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  • 2021-05-13 发布

2020-2021学年高考数学(理)考点:等比数列及其前n项和

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‎2020-2021学年高考数学(理)考点:等比数列及其前n项和 ‎1.等比数列的有关概念 ‎(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数).‎ ‎(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇒a,G,b成等比数列⇒G2=ab.‎ ‎2.等比数列的有关公式 ‎(1)通项公式:an=a1qn-1.‎ ‎(2)前n项和公式:‎ Sn= ‎3.等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).‎ ‎(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=ap·aq=a.‎ ‎(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},,{a},{an·bn},(λ≠0)仍然是等比数列.‎ ‎(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.‎ ‎4.在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列(n为偶数且q=-1除外).‎ 概念方法微思考 ‎1.将一个等比数列的各项取倒数,所得的数列还是一个等比数列吗?若是,这两个等比数列的公比有何关系?‎ 提示 仍然是一个等比数列,这两个数列的公比互为倒数.‎ ‎2.任意两个实数都有等比中项吗?‎ 提示 不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项.‎ ‎3.“b2=ac”是“a,b,c”成等比数列的什么条件?‎ 提示 必要不充分条件.因为b2=ac时不一定有a,b,c成等比数列,比如a=0,b=0,c=1.但a,b,c成等比数列一定有b2=ac.‎ ‎1.(2020•新课标Ⅰ)设是等比数列,且,,则  ‎ A.12 B.24 C.30 D.32‎ ‎【答案】D ‎【解析】是等比数列,且,‎ 则,即,‎ ‎,‎ 故选.‎ ‎2.(2020•新课标Ⅱ)记为等比数列的前项和.若,,则  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等比数列的公比为,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 故选.‎ ‎3.(2019•全国)  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】数列3,,,,是首项为3,公比为的等比数列;‎ 且是第项;‎ ‎.‎ 故选.‎ ‎4.(2019•浙江)设,,数列满足,,,则  ‎ A.当时, B.当时, ‎ C.当时, D.当时,‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于,令,得,‎ 取,,‎ 当时,,故错误;‎ 对于,令,得或,‎ 取,,,,‎ 当时,,故错误;‎ 对于,令,得,‎ 取,,,,‎ 当时,,故错误;‎ 对于,,,‎ ‎,‎ ‎,递增,‎ 当时,,‎ ‎,,.故正确.‎ 故选.‎ ‎5.(2019•新课标Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15,且,则  ‎ A.16 B.8 C.4 D.2‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等比数列的公比为,‎ 则由前4项和为15,且,有 ‎,,‎ ‎.‎ 故选.‎ ‎6.(2020•江苏)设是公差为的等差数列,是公比为的等比数列.已知数列的前项和,则的值是__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】因为的前项和,‎ 因为是公差为的等差数列,设首项为;是公比为的等比数列,设首项为,‎ 所以的通项公式,所以其前项和,‎ 当中,当公比时,其前项和,‎ 所以的前项和,显然没有出 现,所以,‎ 则的前项和为,‎ 所以,‎ 由两边对应项相等可得:解得:,,,,‎ 所以,‎ 故答案为:4.‎ ‎7.(2020•新课标Ⅰ)数列满足,前16项和为540,则__________.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由,‎ 当为奇数时,有,‎ 可得,‎ ‎,‎ 累加可得 ‎;‎ 当为偶数时,,‎ 可得,,,.‎ 可得.‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎,即.‎ 故答案为:7.‎ ‎8.(2019•上海)已知数列前项和为,且满足,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,①‎ 得,即,‎ 且,②‎ ‎①②得:.