高考真题——理科数学新课标II精校版含答案 2014高考 9页

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）‎ 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合M=｛0,1,2｝，N=，则=( )‎ A. ｛1｝‎ B. ｛2｝‎ C. ｛0，1｝‎ D. ｛1，2｝‎ ‎2.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）‎ A. - 5‎ B. 5 ‎ C. - 4+ i D. - 4 - i ‎3.设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = ( )‎ A. 1‎ B. 2‎ C. 3‎ D. 5‎ ‎4.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=( )‎ A. 5‎ B. ‎ C. 2‎ D. 1‎ ‎5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）‎ A. 0.8‎‎ B. ‎0.75 C. 0.6 D. 0.45‎ ‎6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示‎1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为‎3cm，高为‎6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （ ）‎ ‎ A. 4 B. ‎5 C. 6 D. 7 ‎ ‎8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= ‎ A. 0 B. ‎1 C. 2 D. 3 ‎ ‎9.设x,y满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. 10 B. ‎8 C. 3 D. 2‎ ‎10.设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A‎1C1的中点，BC=CA=CC1，‎ 则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.‎ 二.填空题 ‎13.的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)‎ ‎14.函数的最大值为_________.‎ ‎15.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.‎ ‎16.设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________.‎ ‎ ‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知数列满足=1，.‎ ‎（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎，‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.‎ ‎（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数=‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设，当时，,求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.‎ ‎22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲 如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：‎ ‎（Ⅰ）BE=EC；‎ ‎（Ⅱ）ADDE=2‎ ‎23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.‎ ‎（Ⅰ）求C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.‎ ‎24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数=‎ ‎（Ⅰ）证明：2；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ ‎2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、 选择题 ‎（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C ‎（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C 二、填空题 ‎ （13） （14）1 （15） （16）‎ 三、解答题 ‎（17）解：‎ ‎（Ⅰ）由得 ‎ 又，所以是首项为，公比为3的等比数列。‎ ‎，因此的通项公式为。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知.‎ 因为当时，，所以 于是 ‎ 所以 .‎ ‎(18) 解：‎ ‎（Ⅰ）连结BD交AC于点O，连结EO.‎ 因为ABCD为矩形，所以Q为BD的终点.‎ 又E为ＰＤ的终点，所以EO//PB.‎ EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB//平面AEC.‎ ‎(Ⅱ)因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以ＡB，ＡＤ，ＡＰ两两垂直。‎ 如图，以A为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系A-，则 设则 设为平面ACE的法向量，‎ 则 即 ‎ 可取 又为平面DAE的法向量。‎ 由题设，即 ‎，解得 ‎ ‎ 因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为。三棱锥E-ACD的体积 ‎ ‎ ‎（19）解：‎ ‎ （Ⅰ）由所给数据计算得 ‎ ‎ ‎ =9+4+1+0+1+4+9=28‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ =（3）×（1.4）+（2）×（1）+（1）×（0.7）+0×0.1+1×0.5‎ ‎ +2×0.9+3×1.6‎ ‎ =14.‎ ‎ ，‎ ‎ .‎ 所求回归方程为 ‎ .‎ ‎（Ⅱ） 由（I）知，b=0.5﹥0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。‎ ‎ 将2015年的年份代号t=9带入（I）中的回归方程，得 ‎ ‎ 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.‎ ‎（20）‎ 解：（I）根据及题设知 ‎ 将代入，解得（舍去）‎ ‎ 故C的离心率为.‎ ‎ （Ⅱ）由题意，原点为的中点，∥轴，所以直线与轴的交点 是线段的中点，故，即 ‎ ①‎ 由得。‎ 设，由题意知，则 ‎，即 代入C的方程，得。‎ 将①及代入②得 解得，‎ 故.‎ ‎（21）解：（I）=，等号仅当时成立。‎ 所以在 ‎（Ⅱ）=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ （i）当时，≥0，等号仅当时成立，所以在单调递增。而=0，所以对任意； ‎ ‎（ii）当时，若满足，即时 ‎＜0.而=0，因此当时，＜0.‎ 综上，b的最大值为2.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，.‎ ‎ 当b=2时，＞0；＞＞0.6928；‎ ‎ 当时，，‎ ‎ =＜0，‎ ‎ ＜＜0.6934‎ ‎ 所以的近似值为0.693.‎ ‎（22）解：‎ （I） 连结AB,AC.由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.‎ 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA ‎∠PAD=∠BAD+∠PAB ‎∠DCA=∠PAB,‎ ‎ 所以∠DAC=∠BAD，从而。‎ 因此BE=EC.‎ ‎ （Ⅱ）由切割线定理得。‎ ‎ 因为PA=PD=DC，所以DC=2PB,BD=PB。‎ 由相交弦定理得，‎ 所以.‎ ‎（23）解：（I）C的普通方程为.‎ 可得C的参数方程为 ‎（t为参数，）‎ ‎ （Ⅱ）设D.由（I）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。‎ 因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同，‎ ‎ .‎ ‎ 故D的直角坐标为，即。‎ ‎（24）解：‎ ‎（I）由，有.‎ ‎ 所以≥2.‎ ‎（Ⅱ）‎ 当时a＞3时， ，由＜5得3＜a＜。‎ 当0＜a≤3时，=，由＜5得＜a≤3.‎ ‎ 综上，a的取值范围是（，）.‎