2020-2021学年高考数学（理）考点：直线的方程 10页

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：直线的方程 ‎1．直线的倾斜角 ‎(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．‎ ‎(2)范围：直线l倾斜角的范围是0°≤α<180°.‎ ‎2．斜率公式 ‎(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.‎ ‎(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.‎ ‎3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0)‎ 不含直线x＝x0‎ 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ ‎(x1≠x2，y1≠y2)‎ 不含直线x＝x1 和直线y＝y1‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0‎ ‎(A2＋B2≠0)‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 概念方法微思考 ‎1．直线都有倾斜角，是不是直线都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？‎ 提示　倾斜角α∈[0，π)，当α＝时，斜率k不存在；因为k＝tan α.当α∈时，α越大，斜率k就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠时就不是了．‎ ‎2．“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？‎ 提示　“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．‎ ‎1．（2018•全国）坐标原点关于直线的对称点的坐标为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设坐标原点关于直线的对称点的坐标为，‎ 则，‎ 解得，，‎ 坐标原点关于直线的对称点的坐标为．‎ 故答案为：．‎ ‎1．（2020•河南模拟）已知函数，满足，则直线的倾斜角为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数，满足，‎ 函数关于直线对称，‎ ‎，‎ 化为，‎ 解得．‎ 则直线的倾斜角满足：，，．‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎2．（2020•宜昌模拟）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为角终边落在直线上，‎ 所以，可得，‎ 所以．‎ 故选．‎ ‎3．（2020•浙江模拟）直线为常数）的倾斜角为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设直线的倾斜角是，‎ 则直线的方程可化为，‎ 直线的斜率，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎4．（2020•徐汇区一模）过点，且与直线有相同方向向量的直线的方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由可得，，即直线的斜率，‎ 由题意可知所求直线的斜率率，‎ 故所求的直线方程为即．‎ 故选．‎ ‎5．（2020•普陀区一模）若直线经过第一象限内的点，，则的最大值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线经过第一象限内的点，，‎ 则，，．‎ ‎．‎ 令，，．‎ ‎，‎ 可得时，取得极大值即最大值，．‎ 故选．‎ ‎6．（2020•南充模拟）直线关于直线对称的直线方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】在直线上任取一点，此点关于直线的对称点在直线上，‎ ‎，即，‎ 故选．‎ ‎7．（2019•西湖区校级模拟）直线在轴上的截距为　　‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，直线，其与轴的交点为，即在轴上的截距为1；‎ 故选．‎ ‎8．（2019•西城区模拟）直线经点，且与直线在轴上的截距相等，则直线的方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直线在轴上的截距为，‎ 设直线方程为，‎ 过点，‎ ‎，‎ 得，‎ 得，‎ 即方程为，‎ 即，‎ 故选．‎ ‎9．（2019•广州二模）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设点．‎ 点与点关于直线对称，‎ ‎，解得，．‎ 则点的坐标为．‎ 故选．‎ ‎10．（2019•黄冈模拟）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为　　‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】当直线过原点时，可得斜率为，‎ 故直线方程为，即 当直线不过原点时，设方程为，‎ 代入点可得，解得，‎ 故方程为，‎ 故所求直线方程为：或，‎ 故选．‎ ‎11．（2019•黄冈模拟）过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为　　‎ A． B． ‎ C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】当直线过原点时，方程为：，即；‎ 当直线不过原点时，设直线的方程为：，‎ 把点代入直线的方程可得，‎ 故直线方程是．‎ 综上可得所求的直线方程为：，或，‎ 故选．‎ ‎12．（2020•闵行区校级三模）若直线方程的一个法向量为，则此直线的倾斜角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线方程的一个法向量为，‎ 所以该直线的方向向量为，‎ 则直线的斜率为，‎ 所以倾斜角为．‎ 故答案为：．‎ ‎13．（2020•镇江三模）已知直线，，且，则直线，‎ 间的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，且，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，即；‎ 则、间的距离为：；‎ 故答案为：．‎ ‎14．（2020•武汉模拟）已知，为直线上两点，为坐标原点，若，则的周长最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中，由余弦定理得：，‎ 化简得：，‎ 由基本不等式，‎ 当且仅当时，等号成立．‎ 所以，‎ 所以，‎ 故，‎ 所以，由于，所以，取“”号时为等边三角形．‎ 则正三角形的高为为坐标原点到直线的距离．‎ 所以当为等边三角形时：设，所以，解得，故，‎ 所以．‎ 故答案为：．‎ ‎15．（2020•徐汇区二模）已知直线的方向向量是直线的法向量，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由直线的方向向量是直线的法向量，‎ 可得两直线互相垂直，‎ 则，解得．‎ 故答案为：．‎ ‎16．（2019•西湖区校级模拟）设直线的方程为．‎ ‎（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；‎ ‎（2）若，直线与、轴分别交于、两点，为坐标原点，求面积取最小值时，直线的方程．‎ ‎【解析】（1）当直线经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，‎ 此时，解得，‎ 此时直线的方程为，即；‎ 当直线不经过坐标原点，即且时，‎ 由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，‎ 解得，此时直线的方程为；‎ 所以直线的方程为或；‎ ‎（2）由直线方程可得，，，‎ 因为，‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当，即时等号成立；‎ 此时直线的方程为．‎ ‎17．（2019•西湖区校级模拟）过作直线，分别交轴、轴的正半轴于点，．‎ ‎（1）当为中点时，求直线的方程；‎ ‎（2）设是坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程．‎ ‎【解析】（1）设，，，则直线的方程为，‎ 为中点，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 则直线的方程为：，即．‎ ‎（2）设，，，‎ 则直线的方程为，‎ 又在直线上，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ 等号当且仅当，即，时成立，‎ 直线的方程为：，即．‎ ‎18．（2019•西湖区校级模拟）在中，已知为线段的中点，顶点，的坐标分别为，．‎ ‎（Ⅰ）求线段的垂直平分线方程；‎ ‎（Ⅱ）若顶点的坐标为，求重心的坐标．‎ ‎【解析】（Ⅰ）的中点是，‎ 直线的斜率是，‎ 线段中垂线的斜率是，‎ 故线段的垂直平分线方程是，‎ 即；‎ ‎（Ⅱ）设的重心为，‎ 由重心坐标公式可得，‎ 故重心坐标是．‎