‎ 数列是等比数列,且.‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎9.(2019•新课标Ⅰ)设为等比数列的前项和.若,,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】等比数列的前项和,,,‎ ‎,,‎ 整理可得,,‎ 解可得,,‎ 则.‎ 故答案为:.‎ ‎10.(2019•新课标Ⅰ)记为等比数列的前项和.若,,则  .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在等比数列中,由,得,‎ 即,,‎ 则,‎ 故答案为:.‎ ‎11.(2020•北京)已知是无穷数列.给出两个性质:‎ ‎①对于中任意两项,,在中都存在一项,使得;‎ ‎②对于中任意一项,在中都存在两项,,使得.‎ ‎(Ⅰ)若,2,,判断数列是否满足性质①,说明理由;‎ ‎(Ⅱ)若,2,,判断数列是否同时满足性质①和性质②,说明理由;‎ ‎(Ⅲ)若是递增数列,且同时满足性质①和性质②,证明:为等比数列.‎ ‎【解析】(Ⅰ)不满足,理由:,不存在一项使得.‎ ‎(Ⅱ)数列同时满足性质①和性质②,‎ 理由:对于任意的和,满足,因为,且,所以,则必存在,此时,且满足,性质①成立,‎ 对于任意的,欲满足,满足即可,因为,,且,‎ 所以可表示所有正整数,所以必有一组,使,即满足,性质②成立.‎ ‎(Ⅲ)首先,先证明数列恒正或恒负,‎ 反证法:假设这个递增数列先负后正,‎ 那么必有一项绝对值最小或者有与同时取得绝对值最小,‎ 如仅有一项绝对值最小,此时必有一项,此时 与前提矛盾,‎ 如有两项与 同时取得绝对值最小值,那么必有,‎ 此时,与前提条件矛盾,‎ 所以数列必然恒正或恒负,‎ 在数列恒正的情况下,由②知,存在,且,‎ 因为是递增数列,,使得,‎ 即,所以,此时,,成等比数列,‎ 数学归纳法:‎ ‎(1)已证时,满足是等比数列,公比,‎ ‎(2)假设时,也满足是等比数列,公比,‎ 那么由①知等于数列的某一项,证明这一项为即可,‎ 反证法:‎ 假设这一项不是,因为是递增数列,所以该项,‎ 那么,由等比数列得,‎ 由性质②得,同时,所以,‎ 所以,分别是等比数列中两项,即,,‎ 原式变为,‎ 所以,又因为,,,不存在这组解,所以矛盾,‎ 所以知,为等比数列,‎ 由数学归纳法知,是等比数列得证,‎ 同理,数列恒负,也是等比数列.‎ ‎12.(2020•天津)已知为等差数列,为等比数列,,,.‎ ‎(Ⅰ)求和的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记的前项和为,求证:;‎ ‎(Ⅲ)对任意的正整数,设求数列的前项和.‎ ‎【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,‎ 由,,则,可得,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 解得,‎ ‎;‎ ‎(Ⅱ)证明:法一:由(Ⅰ)可得,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎;‎ 法二:数列为等差数列,且,‎ ‎,,,‎ ‎,‎ ‎;‎ ‎(Ⅲ),当为奇数时,,‎ 当为偶数时,,‎ 对任意的正整数,有,‎ 和,①,‎ 由①可得,②,‎ ‎①②得,‎ ‎,‎ 因此.‎ 数列的前项和.‎ ‎13.(2020•海南)已知公比大于1的等比数列满足,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)求.‎ ‎【解析】(1)设等比数列的公比为,‎ 则,‎ ‎,,‎ ‎.‎ ‎(2)‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎14.(2020•新课标Ⅰ)设是公比不为1的等比数列,为,的等差中项.‎ ‎(1)求的公比;‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1)设是公比不为1的等比数列,‎ 为,的等差中项,可得,‎ 即,‎ 即为,‎ 解得舍去),‎ 所以的公比为;‎ ‎(2)若,则,‎ ‎,‎ 则数列的前项和为,‎ ‎,‎ 两式相减可得 ‎,‎ 化简可得,‎ 所以数列的前项和为.‎ ‎15.(2020•山东)已知公比大于1的等比数列满足,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)记为在区间,中的项的个数,求数列的前100项和.‎ ‎【解析】(1),,‎ ‎,‎ 解得或(舍去),‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎(2)记为在区间,中的项的个数,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故,,,,,,,‎ ‎,,,,,,,,,,‎ 可知0在数列中有1项,1在数列中有2项,2在数列中有4项,,‎ 由,‎ 可知,.‎ 数列的前100项和.‎ ‎16.(2020•新课标Ⅲ)设等比数列满足,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)记为数列的前项和.