得 22 列联表： 人次≤400 人次>400 空气质量好 33 37 空气质量不好 22 8 根据列联表得 2 2 100(3382237) 5.82055457030K  ． 由于 5.820 3.841 ，故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 19．解：（1）如图，连结 BD ， 11BD ．因为 AB BC ，所以四边形 A B CD 为正方形，故 AC BD ． 又因为 1BB  平面 A B CD ，于是 1A C B B ．所以 AC  平面 11B B D D ． 由于 EF  平面 ，所以 EF AC ． （2）如图，在棱 1AA 上取点 G ，使得 12AGGA ，连结 1GD ， 1FC ， FG ， 因为 11 2 3DEDD ， 1 2 3AGAA ， 11DD AA∥ ，所以 1EDAG∥ ，于是四边形 1E DG A 为平行四边形， 故 1AEGD∥ ． 因为 11 1 3BFBB ， 11 1 3AGAA ， 11BB AA∥ ，所以 11FG A B∥ ， 11FG C D∥ ，四边形 11F G D C 为平行 四边形，故 11GDFC∥ ． 于是 1AEFC∥ ．所以 1, , ,A E F C 四点共面，即点 1C 在平面 AEF 内． 20．解：（1） 2( ) 3f x x k   ． 当k=0时， 3()f x x ，故 ()fx在 ()  ， 单调递增； 当k<0时， 2( ) 3 0f x x k    ，故 在 单调递增． 当k>0时，令 ()0fx，得 3 3 kx  ．当 3(,) 3 kx    时， ()0fx；当 33(,) 33 kkx 时， ()0fx； 当 3( , )3 kx  时， ．故 ()fx在 3( , )3 k  ， 3( , )3 k  单调递增，在 33( , )33 kk 单调递 减． （2）由（1）知，当 0k  时， ()fx在 ()   ， 单调递增， 不可能有三个零点． 当k>0时， 3= 3 kx  为 的极大值点， 3= 3 kx 为 的极小值点． 此时， 331133 kkkk  且 ( 1) 0fk   ， ( 1) 0fk， 3( ) 0 3 kf ． 根据 的单调性，当且仅当 3( ) 03 kf  ，即 2 23 09 kkk 时， 有三个零点，解得 4 27k  ．因此k的取值范围为 ( 0 ) 4 27 ， ． 21．解：（1）由题设可得 22 5 1 5 54 m  ，得 2 25 16m  ， 所以C 的方程为 22 12525 16 xy. （2）设 (,),(6,)PPQPxyQy ，根据对称性可设 0Qy  ，由题意知 0Py  ， 由已知可得 ( 5 ,0 )B ，直线 BP 的方程为 1 (5) Q yxy  ，所以 2||1 PQBPyy， 2||1 QBQy， 因为||||BPBQ ，所以 1Py  ，将 代入 的方程，解得 3Px  或 3 . 由直线 BP 的方程得 2Qy  或 8. 所以点 ,PQ的坐标分别为 1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)PQPQ  . 11||10PQ  ，直线 11PQ 的方程为 1 3yx ，点 ( 5 ,0 )A  到直线 的距离为 10 2 ，故 11APQ△ 的面 积为 1105 10222 . 22||130PQ  ，直线 22PQ 的方程为 7 10 93yx，点 A 到直线 22PQ 的距离为 130 26 ，故 22APQ△ 的 面积为 1 130 51302 26 2   . 综上， APQ△ 的面积为 5 2 . 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程] 解：（1）因为 t≠1，由 220tt   得 2t  ，所以 C 与 y 轴的交点为（0，12）； 由 22 3 0 tt   得 t=2，所以 C 与 x 轴的交点为 ( 4 ,0) ． 故 | | 4 1 0AB  ． （2）由（1）可知，直线 AB 的直角坐标方程为 14 12 xy ，将 cossinxy， 代入， 得直线 AB 的极坐标方程3 cos sin 12 0      ． 23．[选修 4—5：不等式选讲] 解：（1）由题设可知，a，b，c 均不为零，所以 22221[()()]2abbccaabcabc 2221 ()2 abc 0 . （2）不妨设 max{a，b，c}=a，因为 1, ( )abc a b c    ，所以 a>0，b<0，c<0.由 2() 4 bcbc  ，可得 3 4 aabc  ， 故 3 4a  ，所以 3m a x { , , } 4abc  .