高考二项式定理题型归纳 5页

六、二项式定理 一、指数函数运算 知识点：1．整数指数幂的概念 ‎ ‎ ‎2．运算性质： ，，‎ ‎3．注意 ① 可看作 ∴==‎ ‎② 可看作 ∴==‎ ‎4、 (a＞0,m,n∈N*,且n＞1) ‎ 例题：‎ 例1求值：.‎ 例2用分数指数幂的形式表示下列各式：‎ ‎1） (式中a＞0) 2) 3） ‎ 例3计算下列各式（式中字母都是正数） ‎ 例4计算下列各式： ‎ 例5化简：‎ 例6 已知x+x-1=3,求下列各式的值：‎ 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 ‎,‎ 以上展开式共n+1项，其中叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项.‎ ‎（请同学完成下列二项展开式）‎ ‎，‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 ，即二项式系数和等于；‎ 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即 ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.‎ 1. 二项式系数的性质 ‎（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即.‎ ‎（2）二项式系数增减性与最大值：‎ 当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的.‎ 当n是偶数时，中间一项取得最大值.当n是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值.‎ 三、考试类型 ‎1、“展开式 例1．求的展开式；‎ 解：原式===‎ ‎ =‎ ‎【练习1】求的展开式 ‎2.求展开式中的项 例2.已知在的展开式中，第6项为常数项.‎ （1） 求n； （2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.‎ ‎3.二项展开式中的系数 已知的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.‎ ‎(1)求展开式中含的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.‎ ‎4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数 的展开式中，项的系数是 ；‎ ‎5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 ‎（04安徽改编）的展开式中，常数项是 ；‎ ‎6、求中间项 例6求（的展开式的中间项；‎ 解：展开式的中间项为 即：。‎ ‎ 当为奇数时，的展开式的中间项是和；‎ 当为偶数时，的展开式的中间项是。‎ 7、 有理项 例7 的展开式中有理项共有 项；‎ ‎8、求系数最大或最小项 （1） 特殊的系数最大或最小问题 例8（00上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是 ；‎ （2） 一般的系数最大或最小问题 ‎ 例9求展开式中系数最大的项；‎ ‎9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和 ‎ 例11．若， 则的值为 ；‎ ‎ 解： ‎ ‎ 令，有， 令，有 ‎ 故原式===‎ ‎【练习1】若，‎ ‎ 则 ；‎ ‎【练习2】设， 则 ；‎ ‎10利用二项式定理求近似值 ‎ 例15．求的近似值，使误差小于；‎ ‎ 分析：因为=，故可以用二项式定理展开计算。‎ ‎ 解：==‎ ‎ ，‎ ‎ 且第3项以后的绝对值都小于，‎ ‎ 从第3项起，以后的项都可以忽略不计。‎ ‎ ==‎ ‎ 小结：由，当的绝对值与1相比很小且很大时，等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：。‎