若,求.‎ ‎【解析】(1)设公比为,则由,‎ 可得,,‎ 所以.‎ ‎(2)由(1)有,是一个以0为首项,1为公差的等差数列,‎ 所以,‎ 所以,,‎ 解得,或(舍去),‎ 所以.‎ ‎17.(2020•浙江)已知数列,,满足,,,.‎ ‎(Ⅰ)若为等比数列,公比,且,求的值及数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若为等差数列,公差,证明:,.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意,,,‎ ‎,,‎ 整理,得,‎ 解得(舍去),或,‎ ‎,‎ 数列是以1为首项,4为公比的等比数列,‎ ‎,.‎ ‎,‎ 则,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 各项相加,可得 ‎.‎ ‎(Ⅱ)证明:依题意,由,可得 ‎,‎ 两边同时乘以,可得 ‎,‎ ‎,‎ 数列是一个常数列,且此常数为,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,故得证.‎ ‎18.(2020•上海)已知各项均为正数的数列,其前项和为,.‎ ‎(1)若数列为等差数列,,求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列为等比数列,,求满足时的最小值.‎ ‎【解析】(1)数列为公差为的等差数列,,,‎ 可得,解得,‎ 则;‎ ‎(2)数列为公比为的等比数列,,,‎ 可得,即,‎ 则,,‎ ‎,即为,‎ 即,可得,即的最小值为7.‎ ‎19.(2019•全国)数列中,,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)求满足的的最大值.‎ ‎【解析】(1).‎ ‎,又,‎ 数列是以3为首项,2为公差的等差数列,‎ ‎,;‎ ‎(2)由(1)知,,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,,,‎ 的最大值为9.‎ ‎20.(2019•浙江)设等差数列的前项和为,,.数列满足:对每个,,,成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列,的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记,,证明:,.‎ ‎【解析】(Ⅰ)设数列的公差为,‎ 由题意得,‎ 解得,,‎ ‎,.‎ ‎,,‎ 数列满足:对每个,,,成等比数列.‎ ‎,‎ 解得,‎ 解得,.‎ ‎(Ⅱ)证明:,,‎ 用数学归纳法证明:‎ ‎①当时,,不等式成立;‎ ‎②假设,时不等式成立,即,‎ 则当时,‎ ‎,‎ 即时,不等式也成立.‎ 由①②得,.‎ ‎21.(2019•新课标Ⅱ)已知数列和满足,,,.‎ ‎(1)证明:是等比数列,是等差数列;‎ ‎(2)求和的通项公式.‎ ‎【解析】(1)证明:,;‎ ‎,;‎ 即,;‎ 又,,‎ 是首项为1,公比为的等比数列,‎ 是首项为1,公差为2的等差数列;‎ ‎(2)由(1)可得:,‎ ‎;‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎22.(2019•新课标Ⅱ)已知是各项均为正数的等比数列,,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1)设等比数列的公比为,‎ 由,,得,‎ 即,解得(舍或.‎ ‎;‎ ‎(2),‎ ‎,,‎ 数列是以1为首项,以2为公差的等差数列,‎ 则数列的前项和.‎ ‎23.(2019•上海)已知数列,,前项和为.‎ ‎(1)若为等差数列,且,求;‎ ‎(2)若为等比数列,且,求公比的取值范围.‎ ‎【解析】(1),,‎ ‎;‎ ‎(2),存在,,‎ 存在,且,,‎ ‎,,或,‎ 公比的取值范围为,,.‎ ‎1.(2020•兴庆区校级四模)等比数列中,,则与的等比中项是  ‎ A. B.4 C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】,‎ ‎.‎ 又.‎ 与的等比中项是.‎ 故选.‎ ‎2.(2020•德阳模拟)已知等比数列中,,,则的值为  ‎ A.30 B.25 C.15 D.10‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意,等比数列中,设其公比为,‎ 若,,则,则,‎ 则;‎ 故选.‎ ‎3.(2020•南岗区校级模拟)已知数列是等比数列,,,则  ‎ A. B.48 C.192 D.768‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等比数列的公比为,‎ 由于,可得:,①‎ 由于,可得:,可得,‎ 代入①可得:,‎ 所以.‎ 故选.‎ ‎4.(2020•九龙坡区模拟)已知实数,,,,成等比数列,则  ‎ A. B.8 C. D.16‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意,实数,,,,成等比数列,‎ 则有,则,‎ 又由,则,‎ 则;‎ 故选.‎ ‎5.