2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章10-1抽样方法 17页

第 1 讲 抽样方法 最新考纲 1.理解随机抽样的必要性和重要性；2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取 样本；了解分层抽样和系统抽样方法．会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问 题． 知 识 梳 理 1．简单随机抽样 (1)定义：设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n≤N)， 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫作简单随 机抽样． (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． (3)应用范围：总体中的个体数较少． 2．系统抽样 (1)定义：系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽 样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时 也叫等距抽样或机械抽样． (2)系统抽样的操作步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本． ①先将总体的 N 个个体编号； ②确定分段间隔 k，对编号进行分段，当N n(n 是样本容量)是整数时，取 k＝N n ； ③在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤k)； ④按照一定的规则抽取样本，通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(l＋k)，再加 k 得到第 3 个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本． (3)应用范围：总体中的个体数较多 3．分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型 中按照所占比例随机抽取一定的样本，这种抽样方法叫作分层抽样，有时也称为类型抽 样． (2)应用范围：当总体是由差异明显的若干类型组成时，往往选用分层抽样． 诊 断 自 测 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示 (1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( ) (2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．( ) (3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( ) (4)要从 1 002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本，需要剔除 2 个学 生，这样对被剔除者不公平．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．(必修 3P100A1 改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地 5 000 名居民某天的阅读 时间，从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000 名居民 的阅读时间的全体是( ) A．总体 B．个体 C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本 解析 由题目条件知，5 000 名居民的阅读时间的全体是总体；其中 1 名居民的阅读时 间是个体；从 5 000 名居民某天的阅读时间中抽取的 200 名居民的阅读时间是从总体中 抽取的一个样本，样本容量是 200. 答案 A 3．(2015·四川卷)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力 是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的 抽样方法是( ) A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法 解析 因为总体由有明显差异的几部分构成，所以用分层抽样法．故选 C. 答案 C 4．(2017·西安质检)为了解 1 000 名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容 量为 40 的样本，则分段的间隔为( ) A．50 B．40 C．25 D．20 解析 根据系统抽样的特点分段间隔为1 000 40 ＝25. 答案 C 5．从 300 名学生(其中男生 180 人，女生 120 人)中按性别用分层抽样的方法抽取 50 人 参加比赛，则应该抽取男生人数为________． 解析 因为男生与女生的比例为 180∶120＝3∶2，所以应该抽取男生人数为 50× 3 3＋2 ＝ 30. 答案 30 考点一 简单随机抽样及其应用 【例 1】 (1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( ) ①从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本． ②盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意 拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里． ③从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验． ④某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛． A．0 B．1 C．2 D．3 (2)总体由编号为 01,02，…，19,20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个 体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数 字，则选出来的第 5 个个体的编号为( ) A.08 B．07 C．02 D．01 解析 (1)①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的； ②不是简单随机抽样．因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样．因为这是“一次性” 抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样．因为不是等可能抽样．故选 A. (2)从第 1 行第 5 列和第 6 列组成的数 65 开始由左到右依次选出的数为 08,02,14,07,01， 所以第 5 个个体编号为 01. 答案 (1)A (2)D 规律方法 (1)简单随机抽样是从含有 N(有限)个个体的总体中，逐个不放回地抽取样本， 且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等． (2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀， 一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．而随机数表法适用于总体中个体 数较多的情形：随机数表法的操作要点：编号，选起始数，读数，获取样本． 【训练 1】 (1)下面的抽样方法是简单随机抽样的是( ) A．在某年明信片销售活动中，规定每 100 万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确 定号码的后四位为 2709 的为三等奖 B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔 30 分钟抽一包产品，称其重量 是否合格 C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解对学校机构 改革的意见 D．用抽签方法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验 (2)下列抽样试验中，适合用抽签法的有( ) A．从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 D．从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 10 件进行质量检验 解析 (1)A，B 选项中为系统抽样，C 为分层抽样． (2)A，D 中的总体中个体数较多，不适宜抽签法，C 中甲、乙两厂的产品质量有区别， 也不适宜抽签法，故选 B. 答案 (1)D (2)B 考点二 系统抽样及其应用 【例 2】 (1)已知某商场新进 3 000 袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽 样的方法从中抽取 150 袋检查，若第一组抽出的号码是 11，则第六十一组抽出的号码为 ________． (2)(2015·湖南卷)在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所 示. 