2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第五章5-4平面向量的综合应用 20页

‎1.向量在平面几何中的应用 ‎(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：‎ 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 向量共线定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，‎ 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0‎ 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，‎ 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 ‎|a|＝＝，‎ 其中a＝(x，y)，a为非零向量 ‎(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：‎ 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.‎ ‎2.平面向量在物理中的应用 ‎(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决.‎ ‎(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角).‎ ‎3.向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.‎ ‎2.若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若∥，则A，B，C三点共线.(　√　)‎ ‎(2)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则.(　√　)‎ ‎(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角.(　×　)‎ ‎(4)在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形.(　×　)‎ ‎(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8，0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(　√　)‎ ‎1.已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值为________.‎ 答案　4‎ 解析　设a与b夹角为α，‎ ‎∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2‎ ‎＝8－4|a||b|cos α＝8－8cos α，‎ ‎∵α∈[0，π]，∴cos α∈[－1，1]，‎ ‎∴8－8cos α∈[0，16]，即|2a－b|2∈[0，16]，‎ ‎∴|2a－b|∈[0，4].‎ ‎∴|2a－b|的最大值为4.‎ ‎2.(教材改编)已知力F＝(2，3)作用在一物体上，使物体从A(2，0)移动到B(－2，3)，则F对物体所做的功为________焦耳.‎ 答案　1‎ 解析　由已知位移＝(－4，3)，‎ ‎∴力F做的功为W＝F·＝2×(－4)＋3×3＝1.‎ ‎3.(2016·泰州模拟)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是____________(填“内心”、“外心”、“重心”或“垂心”).‎ 答案　x＋2y－4＝0‎ 解析　由·＝4，得(x，y)·(1，2)＝4，‎ 即x＋2y＝4.‎ ‎4.在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)＝________.‎ 答案　－ 解析　因为M是BC的中点，所以＋＝2，‎ 所以·(＋)＝－·＝－.‎ ‎5.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则(·)min＝________.‎ 答案　1‎ 解析　取AB的中点D，连结CD、CP(图略).‎ 所以·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝·＋·(＋)＋2‎ ‎＝(2)2×－·2＋1＝7－6cos〈，〉，‎ 当cos〈，〉＝1时，·取得最小值1.‎ 题型一　向量在平面几何中的应用 例1　(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点.若·＝1，则AB＝________.‎ ‎(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________.(填“内心”“外心”“重心”或“垂心”)‎ 答案　(1)　(2)重心 解析　(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，∴＝＝－，‎ 又∵＝＋，‎ ‎∴·＝(＋)·(－)‎ ‎＝2－·＋·－2‎ ‎＝||2＋||||cos 60°－||2‎ ‎＝1＋×||－||2＝1.‎ ‎∴||＝0，又||≠0，∴||＝.‎ ‎(2)由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心.‎ 引申探究 在本例(2)中，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________.(填“内心”“外心”“重心”“垂心”)‎ 答案　内心 解析　由条件，得－＝λ，即＝λ，而和分别表示平行于， 的单位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心.‎ 思维升华　向量与平面几何综合问题的解法 ‎(1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.‎ ‎(2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.