(2020•南岗区校级四模)在等比数列中,,,则  ‎ A.16 B. C.或 D.16或1‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意,设等比数列的公比为,‎ 若,,则有,解可得或,‎ 若,则,‎ 若,则,‎ 故或1;‎ 故选.‎ ‎6.(2020•鼓楼区校级模拟)已知正项等比数列的首项和公比相等,数列满足,且,则  ‎ A.4 B.32 C.108 D.256‎ ‎【答案】D ‎【解析】正项等比数列的首项和公比相等,‎ 故;‎ 由题可得:;‎ ‎,‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎,‎ 故选.‎ ‎7.(2020•碑林区校级模拟)在等比数列中,,,则  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】在等比数列中,,,‎ ‎,解得,,‎ ‎.‎ 故选.‎ ‎8.(2020•榆林四模)已知数列为等比数列,若,,则  ‎ A. B.25 C. D.5‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等比数列的公比为,,,‎ ‎,解得.‎ ‎.‎ 故选.‎ ‎9.(2020•香坊区校级一模)设为正项递增等比数列的前项和,且,,则的值为  ‎ A.63 B.64 C.127 D.128‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意,正项递增等比数列中,,即,则,‎ 又由,则,解可得或,‎ 又由数列为正项递增等比数列,则;‎ 又由,则,‎ 则;‎ 故选.‎ ‎10.(2020•安徽模拟)等差数列的首项为5.公差不等于零.若,,成等比数列,则  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】等差数列的首项为5,公差不等于零,‎ 若,,成等比数列,则,‎ 即为,‎ 解得,‎ 则.‎ 故选.‎ ‎11.(2020•道里区校级模拟)设公比为3的等比数列的前项和为,若,则  ‎ A.3 B.9 C.27 D.81‎ ‎【答案】C ‎【解析】公比为3的等比数列的前项和为,,‎ ‎,‎ 解得,‎ ‎.‎ 故选.‎ ‎12.(2020•靖远县模拟)已知数列是等比数列,数列是等差数列,若,,则的值是  ‎ A. B.2 C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】在等差数列中,由,得,即,‎ ‎,‎ 在等比数列中,由,得,即,‎ ‎.‎ 则.‎ 故选.‎ ‎13.(2020•道里区校级模拟)设公比为3的等比数列前项和为,且,则  ‎ A.3 B.9 C.27 D.81‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意,等比数列公比为3,且,即,‎ 则;‎ 故选.‎ ‎14.(2020•永康市模拟)已知数列满足,,,则数列的前10项和为  ‎ A.48 B.49 C.50 D.61‎ ‎【答案】D ‎【解析】由,,当时,,‎ 可得,,,,,‎ ‎,,,‎ 则 ‎.‎ 故选.‎ ‎15.(2020•全国四模)在等比数列中,,,则数列前7项的和  ‎ A.253 B.254 C.255 D.256‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等比数列的性质可知,,‎ 故,‎ ‎.‎ 故选.‎ ‎16.(2020•吉林四模)已知,则  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】,则 ‎.‎ 故选.‎ ‎17.(2020•吉林模拟)已知等比数列,,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列是首项为,公差为的等差数列,求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1)设数列的公比为,则,‎ 解得,所以.‎ ‎(2)数列是首项为,公差为的等差数列,所以,‎ 得到,,‎ 数列的前项和.‎ ‎18.(2020•武汉模拟)已知等比数列是递增的数列,且前项和为,,又,,成等差数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)令,求.‎ ‎【解析】(1)设公比为的等比数列是递增的数列,且前项和为,,又,,成等差数列.‎ 所以,解得,‎ 由于数列是递增的数列,‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎(2)由(1)得,,‎ 当时,,‎ 所以.‎ 当时,.‎ 故.‎ ‎19.(2020•道里区校级一模)已知数列的前项和为,,且,.‎ ‎(1)证明:数列是等比数列;‎ ‎(2)求数列的通项公式与前项和.‎ ‎【解析】(1),‎ ‎,‎ 又,‎ 数列是首项、公比均为的等比数列,且;‎ ‎(2)由(1)知:,‎ ‎.‎ 又,‎ ‎,‎ 两式相减得:,‎ ‎.‎ ‎20.(2020•镜湖区校级模拟)已知正项等比数列的前项和为,且满足关于的不等式的解集为.