若将运动员按成绩由好到差编为 1～35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成 绩在区间[139,151]上的运动员人数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析 (1)由系统抽样，抽样间隔 k＝3 000 150 ＝20，由题意知这些号码是以 11 为首项，20 为公差的等差数列，则 a61＝11＋60×20＝1 211，故第 61 组抽取号码为 1 211. (2)从 35 人中用系统抽样方法抽取 7 人，则可将这 35 人分成 7 组，每组 5 人，从每一组 中抽取 1 人，而成绩在[139,151]上的有 4 组，所以抽取 4 人，故选 B. 答案 (1)1 211 (2)B 规律方法 (1)如果总体容量 N 能被样本容量 n 整除，则抽样间隔为 k＝N n ，否则，可随 机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体被抽到的机 会均是n N. (2)系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第 1 组所抽取样 本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样 本号码． 【训练 2】 (1)(2017·郑州模拟)为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了 抽样调查．抽到的班级一共有 52 名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法 抽取一个容量为 4 的样本，已知 7 号、33 号、46 号同学在样本中，那么样本中还有一 位同学的编号应是( ) A．13 B．19 C．20 D．51 (2)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1,2，…， 960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中，编号落 入区间[1,450]的人做问卷 A，编号落入区间[451,750]的人做问卷 B，其余的人做问卷 C. 则抽到的人中，做问卷 B 的人数为( ) A．7 B．9 C．10 D．15 解析 (1)由系统抽样的原理知，抽样的间隔为 52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为 7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即 7 号，20 号，33 号，46 号． (2)由系统抽样的特点，知抽取号码的间隔为960 32 ＝30，抽取的号码依次为 9,39,69，…， 939.落入区间[451,750]的有 459,489，…，729，这些数构成首项为 459，公差为 30 的等 差数列，设有 n 项，显然有 729＝459＋(n－1)×30，解得 n＝10.所以做问卷 B 的有 10 人． 答案 (1)C (2)C 考点三 分层抽样及其应用 【例 3】 (1)(2015·北京卷)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的 方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本中的老年教 师人数为( ) 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1 800 青年教师 1 600 合计 4 300 A.90 B．100 C．180 D．300 (2)(2017·唐山调研)甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4 800 件，采用分层抽样的方法 从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测．若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则 乙设备生产的产品总数为________件． 解析 (1)设该样本中的老年教师人数为 x，由题意及分层抽样的特点得 x 900 ＝ 320 1 600 ，故 x＝180. (2)由题设，抽样比为 80 4 800 ＝ 1 60. 设甲设备生产的产品为 x 件，则 x 60 ＝50，∴x＝3 000. 故乙设备生产的产品总数为 4 800－3 000＝1 800. 答案 (1)C (2)1 800 规律方法 (1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样 本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠． (2)为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所 包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即 ni∶Ni＝n∶N.分层抽样的有关 计算，转化为按比例列方程或算式求解． 【训练 3】 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件，80 件， 60 件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n 等于( ) A．9 B．10 C．12 D．13 解析 依题意得 3 60 ＝ n 120＋80＋60 ，故 n＝13. 答案 D [思想方法] 1．三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等， 体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为 n，总体容量为 N，每个个体 被抽到的概率是n N. 2．系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列． 3．分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可 采用简单随机抽样或系统抽样． [易错防范] 1．简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样． 2．系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当N n 不是整数时，注意剔除， 剔除的个体是随机的． 3．分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的. 基础巩固题组 (建议用时：25 分钟) 一、选择题 1．打桥牌时，将洗好的扑克牌(52 张)随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对 任何一家来说，都是从 52 张总体抽取一个 13 张的样本．这种抽样方法是( ) A．系统抽样 B．分层抽样 C．简单随机抽样 D．非以上三种抽样方法 解析 符合系统抽样的特征． 答案 A 2．为了了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行 调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而 男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 解析 不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样． 答案 C 3．(2017·南昌一中测试)某中学有高中生 3 500 人，初中生 1 500 人，为了解学生的学习 情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取 70 人，则 n 为( ) A．100 B．150 C．200 D．250 解析 法一 由题意可得 70 n－70 ＝3 500 1 500 ，解得 n＝100. 法二 由题意，抽样比为 70 3 500 ＝ 1 50 ，总体容量为 3 500＋1 500＝5 000，故 n＝5 000× 1 50 ＝100. 答案 A 4．在一个容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和 分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1，p2，p3， 则( ) A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1 C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3 解析 由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选 D. 答案 D 5．