‎ ‎　(1)在△ABC中，已知向量与满足(＋)·＝0，且·＝，则△ABC的形状为__________三角形.‎ ‎(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________.‎ 答案　(1)等边　(2)5‎ 解析　(1)，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知＋为∠BAC的平分线.因为(＋)·＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.‎ 又·＝··cos∠BAC＝，所以cos∠BAC＝，又0<∠BAC<π，故∠BAC＝，所以△ABC为等边三角形.‎ ‎(2)以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝y.‎ 则D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，‎ P(0，y)，‎ ＝(2，－y)，＝(1，a－y)，‎ 则＋3＝(5，3a－4y)，‎ 即|＋3|2＝25＋(3a－4y)2，‎ 由点P是腰DC上的动点，知0≤y≤a.‎ 因此当y＝a时，|＋3|2的最小值为25.‎ 故|＋3|的最小值为5.‎ 题型二　向量在解析几何中的应用 例2　(1)已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，且A、B、C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________.‎ ‎(2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，则＝____.‎ 答案　(1)2x＋y－3＝0　(2)± 解析　(1)∵＝－＝(4－k，－7)，‎ ＝－＝(6，k－5)，且∥，‎ ‎∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，‎ 解得k＝－2或k＝11.‎ 由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.‎ ‎(2)∵·＝0，∴OM⊥CM，‎ ‎∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，‎ 由＝，得k＝±，即＝±.‎ 思维升华　向量在解析几何中的“两个”作用 ‎(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.‎ ‎(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.‎ ‎　(2016·盐城模拟)如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________.‎ 答案　－ 解析　∵圆心O是直径AB的中点，‎ ‎∴＋＝2，∴(＋)·＝2·，‎ ‎∵与共线且方向相反，‎ ‎∴当大小相等时，乘积最小.由条件知，当PO＝PC＝时，最小值为－2××＝－.‎ 题型三　向量的其他应用 命题点1　向量在不等式中的应用 例3　已知x，y满足若＝(x，1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是________.‎ 答案　 解析　因为＝(x，1)，＝(2，y)，所以·＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z＝2x＋y过点C(1，1)时，zmax＝2×1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点F(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝.‎ 命题点2　向量在解三角形中的应用 例4　在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，则△ABC最小角的正弦值等于________.‎ 答案　 解析　∵20a＋15b＋12c＝0，‎ ‎∴20a(－)＋15b＋12c＝0，‎ ‎∴(20a－15b)＋(12c－20a)＝0，‎ ‎∵与不共线，‎ ‎∴⇒ ‎∴△ABC最小角为角A，‎ ‎∴cos A＝ ‎＝＝，‎ ‎∴sin A＝.‎ 命题点3　向量在物理中的应用 例5　如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________.‎ 答案　2 解析　如题图所示，由已知得F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－(F1＋F2)，即F＝F＋F＋2F1·F2＝F＋F＋2|F1|·|F2|·cos 60°＝28.故|F3|＝2.‎ 思维升华　利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.‎ ‎　(2016·扬州模拟)如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3.点B，C分别在m，n上，|＋|＝5，则·的最大值是________.‎ 答案　 解析　方法一　以直线n为x轴，过A且垂直于n的直线为y轴，‎ 建立如图所示的直角坐标系，则A(0，3)，B(x1，2)，C(x2，0)，从而＝(x1，－1)，＝(x2，－3)，则·＝x1x2＋3，又因为|＋|＝5，即＝5，故(x1＋x2)2＝9≥4x1x2，从而x1x2≤，此时·＝x1x2＋3≤，当且仅当x1＝x2时等号成立.‎ 方法二　设P为BC的中点，则＋＝2，‎ 从而由|＋|＝5得||＝，‎ 又·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝2－2＝－2，‎ 因为||≥2，所以2≥1，故·≤－1＝，‎ 当且仅当||＝2时等号成立.‎ 三审图形抓特点 典例　(2016·苏州一模)已知A，B，C，D是函数y＝sin(ωx＋φ)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值分别为______________.‎ ―→―→ ―→ 解析　由E为该函数图象的一个对称中心，作点C的对称点M，作MF⊥x轴，垂足为F，如图.B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，知OF＝.