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列满足,求数列的前项和.‎ ‎【解析】(Ⅰ)设等比数列的公比为.‎ 因为关于的不等式的解集为,‎ 所以,‎ 又易知,得,‎ 所以,解得或(舍.‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎(Ⅱ)由(1)可得,.‎ 因为,所以,‎ 所以数列的前项和 ‎.‎ ‎21.(2020•东湖区校级三模)已知数列,满足,对任意均有,,‎ ‎(1)证明:数列和数列均为等比数列;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1)证明:由,可得,,‎ 对任意均有,,‎ 可得,,‎ 则数列是首项和公比均为2的等比数列;‎ 数列为首项为1,公比为2的等比数列;‎ ‎(2),‎ 可得,‎ ‎,‎ 上面两式相减可得 ‎,‎ 化简可得.‎ ‎22.(2020•天津二模)已知等差数列的前项和为,且,,数列的前项和为,且.‎ ‎(1)求数列,的通项公式;‎ ‎(2)设,数列的前项和为,求;‎ ‎(3)设,求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1)等差数列的公差设为,‎ ‎,‎ 解得,‎ 所以,;‎ 对数列,当时,;‎ 当时,,‎ 上式对也成立.‎ 所以,;‎ ‎(2),‎ 所以.‎ ‎(3).‎ 因为,所以,‎ 而,‎ 设数列的前项和为,数列的前项和为,‎ 则,‎ ‎,‎ 上面两式相减可得 ‎,‎ 化简可得.‎ 当为偶数时,‎ ‎;‎ 当为奇数时,;‎ 综上可得.‎ 所以数列的前项和为.‎ ‎23.(2020•唐山二模)已知等比数列的各项均为正,且,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1)设数列的公比为,‎ 依题意有,(3分)‎ 两式相比,整理得,解得或.(5分)‎ 因为的各项均为正,所以,,‎ 所以.(6分)‎ ‎(2),,(8分)‎ 所以.(12分)‎ ‎24.(2020•内江三模)已知数列是等差数列,且满足,是与的等比中项.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)已知数列满足,求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1)设等差数列的公差为,由题设可得:‎ ‎,解得:,‎ ‎;‎ ‎(2)由(1)知:,.‎ ‎①,‎ ‎②,‎ 由①②可得:‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎25.(2020•运城模拟)已知数列满足,,前项和为.‎ ‎(1)求,;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1)因为,所以,‎ 两式相减得,所以,‎ 所以数列是等差数列,中令,得,又,‎ 所以数列的公差,,‎ ‎.‎ ‎(2),‎ 所以 ‎.‎ ‎26.(2020•梅河口市校级模拟)已知正项数列的前项和为,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列满足,求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1)正项数列的前项和为,且.①‎ 当时,,解得.‎ 当时,②,‎ ‎①②得,‎ 由于,‎ 所以(常数).‎ 所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列.‎ 所以.‎ ‎(2)数列满足.‎ 所以.‎ ‎27.(2020•武汉模拟)若等比数列的前项和为,满足,.‎ ‎(1)求数列的首项和公比;‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ ‎【解析】(1),.显然公比,‎ ‎,解可得,,‎ ‎(2)由(1)可得,‎ ‎,即,‎ 解可得,.‎ ‎28.(2020•南京模拟)设首项为的正项数列的前项和为,为非零常数,已知对任意正整数,,总成立.‎ ‎(Ⅰ)求证:数列是等比数列;‎ ‎(Ⅱ)若不等的正整数,,成等差数列,试比较与的大小;‎ ‎(Ⅲ)若不等的正整数,,成等比数列,试比较与的大小.‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为对任意正整数,,总成立,‎ 令,得,则 令,得(1),从而(2),‎ ‎(2)(1)得,‎ 综上得,所以数列是等比数列 ‎(Ⅱ)正整数,,成等差数列,‎ 则,‎ 所以,‎ 则 ‎①当时,‎ ‎②当时,‎ ‎③当时,‎ ‎(Ⅲ)正整数,,成等比数列,则,则,‎ 所以,‎ ‎①当,即时,‎ ‎②当,即时,‎ ‎③当,即时,.‎ ‎29.(2019•安徽二模)已知等比数列,公比,,5为,的等差中项 ‎(1)求数列的通项;‎ ‎(2)若,且,求的值 ‎【解析】(1)等比数列,公比,,5为,的等差中项,‎ ‎,解得,,‎ ‎.‎ ‎(2),‎ 令,‎ 则,‎ ‎,‎ 相减,得:,‎ 解得.‎ ‎30.(2019•怀柔区一模)设是首项为1,公比为3的等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式及前项和;‎ ‎(Ⅱ)已知是等差数列,为前项和,且,,求.