高三·一班有学生 52 人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量 为 4 的样本，已知 5 号、31 号、44 号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是( ) A．8 B．13 C．15 D．18 解析 分段间隔为52 4 ＝13，故还有一个学生的编号为 5＋13＝18. 答案 D 6．从编号为 1～50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验， 若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取 5 枚导弹的编号可能是 ( ) A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5 D．2,4,6,16,32 解析 间隔距离为 10，故可能编号是 3,13,23,33,43. 答案 B 7．某市电视台为调查节目收视率，想从全市 3 个区按人口数用分层抽样的方法抽取一 个容量为 n 的样本．已知 3 个区人口数之比为 2∶3∶5，如果最多的一个区抽出的个体 数是 60，那么这个样本的容量为( ) A．96 B．120 C．180 D．240 解析 设样本容量为 n，则 5 2＋3＋5 ＝60 n ， 解得 n＝120. 答案 B 8．将参加英语口语测试的 1 000 名学生编号为 000,001,002，…，999，从中抽取一个容 量为 50 的样本，按系统抽样的方法分为 50 组，如果第一组编号为 000,001,002，…，019， 且第一组随机抽取的编号为 015，则抽取的第 35 个编号为( ) A．700 B．669 C．695 D．676 解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号 l＝15， 分段间隔数 k＝N n ＝1 000 50 ＝20，由题意知抽出的这些号码是以 15 为首项，20 为公差的 等差数列，则抽取的第 35 个编号为 15＋(35－1)×20＝695. 答案 C 9．(2017·西安摸底)某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法 从高一 600 人、高二 780 人、高三 n 人中，抽取 35 人进行问卷调查．已知高二被抽取 的人数为 13，则 n＝( ) A．660 B．720 C．780 D．800 解析 由已知条件，抽样比为 13 780 ＝ 1 60 ， 从而 35 600＋780＋n ＝ 1 60 ，解得 n＝720. 答案 B 二、填空题 10．(2015·福建卷)某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名．按男女比例用分层抽 样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为 45的样本，则应抽取的男生人数为________． 解析 设男生抽取 x 人，则有 45 900 ＝ x 900－400 ，解得 x＝25. 答案 25 11．(2017·郑州调研)从编号为 0,1,2，…，79 的 80 件产品中，采用系统抽样的方法抽取 容量是 5 的样本，若编号为 28 的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________． 解析 由系统抽样知，抽样间隔 k＝80 5 ＝16， 因为样本中含编号为 28 的产品， 则与之相邻的产品编号为 12 和 44. 故所取出的 5 个编号依次为 12,28,44,60,76，即最大编号为 76. 答案 76 12．央视春晚直播不到 20 天的时候，某媒体报道，由六小龄童和郭富城合演的《猴戏》 节目被毙，为此，某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查，得到如下数 据： 网民态度 支持 反对 无所谓 人数(单位：人) 8 000 6 000 10 000 若采用分层抽样的方法从中抽取 48 人进行座谈，则持“支持”态度的网民抽取的人数 为________． 解析 持“支持”态度的网民抽取的人数为 48× 8 000 8 000＋6 000＋10 000 ＝48×1 3 ＝16. 答案 16 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 13．某初级中学有学生 270 人，其中一年级 108 人，二、三年级各 81 人，现要利用抽 样方法抽取 10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方 案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2，…， 270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为 1,2，…，270，并将整个编号依次分为 10 段，如果抽得号码有下列四种情况： ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250； ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265； ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254； ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 关于上述样本的下列结论中，正确的是( ) A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样 C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样 解析 ①在 1～108 之间有 4 个，109～189 之间有 3 个，190～270 之间有 3 个，符合分 层抽样的规律，可能是分层抽样．同时，从第二个数据起每个数据与前一个的差都为 27， 符合系统抽样的规律，则可能是系统抽样得到的；同理③符合分层抽样的规律，可能是 分层抽样，同时，从第二个数据起每个数据与前一个的差都为 27，符合系统抽样的规律， 则可能是系统抽样得到的，故选 D. 答案 D 14．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭 360 户、270 户、180 户，若首批经济适用房中有 90 套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的 方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为( ) A．40 B．36 C．30 D．20 解析 利用分层抽样的比例关系， 设从乙社区抽取 n 户，则 270 360＋270＋180 ＝ n 90. 解得 n＝30. 答案 C 15．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为 01,02，…，33 的 33 个个体组成，某 彩民利用下面的随机数表选取 6 组数作为 6 个红色球的编号，选取方法是从随机数表第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 6 个红色球 的编号为( ) A.23 B．09 C．02 D．17 解析 从随机数表第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选 出的 6 个红色球的编号依次为 21,32,09,16,17,02，故选出的第 6 个红色球的编号为 02. 答案 C 16．从编号为 001,002，…，500 的 500 个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知 样本中编号最小的两个编号分别为 007,032，则样本中最大的编号应该为( ) A．480 B．481 C．482 D．483 解析 根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令 a1＝7，a2＝32，d＝25，所 以 7＋25(n－1)≤500，所以 n≤20，最大编号为 7＋25×19＝482. 答案 C 17．将参加夏令营的 600 名学生编号为 001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容 量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区，从 001 到 300 在第Ⅰ营区，从 301 到 495 在第Ⅱ营区，从 496 到 600 在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的 人数依次为( ) A．26,16,8 B．25,17,8 C．25,16,9 D．24,17,9 解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这 600 名学生按编号依次分成 50 组，每一组 各有 12 名学生，第 k(k∈N＋)组抽中的号码是 3＋12(k－1)． 令 3＋12(k－1)≤300 得 k≤103 4 ，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是 25；令 300<3＋12(k－ 1)≤495 得103 4