‎ 又A，所以AF＝＝＝，所以ω＝2.同时函数y＝sin(ωx＋φ)图象可以看作是由y＝sin ωx的图象向左平移得到，故可知＝＝，即φ＝.‎ 答案　2， ‎1.(教材改编)已知平面向量a，b，满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝________.‎ 答案　 解析　由题意可得|a＋2b|＝ ‎＝＝.‎ ‎2.(教材改编)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为________.‎ 答案　 解析　∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝0，‎ ‎∴a·b＝a2，∵|a|＝1，|b|＝，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝，‎ 又∵〈a，b〉∈[0，π]，‎ ‎∴向量a与向量b的夹角为.‎ ‎3.(2016·南京模拟)已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)且a∥b，则sin 2α＝________.‎ 答案　－ 解析　由a∥b得cos α＋2sin α＝0，‎ ‎∴cos α＝－2sin α，又sin2α＋cos2α＝1，‎ ‎∴5sin2α＝1，sin2α＝，cos2α＝，‎ sin 2α＝2sin αcos α＝－cos2α＝－.‎ ‎4.设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝________.‎ 答案　 解析　依题意得sin Acos B＋cos Asin B＝1＋cos(A＋B)，sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，sin C＋cos C＝1，2sin(C＋)＝1，sin(C＋)＝.‎ 又0，‎ ‎∴|a＋b|>|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，‎ ‎∴|a－b|＝.‎ ‎9.已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是__________.‎ 答案　 解析　设a与b的夹角为θ.‎ ‎∵f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx，‎ ‎∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b.‎ ‎∵函数f(x)在R上有极值，‎ ‎∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，‎ 即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜，‎ 又∵|a|＝2|b|≠0，‎ ‎∴cos θ＝＜＝，即cos θ＜，‎ 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.‎ ‎10.(2016·常州期末)如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________.‎ 答案　 解析　方法一　建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，‎ B(4，0)，D(0，4)，C(1，4).又kBC＝－，故BC：y＝－(x－4).又＝m＋n，＝(4，0)，＝(0，4)，所以＝(4m，4n)，故P(4m，4n)，又点P在直线BC上，即3n＋4m＝4，即4(＋)＝(3n＋4m)·(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，‎ 所以(＋)min＝，当且仅当 即m＝4－2，n＝时取等号(因为m，n均为正实数).‎ 方法二　因为＝m＋n，‎ 所以＝m＋n(＋)‎ ‎＝m＋n－＝(m－)＋n.‎ 又C，P，B三点共线，故m－＋n＝1，即m＋＝1，以下同方法一.‎ ‎11.已知向量a＝(sin(α＋)，3)，b＝(1，4cos α)，α∈(0，).‎ ‎(1)若a⊥b，求tan α的值；‎ ‎(2)若a∥b，求α的值.‎ 解　(1)因为a⊥b，‎ 所以sin(α＋)＋12cos α＝0，‎ 即sin α＋cos α＋12cos α＝0，‎ 即sin α＋cos α＝0，‎ 又由题意得cos α≠0，所以tan α＝－.‎ ‎(2)若a∥b，则4cos αsin(α＋)＝3，‎ 即4cos α(sin α＋cos α)＝3，‎ 所以sin 2α＋cos 2α＝2.‎ 所以sin(2α＋)＝1.‎ 因为α∈(0，)，所以2α＋∈(，)，‎ 所以2α＋＝，即α＝.‎ ‎12.已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·＝0，＝－，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程.‎ 解　设M(x，y)为所求轨迹上任一点，‎ 设A(a，0)，Q(0，b)(b＞0)，‎ 则＝(a，3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，‎ 由·＝0，得a(x－a)＋3y＝0. ①‎ 由＝－，得 ‎(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝，‎ ‎∴∴∴b＞0，y＞0，‎ 把a＝－代入①，得－＋3y＝0，‎ 整理得y＝x2(x≠0).‎ ‎∴动点M的轨迹方程为y＝x2(x≠0).‎ ‎13.已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其所对边长，向量m＝(2sin ，cos2)，n＝(cos ，－2)，m⊥n.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝2，cos B＝，求b的长.‎ 解　(1)已知m⊥n，‎ 所以m·n＝(2sin ，cos2)·(cos ，－2)‎ ‎＝sin A－(cos A＋1)＝0，‎ 即sin A－cos A＝1，即sin(A－)＝，‎ 因为0