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意可得,‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ),,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎31.(2019•广西二模)已知数列中,,,.‎ ‎(1)求证:数列是等比数列;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1),,‎ ‎,‎ ‎,‎ 数列是以2为公比的等比数列,‎ ‎(2)由(1)知,数列是等比数列,且,首项为,‎ ‎,‎ ‎,‎ 数列的前项和.‎ ‎32.(2018•邯郸二模)已知数列的前项和为,且满足,2,,.‎ ‎(1)求证:为等比数列;‎ ‎(2)数列中是否存在不同的三项,适当排列顺序后构成一个等差数列?并说明理由.‎ ‎【解析】(1),时,可得:,‎ 化为:,,‎ 时,,,‎ 为等比数列,首项为2,公比为2.‎ ‎(2)解:由(1)可得:,可得.‎ 可知:数列单调递增.‎ 假设数列中存在不同的三项,,,,,,,.‎ 适当排列顺序后构成一个等差数列,必然是,,是等差数列.‎ ‎,‎ ‎,‎ 化为:.‎ 而左边为偶数,右边为奇数.‎ 因此不成立,故假设不成立.‎ 因此数列中不存在不同的三项,适当排列顺序后构成一个等差数列.‎ ‎33.(2018•鄂伦春自治旗二模)设为数列的前项和,已知,.‎ ‎(1)证明:为等比数列;‎ ‎(2)求的通项公式,并判断,,是否成等差数列?‎ ‎【解析】(1),,,‎ ‎,,,‎ ‎,‎ 是首项为2公比为2的等比数列.‎ ‎(2)解:由(1)知,,,‎ ‎,‎ ‎,,‎ 即,,成等差数列.‎ ‎34.(2018•广西二模)已知公差不为0的等差数列的前项和,,,成等差数列,且、,成等比数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,,成等比数列,求及此等比数列的公比.‎ ‎【解析】(1)设等差数列的公差为.‎ ‎,,成等差数列,且、,成等比数列,‎ ‎,,‎ 即,,.‎ 可得,.‎ ‎.‎ ‎(2)由(1)可得:,,.‎ ‎,,成等比数列,,,‎ 化为:,解得.此等比数列的公比.‎ ‎35.(2018•亭湖区校级模拟)已知数列中,.‎ ‎(1)是否存在实数,使数列是等比数列?若存在,求的值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(2)若是数列的前项和,求满足的所有正整数.‎ ‎【解析】(1)设,‎ 因为分 若数列是等比数列,则必须(常数),‎ 即,即分 此时,‎ 所以存在实数,使数列是等比数列分 ‎(2)由(1)得是以为首项,为公比的等比数列,‎ 故,即分 由得,分 所以,‎ 分 显然,当时,单调递减,‎ 又当时,,当时,,所以当时,;‎ ‎.‎ 同理,当且仅当时,,‎ 综上,满足满足的所有正整数为1和分 ‎36.(2017•双流县校级一模)已知数列的前项和满足.‎ ‎(1)求证:数列为等比数列;‎ ‎(2)设函数,求.‎ ‎【解析】(1)因为,‎ 所以, ‎ 所以,‎ 所以,‎ 又,所以. ‎ 所以数列为首项为,公比为的等比数列.‎ ‎(2)因为,‎ 所以 因为,‎ 所以.‎ ‎37.(2017•淮安二模)设数列的前项和为,且满足:‎ ‎①;‎ ‎②,其中,,且.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)数列能否是等比数列?请说明理由;‎ ‎(3)求证:当时,数列是等差数列.‎ ‎【解析】(1)时,,其中,,且.又.‎ ‎,解得.‎ ‎(2)设,,,,‎ 化为:,.联立解得,(不合题意),舍去,因此数列不是等比数列.‎ ‎(3)证明:时,,,,.‎ 化为:,,.假设数列的前项成等差数列,公差为.‎ 则,化为,‎ 因此第项也满足等差数列的通项公式,‎ 综上可得:数列成等差数列.‎ ‎38.(2017•包头一模)已知数列的前项和为,且.‎ ‎(1)求,,的值;‎ ‎(2)设,证明数列为等比数列,并求通项公式.‎ ‎【解析】(1)数列的前项和为,且.‎ 时,由,解得,‎ 时,由,得,‎ 时,由,得.‎ ‎(2),,‎ 两式相减,得,‎ 把及,代入式,‎ 得,,且,‎ 数列是以6为首项,2为公比的等比数列,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎39.(2016•湖北校级三模)已知数列的前项和,,,数列满足,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)是否存在正实数,使得为等比数列?并说明理由.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由,得到,‎ ‎,‎ ‎,‎ 数列为等差数列,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎(Ⅱ)由题设,,‎ 两式相除可得,‎ 即和都是以4为公比的等比数列.‎ 因为,‎ 所以,由及,可得,‎ 又,所以.‎ 所以,‎ 即,则,‎ 因此存在,使得数列为等比数列.‎