2020版高考数学二轮复习 专题七 圆锥曲线 专题突破练22 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 文 10页

专题突破练22　圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 ‎1.经过原点的直线与椭圆C:=1(a>b>0)交于A,B两点,点P为椭圆上不同于A,B的一点,直线PA,PB的斜率均存在,且直线PA,PB的斜率之积为-.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率;‎ ‎(2)设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于M,N两点.若点F1在以|MN|为直径的圆内部,求k的取值范围.‎ ‎2.(2018湖南衡阳一模,文20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,直线y=1与C的两个交点间的距离为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)如图,过F1,F2作两条平行线l1,l2与C的上半部分分别交于A,B两点,求四边形ABF‎2F1面积的最大值.‎ 10‎ ‎3.已知A是椭圆E:=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.‎ ‎(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;‎ ‎(2)当2|AM|=|AN|时,证明:0).‎ ‎(1)证明:k<-;‎ ‎(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:2||=||+||.‎ 10‎ ‎5.椭圆E:=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.‎ ‎(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;‎ ‎(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.‎ 10‎ ‎6.‎ ‎(2018山东潍坊一模,文20)抛物线E:x2=2py(0,过P作圆C的两条切线分别交y轴于M,N两点,求△PMN面积的最小值,并求出此时P点坐标.‎ 参考答案 专题突破练22　圆锥曲线中 10‎ 的最值、范围、证明问题 ‎1.解 (1)设A(x1,y1),则B(-x1,-y1),P(x0,y0),∵点A,B,P三点均在椭圆上,‎ ‎∴=1,=1,‎ ‎∴作差得 ‎=-,‎ ‎∴kPA·kPB==-=-=-1+e2=-,∴e=.‎ ‎(2)设F1(-c,0),F2(c,0),直线l的方程为y=k(x-c),记M(x3,y3),N(x4,y4),‎ ‎∵e=,∴a2=4b2,c2=3b2,‎ 联立 得(1+4k2)x2-8ck2x+‎4c2k2-4b2=0,Δ>0,‎ ‎∴‎ 当点F1在以|MN|为直径的圆内部时,=(x3+c)(x4+c)+y3·y4<0,‎ ‎∴(1+k2)x3x4+(c-ck2)(x3+x4)+c2+c2k2<0,‎ 得(1+k2)+(1-k2)·+c2(1+k2)<0,解得-0.‎ y1+y2=,y1·y2=-,‎ ‎|AD|=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=.‎ 又F2到l1的距离为d=,‎ 所以=12×.‎ 令t=≥1,则,‎ 所以当t=1时,最大值为3.‎ 又(|AF1|+|BF2|)·d=(|AF1|+|DF1|)·d=|AD|·d=,‎ 所以四边形ABF‎2F1面积的最大值为3.‎ ‎3.(1)解 设M(x1,y1),则由题意知y1>0.‎ 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.‎ 10‎ 又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.‎ 将x=y-2代入=1得7y2-12y=0.‎ 解得y=0或y=,所以y1=.‎ 因此△AMN的面积S△AMN=.‎ ‎(2)证明 将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.‎ 由x1·(-2)=得x1=,故|AM|=|x1+2|.由题设,直线AN的方程为y=-(x+2),‎ 故同理可得|AN|=.‎ 由2|AM|=|AN|得,‎ 即4k3-6k2+3k-8=0.‎ 设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点.‎ f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,‎ 所以f(t)在(0,+∞)单调递增.‎ 又f()=15-26<0,f(2)=6>0,‎ 因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零点,且零点k在(,2)内.所以0.‎ 当t=4时,E的方程为=1,A(-2,0).‎ 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.‎ 因此直线AM的方程为y=x+2.‎ 将x=y-2代入=1得7y2-12y=0.‎ 解得y=0或y=,所以y1=.‎ 因此△AMN的面积S△AMN=.‎ ‎(2)由题意t>3,k>0,A(-,0).‎ 将直线AM的方程y=k(x+)代入=1得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.‎ 由x1·(-)=得x1=,故|AM|=|x1+.由题设,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=‎ 10‎ ‎.‎ 由2|AM|=|AN|得,即(k3-2)t=3k(2k-1).‎ 当k=时上式不成立,因此t=.‎ t>3等价于<0,即<0.‎ 由此得解得,∴>1.‎ 10‎ 设两切线斜率为k1,k2,则k1+k2=,k1k2=.‎ ‎∴S△PMN=|(y0-k1x0)-(y0-k2x0)||x0|=|k1-k2|,‎ ‎∵|k1-k2|2=(k1+k2)2-4k1k2‎ ‎=‎ ‎=,‎ ‎∴|k1-k2|=,‎ 则S△PMN=,令2y0-1=t(t>0),则y0=,‎ ‎∴S△PMN=+1≥2+1=2.‎ 当且仅当,即t=1时取等号,2y0-1=1,y0=1,‎ 此时点P坐标为(,1)或(-,1).‎ ‎△PMN面积的最小值为2.‎ 10‎